1．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z是（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
2．（5分）已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．π
3．（5分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某市舉辦“紅歌大傳唱”主題活動(dòng)，以傳承紅色革命精神，踐行社會(huì)主義路線，某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，欲采用分層抽樣法組建一個(gè)18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊(duì)，則應(yīng)抽取高三（ ）
A．5人B．6人C．7人D．8人
4．（5分）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸，已知四邊形的面積為6cm2，則原四邊形的面積為（ ）cm2．
A．12B．C．D．3
5．（5分）在△ABC中，a＝6，，A＝30°，則最長(zhǎng)邊c＝（ ）
A．6B．12C．6或12D．
6．（5分）要得到函數(shù)的圖象，只需（ ）
A．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）
B．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)倍（縱坐標(biāo)不變）
C．將函數(shù)y＝3sin2x圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位
D．將函數(shù)y＝3sin2x圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位
7．（5分）如圖，△ABC中，，，D為BC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，用和表示為，則（ ）
A．3B．﹣3C．D．
8．（5分）一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次，并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字．記事件A為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件B為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”，事件C為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件D為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（ ）
A．A與D互斥B．C與D對(duì)立
C．A與B相互獨(dú)立D．A與C相互獨(dú)立
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，選對(duì)但不全對(duì)的得2分.
（多選）9．（5分）下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．若復(fù)數(shù)z，則z∈R
B．若z0，則z是純虛數(shù)
C．若z是復(fù)數(shù)，則一定有|z|2＝z2
D．若z1，z2∈C，則
（多選）10．（5分）已知向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的相反向量是
B．若，則k＝﹣2
C．在上的投影向量為
D．若，則k＝1
（多選）11．（5分）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．ω＝2
B．f（0）＝1
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)
（多選）12．（5分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA與平面ABCD所成角是∠SAB
D．AB與BC所成的角等于DC與SC所成的角
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）在我市今年高三年級(jí)期中聯(lián)合考試中，某校數(shù)學(xué)單科前10名的學(xué)生成績(jī)依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的60%分位數(shù)是 ．
14．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝105°，B＝45°，，則c＝ ．
15．（5分）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是 ．
16．（5分）已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，且A，B，C，D四點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（10分）已知函數(shù)（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
18．（12分）已知復(fù)數(shù)z＝1+mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且為純虛數(shù)（是z的共軛復(fù)數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)m及|z|；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（12分）新課標(biāo)設(shè)置后，特別強(qiáng)調(diào)了要增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，某市高二年級(jí)期末考試特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的期末模擬試卷，試卷滿分150分，并對(duì)整個(gè)高二年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試．現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，按照成績(jī)?yōu)閇90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于90分）．
（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計(jì)所抽取的100名學(xué)生成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)位于[120，140）的兩組學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加這次考試的考情分析會(huì)，試求[130，140）這組中至少有1人被抽到的概率．
20．（12分）已知向量（1，），（﹣2，0）．
（1）求的坐標(biāo)以及與之間的夾角；
（2）當(dāng)t∈[﹣1，1]時(shí)，求|t|的取值范圍．
21．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求A的大?。?br>（2）若A的角平分線交BC于D，且AD＝3，求△ABC面積的最小值．
22．（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AC＝BC＝PA，M是PB的中點(diǎn)，求AM與平面PBC所成角的正切值．
2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z是（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
【解答】解：1+i．
故選：A．
2．（5分）已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．π
【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l＝2，
∵圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面積為2π，
∴πrl＝2πr＝2π，解得r＝1，
∴h，
∴該圓錐的體積為：
V．
故選：A．
3．（5分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某市舉辦“紅歌大傳唱”主題活動(dòng)，以傳承紅色革命精神，踐行社會(huì)主義路線，某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，欲采用分層抽樣法組建一個(gè)18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊(duì)，則應(yīng)抽取高三（ ）
A．5人B．6人C．7人D．8人
【解答】解：依題意得：
某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，
欲采用分層抽樣法組建一個(gè)18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊(duì)，
則應(yīng)抽取高三的人數(shù)為：．
故選：C．
4．（5分）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸，已知四邊形的面積為6cm2，則原四邊形的面積為（ ）cm2．
A．12B．C．D．3
【解答】解：根據(jù)題意得∠BAD＝45°，
原四邊形為一個(gè)直角梯形，且上下底的邊長(zhǎng)分別和BC、AD相等，
高為AB的2倍，
即四邊形ABCD的高的2倍，面積是四邊形ABCD的2倍，
∴原平面圖形的面積為612cm2．
故選：B．
5．（5分）在△ABC中，a＝6，，A＝30°，則最長(zhǎng)邊c＝（ ）
A．6B．12C．6或12D．
【解答】解：∵△ABC中，a＝6，，A＝30°，
則由余弦定理可得 a2＝b2+c2﹣2bc?csA，
即 36＝108+c2﹣12c，
解得 c＝6，或 c＝12，
因?yàn)閏＞a，c＞b，
所以c＝12．
故選：B．
6．（5分）要得到函數(shù)的圖象，只需（ ）
A．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）
B．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)倍（縱坐標(biāo)不變）
C．將函數(shù)y＝3sin2x圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位
D．將函數(shù)y＝3sin2x圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位
【解答】解：將y＝3sin（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝3sin（x），故A錯(cuò)誤；
將y＝3sin（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝3sin（2x），故B錯(cuò)誤；
將函數(shù)y＝3sin2x的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝3sin（2x），故C錯(cuò)誤；
將函數(shù)y＝3sin2x的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝3sin（2x），故D正確；
故選：D．
7．（5分）如圖，△ABC中，，，D為BC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，用和表示為，則（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【解答】解：∵D為BC中點(diǎn)，∴（），
∵E為AD中點(diǎn)，∴（），
∵，，
∴，
∵，
∴λ，μ，
∴．
故選：D．
8．（5分）一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次，并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字．記事件A為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件B為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”，事件C為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件D為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（ ）
A．A與D互斥B．C與D對(duì)立
C．A與B相互獨(dú)立D．A與C相互獨(dú)立
【解答】解：連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次，基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
其中事件A包括：（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3）．
事件B包括：（1，4），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），
事件C包括：（1，1），（12），（1，3），（1，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
事件D包括：（12），（1，4），（2，2），（2，4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，4），
對(duì)于A：因?yàn)槭录嗀與D有相同的基本事件，（1，2），（1，4），（2，3），（3，2），故A與D互斥不成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)槭录﨏與D有相同的基本事件，（1，2），（1，4），（3，2），（3，4），故C與D對(duì)立不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)镻（A），P（B），P（AB），因?yàn)镻（AB）≠P（A）P（B），所以A與B不是相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)镻（A），P（C），而P（AC），因?yàn)閮蓚€(gè)事件的發(fā)生與否互不影響且P（AC）＝P（A）P（C），所以A與C相互獨(dú)立，故D正確．
故選：D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，選對(duì)但不全對(duì)的得2分.
（多選）9．（5分）下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．若復(fù)數(shù)z，則z∈R
B．若z0，則z是純虛數(shù)
C．若z是復(fù)數(shù)，則一定有|z|2＝z2
D．若z1，z2∈C，則
【解答】解：對(duì)于A，設(shè)z＝a+bi，（a，b∈R），則a﹣bi，
若z，則b＝0，∴z∈R，故A正確；
對(duì)于B，設(shè)z0時(shí)，z0，而z不是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)z＝1+i時(shí)，則|z|2＝2，zz2＝2im，
∴|z|2≠z2，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝m+ni（m，n∈R），
則z1?z2＝ma﹣nb+（mb+na）i，
ma﹣nb﹣（mb+na）i，
∵a﹣bi，m﹣ni，
∴（a﹣bi）（m﹣ni）＝ma﹣nb﹣（mb+na）i，
∴若z1，z2∈C，則，故D正確．
故選：AD．
（多選）10．（5分）已知向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的相反向量是
B．若，則k＝﹣2
C．在上的投影向量為
D．若，則k＝1
【解答】解：對(duì)于A，由相反向量的定義可知，的相反向量是，故A正確；
對(duì)于B，，，
則，
，，
則（﹣1）×4+4k＝0，解得k＝1，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，，，
則，，
故在上的投影向量為，故C正確；
對(duì)于D，，，，
則﹣k＝4×4，解得k＝﹣16，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
（多選）11．（5分）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．ω＝2
B．f（0）＝1
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)
【解答】解：由圖象知A＝2，
（），即T＝π，
則π，得ω＝2，故A正確，
此時(shí)f（x）＝2sin（2x+φ），
由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得2×（）+φ＝0，得φ，
此時(shí)f（x）＝2sin（2x），
則f（0）＝2sin2，故B錯(cuò)誤，
當(dāng)x≤0時(shí)，2x≤0，2x，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，故C正確，
將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝2sin[2（x）]＝2sn（2x）不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤，
故選：AC．
（多選）12．（5分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA與平面ABCD所成角是∠SAB
D．AB與BC所成的角等于DC與SC所成的角
【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正確；
∵AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正確；
∵AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影，∴SA與平面ABCD所成角是∠SAD，故C錯(cuò)誤；
∵AB⊥BC，SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD，∴∠SCD是銳角，
∴AB與BC所成角為直角，DC與C所成角為銳角，
∴AB與BC所成的角不等于DC與SC所成角，故D錯(cuò)誤．
故選：AB．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）在我市今年高三年級(jí)期中聯(lián)合考試中，某校數(shù)學(xué)單科前10名的學(xué)生成績(jī)依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的60%分位數(shù)是 146 ．
【解答】解：對(duì)10名同學(xué)的成績(jī)從小到大進(jìn)行排列：140，142，142，143，144，145，147，147，148，150，
根據(jù)10×60%＝6，故取第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的數(shù)據(jù)分別為：145，147；
10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的60%分位數(shù)為：．
故答案為：146．
14．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝105°，B＝45°，，則c＝ 10 ．
【解答】解：因?yàn)锳＝105°，B＝45°，，
所以C＝180°﹣A﹣B＝30°，
由正弦定理，可得，
則c＝10．
故答案為：10．
15．（5分）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是 ．
【解答】解：一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，可得基本事件的總數(shù)為6×6＝36種，
而點(diǎn)數(shù)和為5的事件為（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4種，
則點(diǎn)數(shù)和為5的概率為P．
故答案為：．
16．（5分）已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，且A，B，C，D四點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為 ．
【解答】解：正四面體各面都是全等的等邊三角形，
所以a，又正方體的面對(duì)角線可構(gòu)成正四面體，
正四面體棱長(zhǎng)為，可得正方體的棱長(zhǎng)為1，
所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，
所以外接球的直徑為，半徑為，所以球O的體積為π×（）3π．
故答案為：．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（10分）已知函數(shù)（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)（ω＞0）的最小正周期為π，
所以π，可得ω＝2，可得f（x）＝2sin（2x），
所以2sin（2）；
（2）由（1）可得f（x）＝2sin（2x），
令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ，kπ]，k∈Z．
18．（12分）已知復(fù)數(shù)z＝1+mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且為純虛數(shù)（是z的共軛復(fù)數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)m及|z|；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（1）∵z＝1+mi，
∴，
∴，
∵為純虛數(shù)，
∴，解得m＝﹣3，
故z＝1﹣3i，則；
（2）∵i2023＝i4×505+3＝i3＝﹣i，
∴，
∵復(fù)數(shù)z1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，
∴，解得，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
19．（12分）新課標(biāo)設(shè)置后，特別強(qiáng)調(diào)了要增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，某市高二年級(jí)期末考試特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的期末模擬試卷，試卷滿分150分，并對(duì)整個(gè)高二年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試．現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，按照成績(jī)?yōu)閇90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于90分）．
（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計(jì)所抽取的100名學(xué)生成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)位于[120，140）的兩組學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加這次考試的考情分析會(huì)，試求[130，140）這組中至少有1人被抽到的概率．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：
（0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005）×10＝1，
解得x＝0.02．
平均分為95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×0.1+145×0.05＝116.5．
（2）由頻率分布直方圖得到成績(jī)位于[120，130）和[130，140）上的人數(shù)比為2，
抽取的6人中成績(jī)位于[120，130）上的有4人，編號(hào)為1，2，3，4，
位于[130，140）上的有2人，編號(hào)為a，b，
從這6人中任2人的基本事件有12，13，14，1a，1b，23，24，2a，2b，34，3a，3b，4a，4b，ab，共15個(gè)，
其中[130，140）這組中至少有1人被抽到的基本事件有1a，1b，2a，2b，3a，3b，4a，4b，ab，共9個(gè)，
∴[130，140）這組中至少有1人被抽到的概率為P．
20．（12分）已知向量（1，），（﹣2，0）．
（1）求的坐標(biāo)以及與之間的夾角；
（2）當(dāng)t∈[﹣1，1]時(shí)，求|t|的取值范圍．
【解答】解：（1）∵向量（1，），（﹣2，0），
∴（1，）﹣（﹣2，0）＝（3，），
設(shè)與之間的夾角為θ，
∴csθ．
∵θ∈[0，π]，∴向量與的夾角為．
（2）|t|22﹣2t?t22＝4t2+4t+4＝4（t）2+3，
∴當(dāng)t∈[﹣1，1]時(shí)，|a﹣tb|2∈[3，12]，
∴|a﹣tb|的取值范圍是[，2]．
21．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求A的大??；
（2）若A的角平分線交BC于D，且AD＝3，求△ABC面積的最小值．
【解答】解：（1）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
由正弦定理，得，
得，
得，
因?yàn)閟inB≠0，所以，即．
（2）A的角平分線交BC于D，且AD＝3，
因?yàn)椋?br>所以bc＝3b+3c．
因?yàn)?，即bc≥36（當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝6時(shí)，等號(hào)成立），
所以．故△ABC面積的最小值為．
22．（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AC＝BC＝PA，M是PB的中點(diǎn)，求AM與平面PBC所成角的正切值．
【解答】（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．
∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：取PC中點(diǎn)D，連接AD．
∵AC＝PA，∴AD⊥PC，
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
∴AD⊥平面PBC，
連接DM，則∠AMD就是AM與平面PBC所成角．
設(shè)AC＝BC＝PA＝a，則，，∴DM，
∴tan∠AMD，
∴AM與平面PBC所成角的正切值是．

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