一、選擇題
1、設(shè),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2、已知集合,,則中元素的個數(shù)為( )
A.3B.2C.1D.0
3、已知向量,滿足,,,則( )
A.-2B.-1C.1D.2
4、我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.?德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如.在不超過16的素數(shù)中,隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),其和等于16的概率是( )
A.B.C.D.
5、的展開式中的系數(shù)為40,則實數(shù)a的值為( )
A.4B.2C.1D.
6、設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為.P是C上一點,且.若的面積為2,則( )
A.1B.2C.D.4
7、在中,,,,則( )
A.B.C.D.
8、如圖,四邊形ABCD為正方形,平面ABCD,,,則三棱錐的體積為( )
A.B.C.2D.
9、在正方體中,點M為平面內(nèi)的一動點,是點M到平面的距離,是點M到直線BC的距離,且（為常數(shù)）,則點M的軌跡不可能是( )
A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線
10、已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且的圖象關(guān)于對稱.若,則( )
A.3B.2C.0D.50
11、設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,,,則三棱錐體積的最大值為( )
A.B.C.D.
12、已知,設(shè)函數(shù),若關(guān)于x的不等式在R上恒成立,則a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、填空題
13、已知等差數(shù)列前9項的和為27,,則__________.
14、若樣本數(shù)據(jù),,···,的標(biāo)準(zhǔn)差為3,則數(shù)據(jù),,···,的標(biāo)準(zhǔn)差為_____________.
15、在直線上取一點作拋物線的切線,切點分別為A,B,直線AB與與圓交于M,N兩點,當(dāng)最小時,D的橫坐標(biāo)是__________.
16、已知函數(shù),下述四個結(jié)論：
①若,且在有且僅有5個零點,則在有且僅有3個極大值點;
②若,且在有且僅有4個零點,則在有且僅有2個極大值點;
③若,且在有且僅有5個零點,則在上單調(diào)遞增;
④若,且在有且僅有2個零點和3個極值點,則的范圍是.
其中所有正確結(jié)論的編號是__________.
三、解答題
17、記為數(shù)列的前n項和,已知,.
(1)求的通項公式;
(2)證明：.
18、近段時間,因為“新冠”疫情全體學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí),為了研究學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況,某學(xué)校隨機(jī)抽取120名學(xué)生對線上教學(xué)進(jìn)行調(diào)查,其中男生與女生的人數(shù)之比為,男生中喜歡上網(wǎng)課的為,女生中喜歡上網(wǎng)課的為,得到如下列聯(lián)表.
(1)請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,試判斷能否有的把握認(rèn)為喜歡上網(wǎng)課與否與性別有關(guān);
(2)從不喜歡上網(wǎng)課的學(xué)生中采用分層抽樣的方法,隨機(jī)抽取6人,現(xiàn)從6人中隨機(jī)抽取2人,若所選2名學(xué)生中的女生人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：,其中.
19、如圖,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,.是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點,.
(1)證明：平面平面PBC;
(2)求二面角的余弦值.
20、已知雙曲線的離心率是,點在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè),M為C上一點,N為圓上一點（M,N均不在x軸上）.直線AM,AN的斜率分別記為,且,判斷：直線MN是否過定點？若過定點,求出定點的坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.
21、已知函數(shù)（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）,曲線在點處的切線方程是,.
(1)求a,b;
(2)若在上恒成立,求m的取值范圍.
22、在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為,（t為參數(shù)且）,C與坐標(biāo)軸交于A,B兩點.
(1)求;
(2)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求直線AB的極坐標(biāo)方程.
23、設(shè)a,b,c均為正數(shù),且,證明：
(1);
(2).
參考答案
1、答案：D
解析：,,
故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第四象限.
故選：D.
2、答案：B
解析：集合中的元素為點集,由題意,可知集合A表示以為圓心,1為半徑的單位圓上所有點組成的集合,集合B表示直線上所有的點組成的集合,又圓與直線相交于兩點,,則中有2個元素.
故選B.
3、答案：D
解析：由題意得,即,
即,
故,
故鄉(xiāng)：D.
4、答案：B
解析：不超過的素數(shù)有,,,,,共個,
隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),基本事件總數(shù)為,,,,,,,
,,,,,,,共有個基本事件.
記“選取兩個數(shù)之和等于16”為事件A,
因為,所以其和等于16的有2個基本事件,
故概率為.
故選：B.
5、答案：C
解析：展開式的通項公式,,1,2···,5
則其展開式中的系數(shù)為,
的系數(shù)為,
又的展開式中的系數(shù)為40,
故,則,
故選：C.
6、答案：B
解析：設(shè),,由,的面積為2,
可得, ①
由離心率為,可得,代入①式,可得.
故選：B.
7、答案：A
解析：由余弦定理可知,
解得,
所以,
又,
解得,
故選：A.
8、答案：C
解析：連接BD交AC于M,連接FM,,
,,,
易得,則有,
由四邊形ABCD為正方形,則,又平面ABC,平面ABC,
則有,
,BD,平面BDEF, 則有平面BDEF,
平面BDEF,所以,
,AC,平面AFC,
故有平面AFC,
,
則有三棱錐的體積,
故選：C.
9、答案：A
解析：由條件作出正方體,并以A為原點,
直線AB、AD和分別為x、y和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示：
設(shè)正方體的棱長為,點,
所以得,,
由,得,
所以,即①（）,
當(dāng)時,①式化得：,
此時,點M的軌跡是拋物線;
當(dāng)時,①式化得：,
即,
②,
當(dāng)時,,則②式,是雙曲線的方程,即點M的軌跡為雙曲線;
當(dāng)時,,則②式,是橢圓的方程,即點M的軌跡為橢圓;
故選：A.
10、答案：C
解析：因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),
所以,且,
又的圖象關(guān)于對稱,則,
即①,則,,
在①中,令,得,
則,所以函數(shù)的周期為,即,
則有,
所以
,
故選：C.
11、答案：B
解析：如圖,M是外心,即所在截面圓圓心,
設(shè)圓半徑為r,O是球心,
因為,,
由余弦定理可得：,
所以,所以,則
,,
平面ABC,平面ABC,則,
所以,
當(dāng)D是MO的延長線與球面交點時,三棱錐體積的最大,
此時棱錐的高為,,
所以棱錐體積為.
故選：B.
12、答案：A
解析：當(dāng)時,,
若,必有,解得,所以,
若,滿足,
所以;
當(dāng)時,,即,
令,,
由得,得,
則在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
即,
綜上所述,a的取值范圍為.
故選：A.
13、答案：13
解析：等差數(shù)列前9項的和為27,,
,
解得,,
.
故答案為:13.
14、答案：6
解析：因為樣本數(shù)據(jù),,···,的標(biāo)準(zhǔn)差為3,故樣本數(shù)據(jù),,···,的方差為9,
則數(shù)據(jù),,···,的方差為,
故數(shù)據(jù),,···,的標(biāo)準(zhǔn)差為6,
故答案為：6.
15、答案：2
解析：設(shè),,,,且直線AB的方程為,
聯(lián)立拋物線,消去y可得：,
根據(jù)韋達(dá)定理可得：,,
由拋物線,求導(dǎo)可得：,
過,的切線方程為,
過,的切線方程為,
聯(lián)立上式,整理可得：,
兩式相減整理可得：,
因為,所以,且,
根據(jù)題意,可得,即,
則直線AB的方程為,由此該直線過定點,
由圓,可得,可得,
則圓心到直線的距離
當(dāng)時,,當(dāng)時,,則,
綜合,當(dāng)且僅當(dāng)時d取最小值,時d取最大值;
由于直線與圓相交弦長,則d取最大值時,弦長取最小,可得直線AB的方程為,
所以D的橫坐標(biāo).
故答案為：2.
16、答案：①③
解析：對于①,若,則,在有且僅有5個零點,如圖,
其圖象的右端點的橫坐標(biāo)在上,此時在有且僅有3個極大值點,故①正確;
對于②,若,則,在有且僅有4個零點,如圖,
其圖象的右端點的橫坐標(biāo)在上,則在有2個或3個極大值點,故②不正確;
對于③,若,令,,且,
在上有且僅有5個零點,在上有且僅有5個零點,
,當(dāng)時,,
又,,,
在上單調(diào)遞增.
在上單調(diào)遞增,故③正確.
對于④,若,令,,且,
因為在有且僅有2個零點和3個極值點,
在上有且僅有2個零點和3個極值點,
,故④錯誤.
故答案為：①③.
17、答案：(1)
(2)證明見解析
解析：（1）由已知①,
所以當(dāng)時,②,
①②得,整理可得,則,,,···,,,
等式左右分別相乘得,
又,所以;
（2）由（1）得,
則,所以,
所以
,
又,所以,
所以,
即.
18、答案：(1)列聯(lián)表見解析;沒有的把握
(2)分布列見解析;
解析：（1）根據(jù)題意,男生人數(shù)為,女生人數(shù)為,
男生喜歡上網(wǎng)課的人數(shù)為 不喜歡上網(wǎng)課的人數(shù)為;
女生喜歡上網(wǎng)課的人數(shù)為 ,不喜歡上網(wǎng)課的人數(shù)為,
得到如下列聯(lián)表：
故,
所以沒有的把握認(rèn)為喜歡上網(wǎng)課與否與性別與性別有關(guān);
（2）從不喜歡上網(wǎng)課的學(xué)生中采用分層抽樣的方法,抽樣比為,
所以抽取的男生人數(shù)為,抽取的女生人數(shù)為,
故X的取值為0,1,2,
則,
,
,
所以X的分布列為：
所以.
19、答案：(1)證明見解析
(2)
解析：（1）由題意知O是圓錐底面的圓心,,則平面ABC,為正三角形,
則,
設(shè),由題設(shè)可得,,
是底面的內(nèi)接正三角形,故,
,
因此,從而,
又,故,
,PB,平面PBC,
所以平面PBC,又平面PAC,
故平面平面PBC;
（2）如圖,以O(shè)為原點,在平面ABC內(nèi)過O點作AE的垂線作為x軸,
以O(shè)E,OD為y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由（1）結(jié)論,不妨取,則,可得,
,
則,,
設(shè)是平面PCE的法向量,則,即,
令,則可取,
,,
設(shè)是平面APC的法向量,則,即,
令,則可取,
則,
由圖知二面角的平面角為銳角,
故二面角的余弦值為.
20、答案：(1).
(2)直線MN過定點,定點為.
解析：（1）由雙曲線的離心率是,
可得,,
又點在雙曲線C上,即,解得,
故雙曲線C的方程為.
（2）由題意可知,且AM的方程為 ,
聯(lián)立,可得,,,
設(shè),由題意可知該方程有一根為-1,
故,則,
AN的方程為,
聯(lián)立,可得,,
設(shè),由題意可知該方程有一根為-1,
故,則,
由于,即,由于,故,
故,,
所以直線MN的斜率為
,
故直線MN的方程為,
即,即,
由于,故,
即直線MN過定點.
21、答案：(1);
(2).
解析：（1）因為,
即切點為,
又因為,
所以,
又因為函數(shù)在點處的切線方程是,
所以,
解得;
（2）由（1）可知,
所以在上恒成立,
等價于在上恒成立,
即在上恒成立,
令,
則,
令,
則有,
所以在上單調(diào)遞增,
又,因為,所以,
而,所以,,即,
,
所以存在唯一零點,使得,
當(dāng)時,,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,,單調(diào)遞增;
所以,
由,可得,
所以,
所以,
令,則,
所以在上單調(diào)遞增,
又因為,
所以,
所以,且,
所以,
所以,解得,
故實數(shù)m的取值范圍為:.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）令,則,解得或（舍）,則,即.
令,則,解得或（舍）,則,即.
所以.
（2）由（1）可知,
則直線AB的方程為,即.
由,可得,直線AB的極坐標(biāo)方程為.
23、答案：(1)證明見解析
(2)證明見解析
解析：（1）由,得,
又由基本不等式可知當(dāng)a,b,c均為正數(shù)時,,,,
當(dāng)且僅當(dāng)時,上述不等式等號均成立,
所以,
即,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立;
（2）因為a,b,c均為正數(shù),
所以若證,
即證,
又,,,當(dāng)且僅當(dāng)時,不等式等號均成立,
則,
即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
喜歡上網(wǎng)課
不喜歡上網(wǎng)課
合計
男生
女生
合計
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜歡上網(wǎng)課
不喜歡上網(wǎng)課
合計
男生
40
30
70
女生
35
15
50
合計
75
45
120
X
0
1
2
P

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