（數(shù)學(xué)學(xué)科）
本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，共120分，考試用時(shí)100分鐘.第1卷至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.
答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在答題紙上.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題紙上，答在試卷上的無效.
祝各位考生考試順利!
第I卷
注意事項(xiàng)：
1.每小題選出答案后，用鉛筆將機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).
2.本卷共9小題，共36分.
一?選擇題（每小題4分，共36分）
1.已知向量.若，則實(shí)數(shù)（ ）
A.1 B.-1 C.9 D.-9
2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
3.已知非零向量滿足，若，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
4.如圖，在中，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
5.一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，如圖所示，，則原平面圖形的面積為（ ）
A. B. C. D.
6.已知，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
7.一個(gè)正方體表面積與一個(gè)球表面積相等，那么它們的體積比是（ ）
A. B. C. D.
8.如圖所示，為線段外一點(diǎn)，若中任意相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，，則（ ）
A. B. C. D.
9.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正三棱柱容器，所有棱長(zhǎng)都為，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)，測(cè)得水深為，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（ ）
A. B. C. D.
第II卷
注意事項(xiàng)：
1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題紙上.
2.本卷共11小題，共84分.
二?填空題（每小題4分，共24分）
10.若是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則__________.
11.已知四邊形的頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則__________.
12.在中，角所對(duì)的邊分別為，且的面積為，若，則__________.
13.正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為__________.
14.如圖，甲乙兩人做游戲，甲在處發(fā)現(xiàn)乙在北偏東方向，相距6百米的處，乙正以每分鐘5百米的速度沿南偏東方向前進(jìn)，甲立即以每分鐘7百米的速度，沿北偏東方向追趕乙，則甲追趕上乙最少需要__________分鐘.
15.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，，則__________；若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________.
三?解答題
16.（本小題12分）
已知復(fù)數(shù).
（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；
（2）若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求的取值范圍.
17.（本小題12分）
已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若.
①求與的夾角的余弦值；
②求.
18.（本小題12分）
在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.
（1）求的值；
（2）若.
（i）求的面積；
（ii）求的值.
19.（本小題12分）
如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值；
（3）若直線與平面所成的角的正弦值為，求此時(shí)的長(zhǎng)度.
20.（本小題12分）
在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求的大?。?br>（2）若，求的面積；
（3）求的最大值.
高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量過程性檢測(cè)答案
一?單選題
1.【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，求解即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，且?br>得，得.
故選：B.
2.【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求出其共軌復(fù)數(shù).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.
故選：C
3.【答案】C
【分析】由向量垂直，數(shù)量積為0，可求得的值，從而求出與的夾角.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>則，又，
所以，
又，則與的夾角為.
故選：C.
4.【答案】A
【分析】確定，得到，根據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】，故，則，
又是上一點(diǎn)，所以，解得.
故選：A.
5.【答案】A
【分析】在直觀圖中求出的長(zhǎng)，再還原平面圖，即可求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，從而求出面積.
【詳解】如圖，在直觀圖中過點(diǎn)，作交于點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以，即
將直觀圖還原為平面圖如下：
則，
所以.
故選：A
6.【答案】C
【分析】根據(jù)向量在向量上的投影公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛椋海?br>故選：C.
7.【答案】A
【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，
由得，故
故答案為A.
8.【答案】D
【分析】借助向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算即可得.
【詳解】令線段中點(diǎn)為，則有，
……，
則
，
則.
故選：D.
9.【答案】D
【分析】根據(jù)球的截面圓即為正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓，求得截面的半徑，再利用球的截面性質(zhì)求解.
【詳解】解：設(shè)球的半徑為，球的截面圓的半徑為，即為正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，
則，
解得，
由球的截面性質(zhì)得：，
解得，
所以球的體積為，
故選：D
二?填空題
10.【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，即可化簡(jiǎn)得到答案.
【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，則，所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算與化簡(jiǎn)和復(fù)數(shù)模的求解，其中熟記復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.
11.【答案】7
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出的坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得答案.
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
，
.
故答案為7.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，合理構(gòu)建坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.
12.【答案】
【分析】根據(jù)三角形面積可得，利用余弦定理，即可得出答案.
【詳解】，故，解得，
又，則.
故答案為：.
13.【答案】
【分析】根據(jù)給定條件求出正八面體的表面積和體積即可計(jì)算作答.
【詳解】正八面體的表面是8個(gè)全等的正三角形組成，其中正邊長(zhǎng)為2，則正八面體的表面積，
而正八面體可視為兩個(gè)共底面的，
側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等的正四棱錐與拼接而成，
正四棱錐的高，
則正八面體的體積，
于是得，
所以正八面體的體積與表面積之比為.
故答案為：.
14.【答案】2
【分析】設(shè)他們?cè)邳c(diǎn)處相遇，引入?yún)?shù)，表示出，結(jié)合余弦定理即可運(yùn)算求解.
【詳解】如圖所示：
設(shè)他們?cè)邳c(diǎn)處相遇，甲追趕上乙最少需要分鐘，
由題意（距離單位是百米），且，由余弦定理有：，即，也就是，解得或（舍去），
所以甲追趕上乙最少需要2分鐘.
故答案為：2.
15.【答案】；
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得正方形各頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得；設(shè)，表示出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得的最小值.
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
，
是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，可得，
，
；
因?yàn)辄c(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)，
故，
所以，
故，
由于，所以時(shí)，取到最小值，
即的最小值為，
故答案為：
三?解答題
16.【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義，限制實(shí)部虛部求解即可.
（2）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義限制實(shí)部虛部的范圍，解不等式組求解即可.
【詳解】（1）由題意得，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，
所以，解得
（2）復(fù)數(shù)
它在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以，
解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
17.【答案】（1）或
（2）①；②.
【分析】（1）利用向量共線的結(jié)論求值.
（2）先根據(jù)條件求出的值，再利用向量的數(shù)量積求夾角，利用向量的坐標(biāo)求模.
【詳解】（1）因?yàn)椋曰?
（2）因?yàn)?
此時(shí).
①.
所以.
②因?yàn)?，所?
18.（1）解：由正弦定理
，
即，
，
所以.
（2）（i）解：由（1）知，即，又，
由余弦定理，得，
解得，
，
.
（ii）解：，
19.【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）1
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明即可；
（2）求平面的法向量，利用向量法求夾角余弦即可；
（3）利用線面角的向量公式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)樗睦忮F的底面是正方形，平面，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
又因?yàn)?，則，即，
由平面，所以平面.
（2）設(shè)平面與平面的夾角為，
平面的法向量，平面的法向量，
所以，，
則平面與平面的夾角的余弦值為.
（3）設(shè)長(zhǎng)度為，
設(shè)直線與平面所成角為，
因?yàn)椋?br>.
解得，此時(shí)的長(zhǎng)度為1.
20.【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式化簡(jiǎn)整理可得，由此可得；
（2）利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，由三角形面積公式可求得結(jié)果；
（3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范圍，令，將所求式子化為，由單調(diào)性可求得最大值.
【詳解】（1）由正弦定理得：，又
，
，
即，又，
又.
（2）由余弦定理得：，解得：，.
（3）由余弦定理得：，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，
又；
，
令，則在上單調(diào)遞增，
，即的最大值為.

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