1．（5分）若z（1﹣i）＝（1+i）2，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．（5分）兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，，則在上的投影向量的長(zhǎng)度為（ ）
A．10B．C．D．2
3．（5分）若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2．現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)為，方差為s2，則（ ）
A．，s2＞2B．，s2＜2C．，s2＜2D．，s2＞2
4．（5分）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，B＝“第二枚硬幣反面朝上”（ ）
A．A與B互為對(duì)立事件B．A與B互斥
C．A與B相等D．P（A）＝P（B）
5．（5分）四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH中，其上、下底面均為正方形，若EF＝2AB＝8，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，則該棱臺(tái)的體積為（ ）
A．224B．448C．D．147
6．（5分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，O為線段AD的中點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）在△ABC中，CD為角C的平分線，若B＝2A，3AD＝4BD，則csA等于（ ）
A．0B．C．D．
8．（5分）中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，△ADE與△BCF都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z1，z2，為z1的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．為實(shí)數(shù)
B．若|z1|＝|z2|，則z1＝±z2
C．
D．若|z1|＝1，則|z1+1﹣i|的最小值為
（多選）10．（5分）下列說法正確的是（ ）
A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.1
B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù)
C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是21
D．甲乙丙三種個(gè)體按3：1：2的比例分層抽樣，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為18
（多選）11．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＝bcsC+ccsB
B．若sin2A＝sin2B，則△ABC是等腰三角形
C．若，且，則△ABC為等邊三角形
D．若，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則
（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M分別是BC，AA1，C1D1，BB1的中點(diǎn)則（ ）
A．直線A1G，EF是異面直線
B．平面DMC1截正方體所得截面的面積為
C．三棱錐A﹣MC1D1的體積為
D．三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的體積為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為6，則圓錐的側(cè)面積為 ．
14．（5分）某種飲料每箱裝6聽，其中有1聽不合格，質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽出2聽，檢測(cè)出不合格品的概率為 ．
15．（5分）神舟十三號(hào)飛船于2022年4月16日首次實(shí)施快速返回技術(shù)成功著陸．若由搜救地面指揮中心的提供信息可知：在東風(fēng)著陸場(chǎng)搜索區(qū)域內(nèi)，A處的返回艙垂直返回地面．空中分隊(duì)和地面分隊(duì)分別在B處和C處，如圖為其示意圖，若A，B，C在同一水平面上的投影分別為A1，B1，C，且在C點(diǎn)測(cè)得B的仰角為26.6°，在C點(diǎn)測(cè)得A的仰角為45°，在B點(diǎn)測(cè)得A的仰角為26.6°，BB1＝7km，∠B1A1C＝120°．則CA1的長(zhǎng)為 km（參考數(shù)據(jù)：）．
16．（5分）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：△ABC為正三角形，AD，BE，CF圍成的△DEF也為正三角形．若D為BE的中點(diǎn)，①△DEF與△ABC的面積比為 ；②設(shè)λμ，則λ+μ＝ ．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知復(fù)數(shù)z1＝a+i，z2＝1﹣ai，其中i是虛數(shù)單位，a∈R．
（1）若z1?z2為純虛數(shù)，求a的值；
（2）若2z1+2＝0，求的虛部．
18．（12分）某大型連鎖超市隨機(jī)抽取了100位客戶，對(duì)去年到該超市消費(fèi)情況進(jìn)行調(diào)查．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）均在區(qū)間[0.2，0.8]內(nèi)，按[0.2，0.3]，（0.3，0.4]，（0.4，0.5]，（0.5，0.6]，（0.6，0.7]，（0.7，0.8]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)樣本中消費(fèi)金額的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；
（2）求出這100位客戶最近一年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作代表）．
19．（12分）甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個(gè)不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)球，甲先隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為a，放回后乙再隨機(jī)摸出一個(gè)球，也記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為b，記錄摸球結(jié)果（a，b），如果a+b＞5，算甲贏，否則算乙贏．
（1）求a+b＝5的概率；
（2）這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說明理由．
20．（12分）已知向量，．
（1）求向量和的夾角的余弦值；
（2）設(shè)向量，，是否存在正實(shí)數(shù)k，使得？如果存在，求出t的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
21．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，△PBC為等邊三角形，D，E分別為PC，PB的中點(diǎn)，BD⊥PA，BC＝2，AC＝1．
（1）求證：AC⊥平面PBC；
（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使得平面DEF與平面ABC的夾角為，若存在，求出CF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
22．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）若C，求A，B；
（2）若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．
2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)輔仁高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）若z（1﹣i）＝（1+i）2，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解答】解：因?yàn)閦（1﹣i）＝（1+i）2，
所以，
故在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（﹣1，1）位于第二象限．
故選：B．
2．（5分）兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，，則在上的投影向量的長(zhǎng)度為（ ）
A．10B．C．D．2
【解答】解：設(shè)與的夾角為θ，
則，
所以在上的投影向量為，
所以在上的投影向量的長(zhǎng)度為．
故選：D．
3．（5分）若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2．現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)為，方差為s2，則（ ）
A．，s2＞2B．，s2＜2C．，s2＜2D．，s2＞2
【解答】解：∵某8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，
此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為s2，
∴5，2．
故選：B．
4．（5分）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，B＝“第二枚硬幣反面朝上”（ ）
A．A與B互為對(duì)立事件B．A與B互斥
C．A與B相等D．P（A）＝P（B）
【解答】解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件B包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），
顯然事件A，事件B都含有“（正，反）“這一結(jié)果，即事件A，事件B能同時(shí)發(fā)生，
因此，事件A，事件B既不互斥也不對(duì)立，A，B都不正確；
事件A，事件B中有不同的結(jié)果，于是得事件A與事件B不相等，C不正確；
由古典概型知，，所以P（A）＝P（B），D正確．
故選：D．
5．（5分）四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH中，其上、下底面均為正方形，若EF＝2AB＝8，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，則該棱臺(tái)的體積為（ ）
A．224B．448C．D．147
【解答】解：四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH中，其上、下底面均為正方形，EF＝2AB＝8，
連接HF，EG交于點(diǎn)O1，連接AC，DB交于點(diǎn)O2，連接O1O2，過C作CQ∥O1O2，如圖，
．
∵“芻童”ABCD﹣EFGH上、下底面均為正方形，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均相等，
∴O1O2⊥底面EFGH，又CQ∥O1O2，∴CQ⊥底面EFGH，
∴∠CGQ是“芻童”ABCD﹣EFGH其中一條側(cè)棱與底面所成角的平面角，
∵四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH中每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，
∴，
∵EF＝2AB＝8，∴，
由題意知四邊形ACGE是等腰梯形，則，
∴在Rt△CQG中，，則，
∴“芻童”ABCD﹣EFGH的高為12，
則該芻童的體積為．
故選：B．
6．（5分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，O為線段AD的中點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)，則，
又，
設(shè)，則，
故，即，
故．
故選：C．
7．（5分）在△ABC中，CD為角C的平分線，若B＝2A，3AD＝4BD，則csA等于（ ）
A．0B．C．D．
【解答】解：因?yàn)镃D為角C的平分線，所以，
因?yàn)?AD＝4BD，所以，
所以不妨設(shè)AC＝4x，BC＝3x，
因?yàn)樵凇鰽BC中，，B＝2A，
所以，
因?yàn)樵凇鰽BC中，sinA≠0，x≠0，
所以，
所以．
故選：C．
8．（5分）中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，△ADE與△BCF都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如圖，
連接AC，BD，設(shè)AC∩BD＝O1，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，
所以O(shè)1為矩形ABCD外接圓的圓心．連接OO1，
則OO1⊥平面ABCD，
分別取EF，AD，BC的中點(diǎn)M，P，Q，
根據(jù)幾何體ABCDEF的對(duì)稱性可知，直線OO1交EF于點(diǎn)M．
連接PQ，則PQ∥AB，且O1為PQ的中點(diǎn)，
因?yàn)镋F∥AB，
所以PQ∥EF，
連接EP，F(xiàn)Q，在△ADE與△BCF中，易知，
所以梯形EFQP為等腰梯形，
所以MO1⊥PQ，且．
設(shè)OO1＝m，球O的半徑為R，連接OE，OA，
當(dāng)O在線段O1M上時(shí)，由球的性質(zhì)可知R2＝OE2＝OA2，
易得，
則，此時(shí)無(wú)解．
當(dāng)O在線段MO1的延長(zhǎng)線上時(shí)，由球的性質(zhì)可知，，
解得，
所以，
所以球O的表面積．
故選：D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z1，z2，為z1的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．為實(shí)數(shù)
B．若|z1|＝|z2|，則z1＝±z2
C．
D．若|z1|＝1，則|z1+1﹣i|的最小值為
【解答】解：選項(xiàng)A：設(shè)z1＝x+yi（x，y∈R），，∴，故A正確；
選項(xiàng)B：設(shè)z1＝3+4i，z2＝5，|z1|＝|z2|＝5，但是z1≠±z2，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：設(shè)z1＝x+yi，z2＝a+bi（x，y，a，b∈R），則，z2z1＝（a+bi）（x+yi）＝（ax﹣by）+（bx+ay）i，，
所以，故C正確；
選項(xiàng)D：若|z1|＝1，設(shè)z1＝csθ+isinθ，則z1+1﹣i＝（csθ+1）+（sinθ﹣1）i，
則，
所以當(dāng)時(shí)，|z1+1﹣i|取最小值，故D正確．
故選：ACD．
（多選）10．（5分）下列說法正確的是（ ）
A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.1
B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù)
C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是21
D．甲乙丙三種個(gè)體按3：1：2的比例分層抽樣，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為18
【解答】解：對(duì)于A，個(gè)體m被抽到的概率為0.1，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)是3，中位數(shù)是3，眾數(shù)等于中位數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，數(shù)據(jù)27，12，14，30，14，17，19，23從小到大排列為：12，14，14，17，19，23，27，30，
由于8×70%＝5.6，其中第6個(gè)數(shù)為23，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，根據(jù)分層抽樣原理知，抽取的甲個(gè)體數(shù)為9時(shí)，樣本容量為918，選項(xiàng)D正確．
故選：AD．
（多選）11．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＝bcsC+ccsB
B．若sin2A＝sin2B，則△ABC是等腰三角形
C．若，且，則△ABC為等邊三角形
D．若，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則
【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，由正弦定理得bcsC+ccsB
＝2RsinBcsC+2RsinCcsB
＝2Rsin（B+C）
＝2RsinA
＝a，
故選項(xiàng)A正確．
對(duì)于選項(xiàng)B，在△ABC中，由sin2A＝sin2B，解得2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋謩e為單位向量，
所以∠A的角平分線與BC垂直，
所以AB＝AC，
所以∠B＝∠C．
又因?yàn)椋矗?br>因?yàn)?＜A＜π，
所以，
所以，
所以△ABC為等邊三角形，
故選項(xiàng)C正確．
對(duì)于選項(xiàng)D，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，
則bsinA＜a＜b，
因?yàn)椋?br>所以
即
所以．
故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．
（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M分別是BC，AA1，C1D1，BB1的中點(diǎn)則（ ）
A．直線A1G，EF是異面直線
B．平面DMC1截正方體所得截面的面積為
C．三棱錐A﹣MC1D1的體積為
D．三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的體積為
【解答】解：對(duì)于A，如圖，取B1C1的中點(diǎn)P，連接PE，取PE的中點(diǎn)Q，連接A1Q，
則A1F∥EQ，A1F＝EQ，
所以四邊形A1FEQ是平行四邊形，所以EF∥A1Q，
又因A1G∩A1Q＝A1，所以直線A1G，EF是異面直線，故A正確；
對(duì)于B，如圖，延長(zhǎng)C1M，CB交于點(diǎn)H，連接HD交AB點(diǎn)N，連接MN，AB1，
因?yàn)锽B1∥CC1，M為BB1的中點(diǎn)，則，
所以B為HC的中點(diǎn)，
因?yàn)锳B∥CD，所以N為AB的中點(diǎn)，則MN∥AB1，
因?yàn)锳D∥B1C1，AD＝B1C1，
所以AB1C1D為平行四邊形，所以AB1∥DC1，
所以MN∥DC1，
則平面DMC1截正方體所得截面為等腰梯形MNDC1，
在等腰梯形MNDC1中，
，
則梯形的高為，
所以等腰梯形MNDC1的面積為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，連接BC1，B1C，則BC1⊥B1C，
因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1，
所以AB⊥B1C，
又AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，
又因?yàn)镸為BB1的中點(diǎn)，
所以三棱錐M﹣AC1D1的高為，
，
所以，故C正確；
三棱錐A1﹣BDC1為正四面體，且棱長(zhǎng)為4，
每個(gè)側(cè)面的面積為（4）28，
三棱錐A1﹣BDC1的體積為43﹣443，
設(shè)三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的半徑為r，
則48r，解得r，
所以三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的體積為πr3，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為6，則圓錐的側(cè)面積為 216π ．
【解答】解：設(shè)圓錐的底面周長(zhǎng)為c，母線長(zhǎng)為l，則c＝2π×6＝12π，
因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，
所以，解得l＝36，
則圓錐的側(cè)面積為．
故答案為：216π．
14．（5分）某種飲料每箱裝6聽，其中有1聽不合格，質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽出2聽，檢測(cè)出不合格品的概率為 ．
【解答】解：從6聽飲料中隨機(jī)抽取2聽的基本事件總數(shù)為n＝C15，
檢測(cè)出不合格品的基本事件個(gè)數(shù)為m＝C?C5，
所以檢測(cè)出不合格品的概率為P．
故答案為：．
15．（5分）神舟十三號(hào)飛船于2022年4月16日首次實(shí)施快速返回技術(shù)成功著陸．若由搜救地面指揮中心的提供信息可知：在東風(fēng)著陸場(chǎng)搜索區(qū)域內(nèi)，A處的返回艙垂直返回地面．空中分隊(duì)和地面分隊(duì)分別在B處和C處，如圖為其示意圖，若A，B，C在同一水平面上的投影分別為A1，B1，C，且在C點(diǎn)測(cè)得B的仰角為26.6°，在C點(diǎn)測(cè)得A的仰角為45°，在B點(diǎn)測(cè)得A的仰角為26.6°，BB1＝7km，∠B1A1C＝120°．則CA1的長(zhǎng)為 10 km（參考數(shù)據(jù)：）．
【解答】解：如圖：
設(shè)A1C＝xkm，過點(diǎn)B作AA1的垂線，垂足為D，
由題意得∠BCB1＝26.6°，∠ACA1＝45°，∠ABD＝26.6°，則AA1＝x，
∵AA1⊥平面A1B1C，BB1⊥平面A1B1C，
∴AA1∥BB1，
又A1C，A1B1?平面A1B1C，
∴AA1⊥A1C，AA1⊥A1B1，
因?yàn)锳A1⊥BD，
∵BD∥A1B1，
∴四邊形A1B1BD為平行四邊形，
∴A1D＝BB1＝7，
∴AD＝AA1﹣A1D＝x﹣7，
在Rt△ABD中，
∴B1A1＝BD＝2（x﹣7），
∵BB1⊥平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，∴BB1⊥B1C，
∴，
在△A1B1C中，∠B1A1C＝120°，
由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得x2﹣10x＝0，
∴x＝10或x＝0（舍去）．
∴CA1的長(zhǎng)為10km．
故答案為：10．
16．（5分）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：△ABC為正三角形，AD，BE，CF圍成的△DEF也為正三角形．若D為BE的中點(diǎn)，①△DEF與△ABC的面積比為 ；②設(shè)λμ，則λ+μ＝ ．
【解答】解：①設(shè)BC＝a，CE＝m，則BE＝2m，
在△BCE中，由余弦定理得a2＝m2+（2m）2﹣2?m?（2m）?cs120°＝（1+4+2）m2＝7m2，
∴am，
∴△DEF與△ABC的面積比為．
②，
，
∴，
∴．
故答案為：①；②．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知復(fù)數(shù)z1＝a+i，z2＝1﹣ai，其中i是虛數(shù)單位，a∈R．
（1）若z1?z2為純虛數(shù)，求a的值；
（2）若2z1+2＝0，求的虛部．
【解答】解：（1）由復(fù)數(shù)z1＝a+i，z2＝1﹣ai，
則z1?z2＝（a+i）?（1﹣ai）＝a﹣a2i+i﹣ai2＝2a+（1﹣a2）i．
∵z1?z2為純虛數(shù)，
∴2a＝0且1﹣a2≠0．則a＝0；
（2）由2z1+2＝0，
得（a+i）2+2（a+i）+2＝0，a2+2a+1+（2a+2）i＝0，
解得，即a＝﹣1，
此時(shí)z1＝﹣1+i，z2＝1+i，
復(fù)數(shù)i，
∴復(fù)數(shù)的虛部為1．
18．（12分）某大型連鎖超市隨機(jī)抽取了100位客戶，對(duì)去年到該超市消費(fèi)情況進(jìn)行調(diào)查．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）均在區(qū)間[0.2，0.8]內(nèi)，按[0.2，0.3]，（0.3，0.4]，（0.4，0.5]，（0.5，0.6]，（0.6，0.7]，（0.7，0.8]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)樣本中消費(fèi)金額的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；
（2）求出這100位客戶最近一年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作代表）．
【解答】解：2×a×0.1+2×0.1+3×0.1+1.8×0.1+0.6×0.1＝1，
（1）由題可知，即0.2a＝0.26，所以a＝1.3．
求中位數(shù)即求該頻率分布直方圖的50百分位數(shù)，
即估計(jì)樣本中消費(fèi)金額的中位數(shù)為．
（2）由頻率分布直方圖可得，
，
因此，這100位客戶最近一年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)為0.466萬(wàn)元．
19．（12分）甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個(gè)不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)球，甲先隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為a，放回后乙再隨機(jī)摸出一個(gè)球，也記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為b，記錄摸球結(jié)果（a，b），如果a+b＞5，算甲贏，否則算乙贏．
（1）求a+b＝5的概率；
（2）這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）摸球結(jié)果（a，b）全部可能的結(jié)果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25種，
其中a+b＝5的結(jié)果為（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4種，故由古典概型的概率計(jì)算公式可得；
（2）這種游戲規(guī)則不公平，理由如下：
設(shè)甲贏為事件A，乙贏為事件B，則A，B為對(duì)立事件，
由題意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15個(gè)，
由古典概型的概率計(jì)算公式可得，∴，
∵P（A）＞P（B），故這種游戲規(guī)則不公平．
20．（12分）已知向量，．
（1）求向量和的夾角的余弦值；
（2）設(shè)向量，，是否存在正實(shí)數(shù)k，使得？如果存在，求出t的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵向量，，
∴（1，1），
∴，，
設(shè)向量和的夾角為θ，
；
（2）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)t和k，使得，則，


＝﹣2k+4（t+2）（t2﹣3）＝0，
∴k＝2（t+2）（t2﹣3），
∵k＞0，∴2（t+2）（t2﹣3）＞0，
故 或，
即存在且t的取值范圍為．
21．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，△PBC為等邊三角形，D，E分別為PC，PB的中點(diǎn)，BD⊥PA，BC＝2，AC＝1．
（1）求證：AC⊥平面PBC；
（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使得平面DEF與平面ABC的夾角為，若存在，求出CF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】（1）證明：∵△PBC為等邊三角形，D為PC中點(diǎn)，∴BD⊥PC，
又∵BD⊥PA，PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴AC?平面PAC，∴AC⊥BD，
取BC中點(diǎn)G，連接PG，
∵△PBC為等邊三角形，∴PG⊥BC，
∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，PG?平面PBC，
∵AC?平面ABC，∴PG⊥AC，∵BD與PG相交，BD，PG?平面PBC，∴AC⊥平面PBC；
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線為x軸，y軸，過C且與GP平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），B（0，2，0），，，，
設(shè)F（a，0，0）（0≤a≤1），則，，
設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為，
則，∴，
取，可得，∴為平面DEF的一個(gè)法向量，
取平面ABC的一個(gè)法向量為，
則，
解得，此時(shí)，∴在線段AC上存在點(diǎn)F使得平面DEF與平面ABC的夾角為，且．
22．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）若C，求A，B；
（2）若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由余弦定理得
，
即，
由正弦定理得
sinC﹣2sinBcsA＝2sinCcsC，
在△ABC中，
sinC＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B），
又sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
所以
sinAcsB﹣sinBcsA＝2sinCcsC，
即sin（A﹣B）＝sin2C，
又因?yàn)椋瑒t，
所以，解得；
（2）由（1）知sin2C＝sin（A﹣B），
①當(dāng)2C＝A﹣B時(shí)，且A+B+C＝π，
若△ABC是銳角三角形，則，
所以2A＝π+C＜π，不成立；
②當(dāng)2C+A﹣B＝π時(shí)，且A+B+C＝π，
所以C＝2B，所以，
則，且，
且，
又，所以．

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