1.在復(fù)平面內(nèi)，(1+3i)(3?i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2.設(shè)集合A={0,?a}，B={1,a?2,2a?2}，若A?B，則a=( )
A. 2B. 1C. 23D. ?1
3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有( )
A. C40045?C20015種B. C40020?C20040種C. C40030?C20030種D. C40040?C20020種
4.已知向量a=(1,1)，b=(1,?1).若(a+λb)⊥(a+μb)，則( )
A. λ+μ=1B. λ+μ=?1C. λμ=1D. λμ=?1
5.設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x?a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是( )
A. (?∞,?2]B. [?2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)
6.設(shè)橢圓C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的離心率分別為e1，e2，若e2= 3e1，則a=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 6
7.已知α為銳角，csα=1+ 54，則sinα2=( )
A. 3? 58B. ?1+ 58C. 3? 54D. ?1+ 54
8.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4=?5，S6=21S2，則S8=( )
A. 120B. 85C. ?85D. ?120
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(00)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B，F(xiàn)2A=?23F2B，則C的離心率為_(kāi)_____.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為 3，D為BC的中點(diǎn)，且AD=1.
(1)若∠ADC=π3，求tanB；
(2)若b2+c2=8，求b，c.
16.(本小題15分)
在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)
17.(本小題15分)
如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC中點(diǎn).
(1)證明BC⊥DA；
(2)點(diǎn)F滿(mǎn)足EF=DA，求二面角D?AB?F的正弦值.
18.(本小題17分)
雙曲線C中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(?2 5,0)，離心率為 5.
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)(?4,0)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA1與NA2交于P，證明P在定直線上.
19.(本小題17分)
已知函數(shù)f(x)=xeax?ex.
(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)ln(n+1).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(1+3i)(3?i)=3?i+9i+3=6+8i，
則在復(fù)平面內(nèi)，(1+3i)(3?i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,8)，位于第一象限．
故選：A.
直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．
本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．
2.【答案】B
【解析】解：依題意，a?2=0或2a?2=0，
當(dāng)a?2=0時(shí)，解得a=2，
此時(shí)A={0,?2}，B={1,0,2}，不符合題意；
當(dāng)2a?2=0時(shí)，解得a=1，
此時(shí)A={0,?1}，B={1,?1,0}，符合題意．
故選：B.
根據(jù)題意可得a?2=0或2a?2=0，然后討論求得a的值，再驗(yàn)證即可．
本題考查集合間的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】D
【解析】解：∵初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生，
∴人數(shù)比例為400：200=2：1，
則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，
則有C40040?C20020 種．
故選：D.
根據(jù)分層抽樣先進(jìn)行計(jì)算，然后利用組合公式進(jìn)行求解即可．
本題主要考查分層抽樣以及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題，利用組合公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
4.【答案】D
【解析】解：∵a=(1,1)，b=(1,?1)，
∴a+λb=(λ+1,1?λ)，a+μb=(μ+1,1?μ)，
由(a+λb)⊥(a+μb)，得(λ+1)(μ+1)+(1?λ)(1?μ)=0，
整理得：2λμ+2=0，即λμ=?1.
故選：D.
由已知求得a+λb與a+μb的坐標(biāo)，再由兩向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系列式求解．
本題考查平面向量加法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
5.【答案】D
【解析】解：設(shè)t=x(x?a)=x2?ax，對(duì)稱(chēng)軸為x=a2，拋物線開(kāi)口向上，
∵y=2t是t的增函數(shù)，
∴要使f(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，
則t=x2?ax在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，
即a2≥1，即a≥2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).
故選：D.
利用換元法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
6.【答案】A
【解析】解：由橢圓C2：x24+y2=1可得a2=2，b2=1，
∴c2= 4?1= 3，
∴橢圓C2的離心率為e2= 32，
∵e2= 3e1，
∴e1=12，
∴ a2?1a=12，
∴a=2 33，(?2 33舍去).
故選：A.
利用橢圓C2：x24+y2=1的方程可求其離心率e2，進(jìn)而可求e1，可求a.
本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬基礎(chǔ)題．
7.【答案】D
【解析】解：csα=1+ 54，
則csα=1?2sin2α2，
故2sin2α2=1?csα=3? 54，即sin2α2=3? 58=( 5)2+12?2 516=( 5?1)216，
∵α為銳角，
∴sinα2>0，
∴sinα2=?1+ 54.
故選：D.
根據(jù)已知條件，結(jié)合二倍角公式，以及角α的取值范圍，即可求解．
本題主要考查半角的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】C
【解析】解：等比數(shù)列{an}中，S4=5，S6=21S2，顯然公比q≠1，
設(shè)首項(xiàng)為a1，則a1(1?q4)1?q=?5①，a1(1?q6)1?q=21a1(1?q2)1?q②，
化簡(jiǎn)②得q4+q2?20=0，解得q2=4或q2=?5(不合題意，舍去)，
代入①得a11?q=13，
所以S8=a1(1?q8)1?q=a11?q(1?q4)(1+q4)=13×(?15)×(1+16)=?85.
故選：C.
由題意知公比q≠1，設(shè)首項(xiàng)為a1，由S6=21S2求出q2，再代入S4求出a11?q，由此求得S8.
本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．
9.【答案】AD
【解析】解：因?yàn)閒(x)=sin(2x+φ)(0g(0)=0，矛盾；
①當(dāng)2a?1≤0，即a≤12，
g′(x)=xeax+xaeax?ex=eax+ln(1+ax)?ex≤e12x+ln(1+12x)?ex≤e12x+12x?ex=0，
所以g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，g(x)≤g(0)=0，符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤12.
(3)求導(dǎo)易得t?1t>2lnt(t>1)，
令t= 1+1n，
1+1n?1 1+1n>2ln 1+1n，可得1n 1+1n>ln(1+1n)，
1 n2+n>ln(n+1n)，k=1n1 k2+k>k=1nln(k+1k)=ln(21×32×...×n+1n)=ln(n+1)，
即1 12+1+1 22+2+...+1 n2+n>ln(n+1).
【解析】(1)先求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性．
(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+1=xeax?ex+1(x>0)，則g(x)0上恒成立，又g′(x)=eax+xaeax?ex，令h(x)=g′(x)，則h′(x)=a(2eax+axeax)?ex，根據(jù)h′(0)的正負(fù)分情況討論，得到g(x)的單調(diào)性以及最值，判斷是否滿(mǎn)足題意，即可求出a的取值范圍．
(3)求導(dǎo)易得t?1t>2lnt(t>1)，令t= 1+1n，利用上述不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可證得結(jié)論．
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于難題．

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