一、選擇題（每題5分，共45分）
1．設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知a、b、，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
4．下列說法中正確的個(gè)數(shù)為（ ）個(gè)
①對(duì)立事件一定是互斥事件；②在經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量減少0．1個(gè)單位；③兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越接近于1；④在回歸分析棋型中，若相關(guān)指數(shù)越小，則殘差平方和越大，棋型的擬合效果越好．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函數(shù)，若，則（ ）
A． B．
C． D．
6．若，則（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則等于（ ）
A．0．14 B．0．36 C．0．72 D．0．868．
8．已知函數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
9．設(shè)定義在上的函數(shù)與，若，且為奇函數(shù)，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，則下列說法中一定正確的是（ ）
A．是奇函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C． D．點(diǎn)（其中）是函數(shù)的對(duì)稱中心
二、填空題（每題5分，共30分）
10．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）
11．分別從0，2，4和1，3，5中各任取2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有_____個(gè)．
12．公差大于零的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，若，則________．
13．已知，則的最小值為__________．
14．某學(xué)校有A，B兩家餐廳，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，某班學(xué)生第1天午餐時(shí)選擇A餐廳和選擇B餐的概率均為．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為，則某同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為假設(shè)班內(nèi)各位同學(xué)的選擇相互獨(dú)立，隨機(jī)變量X為該班3名同學(xué)中第2天選擇B餐廳的人數(shù)，則隨機(jī)變量X的均值_________．
15．設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)學(xué)點(diǎn)，則數(shù)a的取值范圍為__________．
三、解答題（共75分，需寫出必要的文字說明、推理過程或計(jì)算步臻，只有結(jié)果的不給分）
16．（本小題滿分14分）如圖，PD垂直于梯形ABCD所在平面，，F(xiàn)為線段PA上一點(diǎn)，，四邊形PDCE為矩形．
（I）若F是PA的中點(diǎn)，求證：平面DEF；
（Ⅱ）求直線AE與平面BCP所成角的正弦值；
（Ⅲ）若點(diǎn)F到平面BCP的距離為，求PF的長(zhǎng)．
17．（本小題滿分15分）2024年世界羽聯(lián)賽已經(jīng)開始，同時(shí)，也是奧運(yùn)年，4年一度最精彩賽事即將來臨！為了激發(fā)同學(xué)們的奧運(yùn)精神，某校組織同學(xué)們參加羽毛球比賽，若甲、乙兩位同學(xué)相約打一場(chǎng)羽毛球比賽，采用五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，假設(shè)在每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立
（I）求甲以的比分獲勝的概率；
（Ⅱ）設(shè)X表示比賽結(jié)束時(shí)進(jìn)行的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
18．今年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨103周年，為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立103周年，某高中決定開展“學(xué)黨史，知奮進(jìn)”黨史知識(shí)克賽活動(dòng)，為了解學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況與選修歷史學(xué)科之間的關(guān)系，在全校隨機(jī)選取了選修歷史和不選修歷史各50人作為樣本，設(shè)事件“獲獎(jiǎng)”，“選修歷史”，據(jù)統(tǒng)計(jì)．統(tǒng)計(jì)100名學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況后得到如下列聯(lián)表：
參考公式：
（I）完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否有把握推斷認(rèn)為“黨史知識(shí)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)與選修歷史學(xué)科有關(guān)”；（結(jié)果保留三位小數(shù)）
（Ⅱ）從選歷史且獲獎(jiǎng)的學(xué)生中選取2名男生和4名女生組成“學(xué)黨史、知奮進(jìn)宣講團(tuán)”，在某次活動(dòng)中，從這6名學(xué)生中隨機(jī)選取3人為宣講員，求男生宣講員人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
19．（本小題滿分15分）已知等差數(shù)列，滿足，正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求
（Ⅲ）在之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列，在之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列，……；在之間插入n個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列
①求；②求
20．（本小題滿分16分）已知函數(shù)．
（I）討論的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令．
①證明：當(dāng)時(shí)，；
②若數(shù)列滿足，證明：．
天津市第四十七中學(xué)2023-2024（二）高二年級(jí)
第二次月考數(shù)學(xué)試卷答案
一、選擇題
1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D9 ．D
二、填空題（本大題共6小題．每題5分共30分）
10．6 11．180 12．28 13．6 14．， 15．
三、解答題
16．（本小題滿分14分）
（I）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面DEF的法向量為
，令
平面DEF，平面DEF．
（III）設(shè)平面BCP的法向量
，令，解得：；
設(shè)直線AE與平面BCP所成角為，．
則直線AE與平面BCP所成角正弦值為．
（III），設(shè)
由平面BCP的法向量，點(diǎn)F到平面BCP的距離．
解得，所以．
17．（本小題滿分15分）
（I）以的比分獲勝，則甲在前3局勝2局輸1局，第4局勝利，概率為：
（Ⅱ）X可能的取值為3，4，5，
；；
18．（本小題滿分15分）
（I）設(shè)獲獎(jiǎng)且沒選修歷史為x人
（人）
又（人）
（I）由題意可得列聯(lián)表：
零假設(shè)為：黨史知識(shí)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)與選修歷史學(xué)科無關(guān)
則
故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即有把握認(rèn)為“黨史知識(shí)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)與選修歷史學(xué)科”有關(guān)．
（Ⅱ）由題意的取值可能為0，1，2，
則，故的分布列為：
則．
19．（本小題滿分15分）
（I）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意知，，解得，所以；
因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，故．
（Ⅱ）
．
（Ⅲ）成等差數(shù)列，，
①
②設(shè)，
則，
設(shè)，所以，
，
兩式相減得，
，所以．
20．（本小題滿分16分）
（I）函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（II）當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，
令恒成立，則在上單調(diào)遞減，
，因此，成立，所以當(dāng)時(shí)，．
②由①可知，當(dāng)時(shí)，，由得，即，由，
可得，而，又，即，則，由于，只需證，又當(dāng)時(shí)，，
令恒成立，則在上單調(diào)遞增，
，則當(dāng)時(shí)，恒有，而，即成立，
不等式成立，因此成立，即成立．
獲獎(jiǎng)
沒有獲獎(jiǎng)
合計(jì)
選修歷史
沒有選修歷史
合計(jì)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
3
4
5
P
獲獎(jiǎng)
沒有獲獎(jiǎng)
合計(jì)
選修歷史
20
30
50
沒有選修歷史
10
40
50
合計(jì)
30
70
100
0
1
2
P

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