第I卷（共三部分；滿分150分）
一?選擇題（每題5分，共45分）
1. 直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將直線一般式化為斜截式，利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.
【詳解】因為直線，可化為，
所以直線的斜率為（其中為直線的傾斜角），
又，所以.
故選：C.
2. 如圖，在三棱錐中，點，，分別是，，的中點，設(shè)，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量的線性運算、三角形的中位線及線段中點的向量表示進行化簡求解.
【詳解】如圖，連接，
因為點，分別是，的中點，
所以.
因為點是的中點，
所以
.
因為點是的中點，
所以，
則.
故選：D.
3. 已知雙曲線：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出橢圓的焦點坐標(biāo)，由雙曲線的漸近線及焦點坐標(biāo)得到方程組，解得、，即可得解.
【詳解】解：橢圓的焦點為，
又雙曲線：的一條漸近線方程為，
所以，解得，所以雙曲線方程為.
故選：C
4. 已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值是（）
A. 13B. 16C. 17D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】求出點所在圓關(guān)于直線對稱的圓，將距離等價轉(zhuǎn)化為點到對稱圓上的對應(yīng)點的距離，根據(jù)三角形中任意兩邊之差小于第三邊的關(guān)系即可解決本題.
【詳解】
設(shè)直線：，圓，圓，
易知點關(guān)于直線的對稱點為，以為圓心，以1為半徑的圓即為圓關(guān)于直線的對稱圓.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則有，
∴，
如圖，連接，
在中，有，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取得等號，
故求解的最大值問題轉(zhuǎn)換為求最大值問題，
故當(dāng)直線過圓心和圓心且距離最遠且點恰好為直線與直線的交點時可取得最大值.
由題意知點和點坐標(biāo)分別為：，，兩圓半徑分別為1和2，
故最大值為：.
故選：B.
5. 點F是拋物線的焦點，A為雙曲線C：的左頂點，直線AF平行于雙曲線C的一條漸近線，則實數(shù)b的值為（）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】由題可得坐標(biāo)，根據(jù)可得答案.
【詳解】由題，，則.因直線AF平行于雙曲線C的一條漸近線，則.
故選：B
6. 已知正項等比數(shù)列滿足，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用求出，再由即可求出.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為．
由，得，
解得，
又
得．
故選：A
7. 已知數(shù)列的前項和，若，則（）
A. 578B. 579
C. 580D. 581
【答案】B
【解析】
【分析】由的關(guān)系得出通項公式，再討論，兩種情況，結(jié)合求和公式得出.
【詳解】當(dāng)時，
當(dāng)時，，經(jīng)檢驗時，不成立.
故得到.
令，則，解得，且，
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，
，
故：，.
故選：B.
8. 如圖，在正三棱柱中，若，則點到直線的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中點，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】取的中點，則，
以為原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以在上的投影的長度為，
故點到直線的距離．
故選：B.
9. 已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的右焦點為，以為直徑的圓與的兩條漸近線分別交于與原點不重合的兩點，，若，則四邊形的面積為（）
A. 6B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合雙曲線圖像對稱性，可得軸，根據(jù)圓的性質(zhì)和雙曲線，，的關(guān)系可計算出，，，的長度，進而求出四邊形的面積.
【詳解】設(shè)與軸交于點，由雙曲線的對稱性可知軸，，，
又因為，所以，即，
所以，因為點在以為直徑的圓上，所以，所在的漸近線方程為，
點到漸近線距離為，
所以，
所以，，則，
所以，
故選：B
二?填空題（每題5分，共30分）
10. 已知向量，，，且，則___________.
【答案】18
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運算列方程組求解參數(shù)，即可得結(jié)論.
【詳解】由題意得，
因為，所以，得，，所以.
故答案為：.
11. 已知拋物線上一點到其焦點的距離為 5，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線上一點到其焦點的距離為 5，利用拋物線的定義，由求解.
【詳解】因為拋物線上一點到其焦點的距離為 5，
所以，
解得，
所以該拋物線的準(zhǔn)線方程為，
故答案為：
12. 等差數(shù)列前項和分別是與，且，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，得到，代入即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的前項和公式，得，
又由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，而，
所以.
故答案為：
13. 已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段的中點為，則直線l的斜率為_________.
【答案】
【解析】
【分析】由橢圓離心率和關(guān)系可得關(guān)系，再由點差法和中點坐標(biāo)公式、兩點的斜率公式可得所求值.
【詳解】由題意可得，整理可得，
設(shè)，
則，
兩式相減可得，
的中點為，，
則直線斜率.
故答案為：.
14. 若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
【分析】作出圖形，考查直線過點以及直線與曲線相切時實數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，可得，整理可得，
即，其中，
故曲線表示圓的下半圓，
作出直線與曲線的圖形如下圖所示：
當(dāng)直線過點時，，
當(dāng)直線與曲線相切時，，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.
由題意,可得，且，解得，
結(jié)合圖形可知，當(dāng)時，直線與曲線有公共點，
因此b的取值范圍為.
故答案為：.
15. 設(shè)數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中．則使不等式對任意正整數(shù)都成立的最大實數(shù)的值為__________．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】先通過遞推公式求出通項公式，代入求出的通項公式，最后代入轉(zhuǎn)化為恒成立問題，研究新數(shù)列的單調(diào)性即可求出最小值.
【詳解】因為，所以，
所以，即，
兩邊同除可得，
又因為時，所以，
所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，
即，
所以，
代入不等式可得，
即，
令，則，
所以
，
因為，
所以，
所以恒成立，即為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，
所以，即的最大值為，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：數(shù)列的恒成立問題往往需要研究數(shù)列的單調(diào)性，一般通過作差法來判斷單調(diào)性.
三?解答題（共75分，解答需寫出必要的文字說明推理過程或計算步驟，只有結(jié)果的不給分）
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在直線上，且圓與直線相切于點.
（1）求圓的方程；
（2）過點的直線被圓截得的弦長為2，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定圓心所在直線，解方程組求得圓心坐標(biāo)，繼而求得半徑，即可求得圓的方程；
（2）討論直線l的斜率是否存在，存在時，設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離的表達式，根據(jù)弦長列式計算，求得斜率，即可得答案.
【小問1詳解】
由題意得圓心在過點和直線垂直的直線上，
該直線方程為，即，
聯(lián)立，解得，即圓心為，
半徑為，
故圓M方程為；
【小問2詳解】
由于，故在圓M外，
過點的直線被圓截得的弦長為2，
若直線l斜率不存在，則方程為，
圓心到l的距離為，則弦長為，符合題意；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)其方程為，即，
則圓心到l的距離為，
由于直線被圓截得的弦長為2，故，
解得，故直線l的方程為,
綜合得直線的方程為或.
17. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，平面，且，點在棱上（不包括端點），點為中點.
（1）若，求證：直線平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值；
（3）是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明過程見詳解
（2）
（3）存在，，理由見詳解.
【解析】
【分析】(1) 取的一個靠近點的三等分點，連接，利用平行的傳遞性得到，進而得到四邊形為平行四邊形，則，再利用線面平行的判定定理即可求解；
(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入向量的夾角公式即可求解；
(3)假設(shè)存在點，設(shè)，根據(jù)（2）中平面的法向量以及題中與平面所成角的正弦值為，求出即可求解.
【小問1詳解】
取的一個靠近點的三等分點，連接，
因為，所以且,
又因為，且，點為中點，
所以且，則四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，所以直線平面.
【小問2詳解】
如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，又為的中點，則，
所以，,
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
所以，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
【小問3詳解】
存在，.
假設(shè)存在點(不包括端點)，設(shè)，即，，
由（2）得，且平面的法向量，
，則，
所以，因為與平面所成角的正弦值為，
則，
整理得：，解得：或（舍去），
故存在點，使與平面所成角的正弦值為，此時.
18. 設(shè)是等比數(shù)列的公比大于，其前項和為，是等差數(shù)列，已知，，，.
（1）求，的通項公式；
（2）設(shè)，求；
（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.
【答案】（1）,
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列的通項公式求解；
（2）利用錯位相減法求和；
（3）利用裂項相消法求和.
【小問1詳解】
設(shè)的公比為，
因為，所以，即，解得或（舍），
所以，
設(shè)的公差為，
因為，，所以，，
所以，解得，所以.
【小問2詳解】
由（1）可得，，
所以，
，
所以，
所以.
【小問3詳解】
，
所以
.
19. 已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，并借助，即可求出橢圓的方程；
（Ⅱ）利用直線與圓相切，得到，設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點坐標(biāo)，進而求出點坐標(biāo)，再根據(jù)，求出直線的斜率，從而得解.
【詳解】（Ⅰ）橢圓的一個頂點為，
，
由，得，
又由，得，
所以，橢圓的方程為；
（Ⅱ）直線與以為圓心的圓相切于點，所以，
根據(jù)題意可知，直線和直線的斜率均存在，
設(shè)直線斜率為，則直線的方程為，即，
，消去，可得，解得或.
將代入，得，
所以，點的坐標(biāo)為，
因為為線段的中點，點的坐標(biāo)為，
所以點的坐標(biāo)為，
由，得點坐標(biāo)為，
所以，直線的斜率為，
又因為，所以，
整理得，解得或.
所以，直線的方程為或.
【點睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、中點坐標(biāo)公式以及直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算求解能力，屬于中檔題.當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，要想到聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程.
20. 已知數(shù)列的前n項和為滿足.數(shù)列滿足，且満足
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足；求；
（3），數(shù)列的前項和為，求證：.
【答案】（1），；
（2）；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由與的遞推關(guān)系得出為等比數(shù)列求解，由為等差數(shù)列求通項公式；
（2）分是奇數(shù)、偶數(shù)，分組求和即可得解；
（3）利用放縮法及裂項相消求和證明即可.
【小問1詳解】
，時，
時，，
，即，
是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，
由題可知，是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
，.
【小問2詳解】
，
(i) n為偶數(shù)時，
，
(ii) n為奇數(shù)時，
，
【小問3詳解】
，
，
(i)右式證明：，
(ii)左式證明：
綜上得證.

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