1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，則A∩（?UB）＝（ ）
A．{1}B．{5}C．{1，5}D．{1，2}
2．（5分）已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（ ）
A．2﹣iB．2+iC．﹣2+iD．﹣2﹣i
3．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，且E為AO的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中被抽取的小學(xué)生有80人，則樣本容量和該地區(qū)的初中生近視人數(shù)分別為（ ）
A．100，50B．100，1050C．200，50D．200，1050
5．（5分）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．若直線(xiàn)a∥平面α，則直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都無(wú)公共點(diǎn)
B．若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ
C．垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行
D．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)互相平行
6．（5分）函數(shù)的大致圖象為（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）某游戲在剛發(fā)布時(shí)有100名玩家，發(fā)布5天后有1000名玩家．加果玩家人數(shù)R（t）與天數(shù)之間滿(mǎn)足關(guān)系式：R（t）＝R0ekt，其中k為常數(shù)，R0是剛發(fā)布時(shí)的玩家人數(shù)，則玩家超過(guò)30000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（ ）（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771）
A．11B．12C．13D．14
8．（5分）如圖，已知電路中4個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
（多選）9．（5分）一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（ ）
A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)
B．x2，x3，x4，x5的第60百分位數(shù)等于x1，x2，…，x6的第60百分位數(shù)
C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差
D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差
（多選）10．（5分）已知ea＞eb，則下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．πa﹣b＞1
C．a(chǎn)2023＞b2023D．lg（a﹣b）＞1
（多選）11．（5分）一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．事件A與事件B互斥
C．事件A與事件B相互獨(dú)立
D．
（多選）12．（5分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE，△CDF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．BG⊥EF
B．G到平面DEF的距離為
C．若BG∥面EFP，則二面角D﹣EF﹣P的余弦值為
D．四面體G﹣DEF外接球表面積為24π
三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知，則sin2θ＝ ．
14．（5分）以棱長(zhǎng)為1的正方體各面的中心為頂點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)正八面體，那么這個(gè)正八面體的表面積是 ．
15．（5分）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有3個(gè)紅色球，2個(gè)白色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則第2次摸到紅色球的概率為 ．
16．（5分）在△ABC中，（2m，m+5），（csα，sinα），（m∈R，α∈R），若對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，則BC邊的最小值是 ．
三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面ADP是正三角形，側(cè)面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中點(diǎn)．
（1）求證：AM⊥平面CDP；
（2）求直線(xiàn)BP與底面ABCD所成角的正弦值．
18．（12分）已知在△ABC中，A+B＝2C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）設(shè)，求△ABC的面積．
19．（12分）已知向量，，記函數(shù)．
（1）求使函數(shù)f（x）≤0成立的x的取值集合；
（2）已知α，β均為銳角，，，求sin（2α﹣β）的值．
20．（12分）某地區(qū)為了解市民的心理健康狀況，隨機(jī)抽取了n位市民進(jìn)行心理健康問(wèn)卷調(diào)查，將所得評(píng)分百分制按國(guó)家制定的心理測(cè)評(píng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)整理，得到頻率分布直方圖．已知調(diào)查評(píng)分在[70，80）中的市民有200人．
心理測(cè)評(píng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)
（1）求n的值及頻率分布直方圖中t的值；
（2）該地區(qū)主管部門(mén)設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均值不低于0.75，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說(shuō)明理由．（每組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)＝調(diào)查評(píng)分÷100）
（3）在抽取的心理等級(jí)為D的市民中，按照調(diào)查評(píng)分的分組，分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣抽取3人進(jìn)行心理疏導(dǎo)．據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在[40，50）的市民的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為，調(diào)查評(píng)分在[50，60）的市民的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為，假設(shè)經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級(jí)轉(zhuǎn)化情況相互獨(dú)立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后恰有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率；
21．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，M為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：DB'∥平面BMA'；
（2）在體對(duì)角線(xiàn)DB'上是否存在動(dòng)點(diǎn)Q，使得AQ⊥平面BMA'？若存在，求出DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
22．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間I＝[a，b]（a＜b，I?D），若滿(mǎn)足以下兩條性質(zhì)之一，則稱(chēng)I為f（x）的一個(gè)“Ω區(qū)間”．
性質(zhì)1：對(duì)任意x∈I，有f（x）∈I；
性質(zhì)2：對(duì)任意x∈I，有f（x）?I．
（1）分別判斷區(qū)間[1，2]是否為下列兩函數(shù)的“Ω區(qū)間”（直接寫(xiě)出結(jié)論）；
①y＝3﹣x；②；
（2）若[0，m]（m＞0）是函數(shù)f（x）＝﹣x2+2x的“Ω區(qū)間”，求m的取值范圍；
（3）已知定義在R上，且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意a，b∈R，且a＜b，有f（a）﹣f（b）＞b﹣a．求證：f（x）存在“Ω區(qū)間”，且存在x0∈R，使得x0不屬于f（x）的任意一個(gè)“Ω區(qū)間”．
2022-2023學(xué)年湖南師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，則A∩（?UB）＝（ ）
A．{1}B．{5}C．{1，5}D．{1，2}
【解答】解：由已知可得?UB＝{1，5}，
所以A∩（?UB）＝{1}，
故選：A．
2．（5分）已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（ ）
A．2﹣iB．2+iC．﹣2+iD．﹣2﹣i
【解答】解：2﹣i，
則2+i．
故選：C．
3．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，且E為AO的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由題意可得：，
則．
故選：C．
4．（5分）某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中被抽取的小學(xué)生有80人，則樣本容量和該地區(qū)的初中生近視人數(shù)分別為（ ）
A．100，50B．100，1050C．200，50D．200，1050
【解答】解：由題意知，被抽取的小學(xué)生有80人，則樣本容量為80÷40%＝200；
所以該地區(qū)的學(xué)生人數(shù)為200÷2%＝10000，
所以該地區(qū)初中生近視人數(shù)為10000×35%×30%＝1050．
故選：D．
5．（5分）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．若直線(xiàn)a∥平面α，則直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都無(wú)公共點(diǎn)
B．若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ
C．垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行
D．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)互相平行
【解答】解：A項(xiàng)：直線(xiàn)與平面平行，即沒(méi)有公共點(diǎn)，故直線(xiàn)與平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)都無(wú)公共點(diǎn)，A項(xiàng)正確；
B項(xiàng)：α和β有可能平行，有可能相交，B項(xiàng)錯(cuò)誤；
C項(xiàng)：由直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)可知垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行，C項(xiàng)正確；
D項(xiàng)，由直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理可知垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)互相平行，D項(xiàng)正確．
故選：B．
6．（5分）函數(shù)的大致圖象為（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（﹣x）＝﹣sinx?lnsinx?lnsinx?lnf（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
排除A，C，
f（3）＝sin3ln0，排除B，
故選：D．
7．（5分）某游戲在剛發(fā)布時(shí)有100名玩家，發(fā)布5天后有1000名玩家．加果玩家人數(shù)R（t）與天數(shù)之間滿(mǎn)足關(guān)系式：R（t）＝R0ekt，其中k為常數(shù)，R0是剛發(fā)布時(shí)的玩家人數(shù)，則玩家超過(guò)30000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（ ）（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771）
A．11B．12C．13D．14
【解答】解：由題意得，
故，
又R（t）＞30000，即t＞5lg300＝5（lg3+2）≈12.3855＞12，
∴至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為13．
故選：C．
8．（5分）如圖，已知電路中4個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由題意知，本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，
燈泡不亮包括四個(gè)開(kāi)關(guān)都開(kāi)，或下邊的2個(gè)都開(kāi)，上邊的2個(gè)中有一個(gè)開(kāi)，
這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨(dú)立的，
∴燈泡不亮的概率是 ，
∵燈亮和燈不亮是兩個(gè)對(duì)立事件，
∴燈亮的概率是1，
故選：C．
二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
（多選）9．（5分）一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（ ）
A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)
B．x2，x3，x4，x5的第60百分位數(shù)等于x1，x2，…，x6的第60百分位數(shù)
C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差
D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差
【解答】解：因?yàn)樵谝唤M樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，
對(duì)于選項(xiàng)A：不妨令x2＝x3＝x4＝x5＝4，x1＝1，x6＝6，
此時(shí)40，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：不妨令x5≥x4≥x3≥x2，
因?yàn)?×0.6＝2.4，
所以x2，x3，x4，x5的第60百分位數(shù)為x4，
又x1為最小值，x6為最大值，且6×0.6＝3.6，
所以x1，x2，x3，x4，x5，x6的第60百分位數(shù)為x4，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：不妨令x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝x6＝7，
此時(shí)x1，x2，…，x6的平均數(shù)7，
則標(biāo)準(zhǔn)差s10，
而x2，x3，x4，x5的平均數(shù)7，
則標(biāo)準(zhǔn)差s20，
因?yàn)閟1＝s2，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)x2，x3，x4，x5中x2為最小值，x5為最大值，
此時(shí)x6﹣x1≥x5﹣x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2，x5＝x6時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)D正確．
故選：BD．
（多選）10．（5分）已知ea＞eb，則下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．πa﹣b＞1
C．a(chǎn)2023＞b2023D．lg（a﹣b）＞1
【解答】解：對(duì)于A(yíng)，令a＝1，b＝﹣1，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)閑a＞eb，所以a＞b，即a﹣b＞0，所以πa﹣b＞π0＝1，B正確；
對(duì)于C，由于a＞b且函數(shù)y＝x2023是增函數(shù)，所以a2023＞b2023，C正確；
對(duì)于D，令a＝1，b＝0，則lg（a﹣b）＝0＜1，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
（多選）11．（5分）一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．事件A與事件B互斥
C．事件A與事件B相互獨(dú)立
D．
【解答】解：對(duì)于A(yíng)，P（A），A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，實(shí)驗(yàn)的總結(jié)果數(shù)為4×4＝16，A，B同時(shí)發(fā)生的結(jié)果數(shù)為4，
所以P（A∩B）0，A，B不互斥，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，B發(fā)生的結(jié)果數(shù)為2×2+2×2＝8，P（B），
P（AB）＝P（A∪B）P（A）×P （B），所以事件A與事件B相互獨(dú)立，C正確；
對(duì)于D，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B），D正確．
故選：CD．
（多選）12．（5分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE，△CDF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．BG⊥EF
B．G到平面DEF的距離為
C．若BG∥面EFP，則二面角D﹣EF﹣P的余弦值為
D．四面體G﹣DEF外接球表面積為24π
【解答】解：由題意可得GE＝GF＝2，連接EF，BD，設(shè)EF∩BD＝H，
由正方形的對(duì)稱(chēng)性可得H為EF的中點(diǎn)，則EF⊥GH，EF⊥BD，
所以EF⊥平面BDG，即有EF⊥BG，故A正確；
由題意可得DG⊥GE，DG⊥GF，即有DG⊥平面GEF，
VD﹣GEF42×2．
設(shè)G到平面DEF的距離為d，由S△DEF26，
所以VD﹣GEF＝VG﹣DEFd×6，解得d，故B錯(cuò)誤；
若BG∥面EFP，平面BGD∩平面EFP＝PH，可得BG∥PH，
由BG⊥EF，可得PH⊥EF，又EF⊥DH，則∠PHD為二面角D﹣EF﹣P的平面角．
由正方形ABCD可得BD＝4，即有BH，DH＝3，
而，DG＝4，可得DP＝3，
又PH，則cs∠DHP，故C正確；
由于GE＝FG＝2，EF＝2，可得GE⊥GF，又GE⊥GD，GF⊥GD，
可把三棱錐G﹣DEF補(bǔ)成以GE，GF，GD為棱的長(zhǎng)方體，
可得四面體G﹣DEF外接球的半徑R，
則四面體G﹣DEF外接球表面積為4πR2＝24π，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知，則sin2θ＝ ．
【解答】解：cs（θ），
可得（csθ﹣sinθ），
兩邊平方化簡(jiǎn)得：1﹣2csθsinθ，
∴sin2θ．
故答案為：．
14．（5分）以棱長(zhǎng)為1的正方體各面的中心為頂點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)正八面體，那么這個(gè)正八面體的表面積是 ．
【解答】解：根據(jù)題意，以棱長(zhǎng)為1的正方體各面的中心為頂點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)正八面體，設(shè)所得正八面體的棱長(zhǎng)為a，
則這個(gè)正八面體的中截面（垂直平分相對(duì)頂點(diǎn)連線(xiàn)的界面）是正方形，
且正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于正方體的棱長(zhǎng)1，則1，解可得a，
又由該正八面體的每個(gè)面都是等邊三角形，
則其表面積S＝8×（）．
故答案為：．
15．（5分）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有3個(gè)紅色球，2個(gè)白色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則第2次摸到紅色球的概率為 ．
【解答】解：袋子中有相同的5個(gè)球，3個(gè)紅球，2個(gè)白球，
不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，
∴第1次可能摸到1白色球或1紅色球
∴第2次摸到紅色球的概率為：，
故答案為：．
16．（5分）在△ABC中，（2m，m+5），（csα，sinα），（m∈R，α∈R），若對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，則BC邊的最小值是 ．
【解答】解：根據(jù)題意，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，
即||恒成立，則必有BC⊥AC，
又（2m，m+5），（csα，sinα），
則||，||＝1，
則||

，
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，BC邊的最小值為．
故答案為：．
三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面ADP是正三角形，側(cè)面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中點(diǎn)．
（1）求證：AM⊥平面CDP；
（2）求直線(xiàn)BP與底面ABCD所成角的正弦值．
【解答】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面ADP是正三角形，且M是DP的中點(diǎn)，
所以AM⊥PD，
因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AD⊥CD，
又側(cè)面ADP⊥底面ABCD，側(cè)面ADP∩底面ABCD＝AD，CD?底面ABCD，
所以CD⊥平面ADP，
因?yàn)锳M?平面ADP，所以CD⊥AM，
又PD∩CD＝D，PD、CD?平面CDP，
所以AM⊥平面CDP．
（2）解：取AD的中點(diǎn)E，連接BE，PE，則PE⊥AD，
因?yàn)閭?cè)面ADP⊥底面ABCD，側(cè)面ADP∩底面ABCD＝AD，PE?平面ADP，
所以PE⊥平面ABCD，
所以∠PBE即為直線(xiàn)BP與底面ABCD所成角，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則PE，BE，
所以PB2，
在Rt△PBE中，sin∠PBE，
故直線(xiàn)BP與底面ABCD所成角的正弦值為．
18．（12分）已知在△ABC中，A+B＝2C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）設(shè)，求△ABC的面積．
【解答】解：（1）因?yàn)锳+B＝2C，而A+B+C＝π，可得C，
又因?yàn)?sin（A﹣C）＝sinB＝sin（π﹣A），
即sinAcsAcsAsinA，
可得sinA＝3csA，可得tanA＝3，
A∈（0，π），
可得sinA；
（2）由正弦定理可得，
所以a?sinA?6，csA，
sinB＝sin（π﹣A）csAsinA??，
所以S△ABCacsinB6×26．
19．（12分）已知向量，，記函數(shù)．
（1）求使函數(shù)f（x）≤0成立的x的取值集合；
（2）已知α，β均為銳角，，，求sin（2α﹣β）的值．
【解答】解：（1），，．
則f（x）2（1﹣csx）﹣1


，
∵f（x）≤0，
∴，即，k∈Z，解得，k∈Z，
故使函數(shù)f（x）≤0成立的x的取值集合為{x|，k∈Z}；
（2），
則，解得，
α為銳角，
則csα，
α，β均為銳角，
則α﹣β∈，
，
則，
故sin（2α﹣β）＝sin[（α﹣β）+α]＝sin（α﹣β）csα+cs（α﹣β）sinα．
20．（12分）某地區(qū)為了解市民的心理健康狀況，隨機(jī)抽取了n位市民進(jìn)行心理健康問(wèn)卷調(diào)查，將所得評(píng)分百分制按國(guó)家制定的心理測(cè)評(píng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)整理，得到頻率分布直方圖．已知調(diào)查評(píng)分在[70，80）中的市民有200人．
心理測(cè)評(píng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)
（1）求n的值及頻率分布直方圖中t的值；
（2）該地區(qū)主管部門(mén)設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均值不低于0.75，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說(shuō)明理由．（每組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)＝調(diào)查評(píng)分÷100）
（3）在抽取的心理等級(jí)為D的市民中，按照調(diào)查評(píng)分的分組，分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣抽取3人進(jìn)行心理疏導(dǎo)．據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在[40，50）的市民的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為，調(diào)查評(píng)分在[50，60）的市民的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為，假設(shè)經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級(jí)轉(zhuǎn)化情況相互獨(dú)立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后恰有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率；
【解答】解：（1）易知調(diào)查評(píng)分在[70，80）中的市民有200人，
而評(píng)分在[70，80）中的頻率為10×0.020＝0.2，
所以n1000，
而10（t+0.004+7t+0.020+0.035+0.025）＝1，
解得t＝0.002；
（2）市民心理健康調(diào)查評(píng)分的平均值10（45×0.002+55×0.004+65×0.014+75×0.020+85×0.035+95×0.025）＝80.7，
則市民心理健康指數(shù)平均值為0.807＞0.75，
所以只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，不需要舉辦心理健康大講堂；
（3）因?yàn)樵u(píng)分在[40，50）中的人數(shù)是評(píng)分在[50，60）中人數(shù)的一半，
若通過(guò)分層隨機(jī)抽樣抽取3人進(jìn)行心理疏導(dǎo)，
此時(shí)評(píng)分在[40，50）內(nèi)的有1人，在[50，60）內(nèi)的有2人，
記“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后恰有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B”為事件A，
因?yàn)榻?jīng)心理疏導(dǎo)后的等級(jí)轉(zhuǎn)化情況相互獨(dú)立，
所以P（A），
則在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后恰有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為．
21．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，M為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：DB'∥平面BMA'；
（2）在體對(duì)角線(xiàn)DB'上是否存在動(dòng)點(diǎn)Q，使得AQ⊥平面BMA'？若存在，求出DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）證明：連接B'A，交A'B于點(diǎn)E，連接EM，
在正方體中，可得E為AB'的中點(diǎn)，而M是AD的中點(diǎn)，
在△DAB'中，ME∥DB'，
ME?平面BMA'，DB'?平面BMA'，
可證得DB'∥平面BMA'；
（2）對(duì)角線(xiàn)DB'上存在點(diǎn)Q，且DQ，使得AQ⊥平面BMA'，
證明如下：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
A（0，0，0），B（3，0，0），D（0，3，0），則M（0，，0），A'（0，0，3），B'（3，0，3），
則（﹣3，，0），（﹣3，0，3），（0，3，0），
設(shè)λλ（﹣3，3，﹣3）＝（﹣3λ，3λ，﹣3λ），（﹣3λ，3λ+3，﹣3λ），
因?yàn)锳Q⊥平面BMA'，
所以，即，解得λ，
即Q（1，2，1），
所以DQDB'3
即在對(duì)角線(xiàn)DB'上存在點(diǎn)Q，且DQ，使得AQ⊥平面BMA'．
22．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間I＝[a，b]（a＜b，I?D），若滿(mǎn)足以下兩條性質(zhì)之一，則稱(chēng)I為f（x）的一個(gè)“Ω區(qū)間”．
性質(zhì)1：對(duì)任意x∈I，有f（x）∈I；
性質(zhì)2：對(duì)任意x∈I，有f（x）?I．
（1）分別判斷區(qū)間[1，2]是否為下列兩函數(shù)的“Ω區(qū)間”（直接寫(xiě)出結(jié)論）；
①y＝3﹣x；②；
（2）若[0，m]（m＞0）是函數(shù)f（x）＝﹣x2+2x的“Ω區(qū)間”，求m的取值范圍；
（3）已知定義在R上，且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意a，b∈R，且a＜b，有f（a）﹣f（b）＞b﹣a．求證：f（x）存在“Ω區(qū)間”，且存在x0∈R，使得x0不屬于f（x）的任意一個(gè)“Ω區(qū)間”．
【解答】解（1）①中，函數(shù)y＝3﹣x，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，可得y∈[1，2]，
所以區(qū)間[1，2]是函數(shù)y＝3﹣x的一個(gè)“Ω區(qū)間”；
②中，函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，可得y∈[2，4]，此時(shí)不滿(mǎn)足f（x）?[1，2]，也不滿(mǎn)足f（x）∈[1，2]，
所以區(qū)間[1，2]不是函數(shù)的一個(gè)“Ω區(qū)間”；
所以①是（滿(mǎn)足性質(zhì)1），②不是；
（2）記I＝[0，m]，S＝{f（x）|x∈I}，
可得f（0）＝0∈[0，m]，
故若I為f（x）的“Ω區(qū)間”，
則不滿(mǎn)足性質(zhì)②，必滿(mǎn)足性質(zhì)①，即S?I；
由f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）在[0，m]上單調(diào)遞增，
且f（m）﹣m＝﹣m2+2m﹣m＝﹣m（m﹣1）＞0，
即f（m）＞m，所以S＝[0，f（m）]不包含于I＝[0，m]，不合題意；
當(dāng)1≤m≤2時(shí)，S＝[f（0），f（1）]＝[0，1]?[0，m]＝I，符合題意；
當(dāng)m＞2時(shí)，f（m）＜f（2）＝0，所以f（x）?I，不合題意；
綜上所述，1≤m≤2，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，2]；
（3）證明：對(duì)于任意區(qū)間I＝[a，b]（a＜b），記S＝{f（x）|x∈I}，
由已知得f（x）在I上單調(diào)遞減，故S＝[f（b），f（a）]，
因?yàn)閒（a）﹣f（b）＞b﹣a，
即S的長(zhǎng)度大于I的長(zhǎng)度，故不滿(mǎn)足性質(zhì)①，
所以若I為f（x）的“Ω區(qū)間”，必滿(mǎn)足性質(zhì)②，這只需S∩I＝?，
即只需f（a）＜a或f（b）＞b，
由f（x）＝x顯然不恒成立，所以存在常數(shù)c使得f（c）≠c，
如f（c）＜c，取a＝c，區(qū)間I＝[a，b]（a＜b）滿(mǎn)足性質(zhì)②；
如f（c）＞c，取b＝c，區(qū)間I＝[a，b]（a＜b）滿(mǎn)足性質(zhì)②；
綜上，函數(shù)f（x）一定存在“Ω區(qū)間”；
記g（x）＝f（x）﹣x，則g（x）圖象連續(xù)不斷，下證明g（x）有零點(diǎn)：
因?yàn)閒（x）在R上是減函數(shù)，所以g（x）在R上是減函數(shù)，記f（0）＝t；
若t＝0，則x0＝0是g（x）的零點(diǎn)，
若t＞0，則f（t）＜f（0）＝t，即g（0）＞0，g（t）＜0，
由零點(diǎn)存在性定理，可知存在x0∈（0，t），使得g（x0）＝0，
若t＜0，則f（t）＞f（0）＝t，即g（0）＜0，g（t）＞0，
由零點(diǎn)存在性定理，可知存在x0∈（t，0），使得g（x0）＝0，
綜上，g（x）有零點(diǎn)x0，即f（x0）＝x0，
因?yàn)閒（x）的所有“Ω區(qū)間”I都滿(mǎn)足性質(zhì)②，故x0?I（否則f（x0）＝x0∈I，與性質(zhì)②不符），
即x0不屬于f（x）的任意一個(gè)“Ω區(qū)間”．調(diào)查評(píng)分
[0，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
心理等級(jí)
E
D
B
B
A
調(diào)查評(píng)分
[0，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
心理等級(jí)
E
D
B
B
A

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