一、單選題
1．（2024·全國(guó)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·全國(guó)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．B．C．1D．2
二、填空題
3．（2024·全國(guó)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則 .
4．（2024·北京）已知，，不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，下列正確的是 .
①，均為等差數(shù)列，則M中最多一個(gè)元素；
②，均為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；
③為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；
④單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則M中最多一個(gè)元素.
5．（2024·上海）無(wú)窮等比數(shù)列滿(mǎn)足首項(xiàng)，記，若對(duì)任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是 ．
三、解答題
6．（2024·全國(guó)）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．
(1)寫(xiě)出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；
(3)從中一次任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．
7．（2024·全國(guó)）已知雙曲線(xiàn)，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.
(1)若，求；
(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，.
8．（2024·全國(guó)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
9．（2024·全國(guó)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．
10．（2024·北京）設(shè)集合．對(duì)于給定有窮數(shù)列，及序列，，定義變換：將數(shù)列的第項(xiàng)加1，得到數(shù)列；將數(shù)列的第列加，得到數(shù)列…；重復(fù)上述操作，得到數(shù)列，記為．
(1)給定數(shù)列和序列，寫(xiě)出；
(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，證明：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”．
11．（2024·天津）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．
(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；
(2)設(shè)，，其中是大于1的正整數(shù)．
（?。┊?dāng)時(shí)，求證：；
（ⅱ）求．
參考答案：
1．D
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來(lái)處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.
【解析】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
2．B
【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.
【解析】由，則，
則等差數(shù)列的公差，故.
故選：B.
3．95
【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.
【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，
則.
故答案為：.
4．①③④
【分析】利用兩類(lèi)數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.
【解析】對(duì)于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線(xiàn)上，
而兩條直線(xiàn)至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.
對(duì)于②，取則均為等比數(shù)列，
但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無(wú)窮多個(gè)元素，
故②錯(cuò)誤.
對(duì)于③，設(shè)，，
若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，
若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；
若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，
當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個(gè)偶數(shù)解，
當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個(gè)奇數(shù)解，
因?yàn)椋豢赡芡瑫r(shí)成立，
故不可能有4個(gè)不同的正數(shù)解，故③正確.
對(duì)于④，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，
后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.
故答案為：①③④
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來(lái)分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.
5．
【分析】當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，結(jié)合為閉區(qū)間可得對(duì)任意的恒成立，故可求的取值范圍.
【解析】由題設(shè)有，因?yàn)椋?，故?br>當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)為閉區(qū)間，
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，若，則，
若，則，
若，則，
綜上，，
又為閉區(qū)間等價(jià)于為閉區(qū)間，
而，故對(duì)任意恒成立，
故即，故，
故對(duì)任意的恒成立，因，
故當(dāng)時(shí)，，故即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與等比數(shù)列性質(zhì)有關(guān)的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立為轉(zhuǎn)為關(guān)于與公比有關(guān)的不等式恒成立，必要時(shí)可利用參變分離來(lái)處理.
6．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）直接根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可；
（2）根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；
（3）證明使得原數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè)，再使用概率的定義.
【解析】（1）首先，我們?cè)O(shè)數(shù)列的公差為，則.
由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，
故我們可以對(duì)該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?br>得到新數(shù)列，然后對(duì)進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.
換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.
回到原題，第1小問(wèn)相當(dāng)于從中取出兩個(gè)數(shù)和，使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.
那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是，或，或.
所以所有可能的就是.
（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，共組.
（如果，則忽略②）
故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.
（3）定義集合，.
下面證明，對(duì)，如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，
則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：
命題1：或；
命題2：.
我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.
第一種情況：如果，且.
此時(shí)設(shè)，，.
則由可知，即，故.
此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，
剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，共組；
③，共組.
（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）
故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.
第二種情況：如果，且.
此時(shí)設(shè)，，.
則由可知，即，故.
由于，故，從而，這就意味著.
此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下四個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，，共組；
③全體，其中，共組；
④，共組.
（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）
這里對(duì)②和③進(jìn)行一下解釋?zhuān)簩ⅱ壑械拿恳唤M作為一個(gè)橫排，排成一個(gè)包含個(gè)行，個(gè)列的數(shù)表以后，個(gè)列分別是下面這些數(shù)：
，，，.
可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù)，它們?cè)偃〔⒁院螅瑢⑷”橹谐_(kāi)五個(gè)集合，，，，中的十個(gè)元素以外的所有數(shù).
而這十個(gè)數(shù)中，除開(kāi)已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個(gè)數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個(gè)數(shù).
這就說(shuō)明我們給出的分組方式滿(mǎn)足要求，故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.
至此，我們證明了：對(duì)，如果前述命題1和命題2同時(shí)成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.
然后我們來(lái)考慮這樣的的個(gè)數(shù).
首先，由于，和各有個(gè)元素，故滿(mǎn)足命題1的總共有個(gè)；
而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.
但這導(dǎo)致，矛盾，所以.
設(shè)，，，則，即.
所以可能的恰好就是，對(duì)應(yīng)的分別是，總共個(gè).
所以這個(gè)滿(mǎn)足命題1的中，不滿(mǎn)足命題2的恰好有個(gè).
這就得到同時(shí)滿(mǎn)足命題1和命題2的的個(gè)數(shù)為.
當(dāng)我們從中一次任取兩個(gè)數(shù)和時(shí)，總的選取方式的個(gè)數(shù)等于.
而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè).
所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿(mǎn)足
.
這就證明了結(jié)論.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義數(shù)列的理解，只有理解了定義，方可使用定義驗(yàn)證或探究結(jié)論.
7．(1)，
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；
（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明的取值為與無(wú)關(guān)的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明的取值為與無(wú)關(guān)的定值即可.
【解析】（1）
由已知有，故的方程為.
當(dāng)時(shí)，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)為，與聯(lián)立得到.
解得或，所以該直線(xiàn)與的不同于的交點(diǎn)為，該點(diǎn)顯然在的左支上.
故，從而，.
（2）由于過(guò)且斜率為的直線(xiàn)為，與聯(lián)立，得到方程.
展開(kāi)即得，由于已經(jīng)是直線(xiàn)和的公共點(diǎn)，故方程必有一根.
從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.
所以該直線(xiàn)與的不同于的交點(diǎn)為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過(guò)韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.
所以.
這就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
（3）方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)平面上三個(gè)點(diǎn)，若，，則.（若在同一條直線(xiàn)上，約定）
證明：
.
證畢，回到原題.
由于上一小問(wèn)已經(jīng)得到，，
故.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有
.
而又有，，
故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得
.
這就表明的取值是與無(wú)關(guān)的定值，所以.
方法二：由于上一小問(wèn)已經(jīng)得到，，
故.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有
.
這就得到，
以及.
兩式相減，即得.
移項(xiàng)得到.
故.
而，.
所以和平行，這就得到，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識(shí)的結(jié)合，需要綜合運(yùn)用多方面知識(shí)方可得解.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求.
【解析】（1）因?yàn)?故，
所以即故等比數(shù)列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數(shù)列求和公式得.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．
（2）利用錯(cuò)位相減法可求.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，，所以即，
而，故，故，
∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
10．(1)
(2)不存在符合條件的，理由見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）直接按照的定義寫(xiě)出即可；
（2）利用反證法，假設(shè)存在符合條件的，由此列出方程組，進(jìn)一步說(shuō)明方程組無(wú)解即可；
（3）分充分性和必要性?xún)煞矫嬲撟C.
【解析】（1）由題意得；
（2）假設(shè)存在符合條件的，可知的第項(xiàng)之和為，第項(xiàng)之和為，
則，而該方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，
故不存在符合條件的；
（3）我們?cè)O(shè)序列為，特別規(guī)定.
必要性：
若存在序列，使得為常數(shù)列.
則，所以.
根據(jù)的定義，顯然有，這里，.
所以不斷使用該式就得到，，必要性得證.
充分性：
若.
由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).
我們?cè)O(shè)是通過(guò)合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個(gè).
上面已經(jīng)證明，這里，.
從而由可得.
同時(shí)，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).
下面證明不存在使得.
假設(shè)存在，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，，即.
情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.
對(duì)該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來(lái)的減少，這與的最小性矛盾；
情況2：若，不妨設(shè).
情況2-1：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來(lái)的至少減少，這與的最小性矛盾；
情況2-2：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來(lái)的至少減少，這與的最小性矛盾.
這就說(shuō)明無(wú)論如何都會(huì)導(dǎo)致矛盾，所以對(duì)任意的都有.
假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.
則此時(shí)對(duì)任意，由可知必有.
而和都是偶數(shù)，故集合中的四個(gè)元素之和為偶數(shù)，對(duì)該數(shù)列進(jìn)行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來(lái)的更小，這與的最小性矛盾.
綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，以及對(duì)其本質(zhì)的分析.
11．(1)
(2)①證明見(jiàn)詳解；②
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；
（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，即?br>可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
當(dāng)時(shí)，則，即
可知，
，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，則；
若，則，
當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列，
可得，
所以，
且，符合上式，綜上所述：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列；
2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.

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