上海市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬試卷01（測(cè)試范圍：選修一+選修二）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（滬教版2020選修）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、填空題（滿分54分，1-6題每題4分，7-12題每題5分）
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，2，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，2，．
【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，，．
【解答】解：根據(jù)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)得：
在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，2，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，2，．
故答案為：，2，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查空間直角坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．
2．為正整數(shù)）的二項(xiàng)展開式中，若第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 20 ．
【分析】根據(jù)第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，建立方程求出，然后進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，
，得，
則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：20．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，根據(jù)系數(shù)相等建立方程求出的值是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 4 ．
【分析】根據(jù)進(jìn)行求解．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．
4．中國古典數(shù)學(xué)的代表作有《算數(shù)書》《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》等．學(xué)校圖書館計(jì)劃將這四試卷源自每日更新，更低價(jià)下載，歡迎訪問。本書借給3名學(xué)生閱讀，要求每人至少讀一本，則不同的借閱方式有 36 種（用數(shù)字作答）．
【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在四本書中選出2本，分配給三人中的1人，②剩下的2本安排給其余2人，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①在四本書中選出2本，分配給三人中的1人，有種分法，
②剩下的2本安排給其余2人，有種分法，
則有種借閱方式，
故答案為：36．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．直線、、為常數(shù)，且，則直線傾斜角（結(jié)果用反正切表示）．
【分析】直接利用直線的斜率和直線的傾斜角求出反三角的函數(shù)的值．
【解答】解：直線、、為常數(shù)，且，
則直線的斜率，即，
故．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，反三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
6．曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案．
【解答】解：由，得．
，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是基礎(chǔ)題．
7．如圖8只小貓圍繞在的單位正方形的交叉點(diǎn)上，隨機(jī)選取兩只，它們之間距離為1的概率是．
【分析】先求出從8只小貓中隨機(jī)選取兩只和兩只之間距離為1的方法總數(shù)，再由古典概率可得出答案．
【解答】解：從8只小貓中隨機(jī)選取兩只，共有種方法，
它們之間距離為1的情況有：，，，，，，，，
共8種，所以從8只小貓中隨機(jī)選取兩只，它們之間距離為1的概率是：．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
8．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則 0.12 ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解．
【解答】解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，
則，
．
故答案為：0.12．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．
9．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)，都在上，且關(guān)于軸對(duì)稱，若直線，的斜率之積為，則的漸近線方程為．
【分析】根據(jù)給定條件，利用斜率坐標(biāo)公式列式求出，即得答案．
【解答】解：依題意，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，則，，
顯然，即，
由直線，的斜率之積為，得，
解得，所以雙曲線的漸近線方程為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 4 ．
【分析】過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且該直線與軸平行時(shí)，等號(hào)成立，得解．
【解答】解：由題意知，，曲線的圓心，圓的半徑為，
由拋物線的定義，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，
而，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且該直線與軸平行時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，圓中的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
11．已知點(diǎn)是函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，則、兩點(diǎn)之間距離的最小值是．
【分析】兩個(gè)曲線一個(gè)是指數(shù)函數(shù)，一個(gè)是圓，根據(jù)三角形原理，當(dāng)圓心與指數(shù)函數(shù)圖像上某點(diǎn)連線與該點(diǎn)切線垂直時(shí)，可以得到兩曲線上距離最近的點(diǎn)．
【解答】解：如圖所示，
對(duì)于指數(shù)函數(shù)，，設(shè)，，則點(diǎn)切線斜率為，
又圓心為，，
所以直線斜率為，
令，得，
即，到圓心距離為，
所以最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩曲線上點(diǎn)間的最近距離，屬中檔題．
12．對(duì)任意，函數(shù)滿足，，數(shù)列的前15項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，則或．
【分析】對(duì)任意，函數(shù)滿足，，解得，由，可得，代入化為：，根據(jù)數(shù)列的前15項(xiàng)和為，解得，可得，，．代入，解得．根據(jù)數(shù)列滿足，及其數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，可得得．
【解答】解：對(duì)任意，函數(shù)滿足，
則，解得，
，
，化為：，
數(shù)列的前15項(xiàng)和為，
，
解得，
，，．
，
解得，或．
時(shí)，數(shù)列滿足，
，
數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，，解得．
時(shí)，數(shù)列滿足，
，
數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，，解得．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列極限，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
二、選擇題（共18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）
13．已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，則直線的斜率為
A．3B．C．D．
【分析】利用點(diǎn)在拋物線上，求解，得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解直線的斜率．
【解答】解：點(diǎn)在拋物線上，可得，解得，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，
直線的斜率為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
14．2023杭州亞運(yùn)會(huì)于9月23日至10月8日舉辦，組委會(huì)將甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機(jī)派往黃龍?bào)w育中心、杭州奧體中心、浙江大學(xué)紫金港校區(qū)三座體育館工作，每座體育館至少派1名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黃龍?bào)w育中心”；表示事件“志愿者乙派往黃龍?bào)w育中心”；表示事件“志愿者乙派往杭州奧體中心”，則
A．事件與相互獨(dú)立B．事件與為互斥事件
C．D．
【分析】利用排列組合的知識(shí)可分別求得4名志愿者分配到三座體育館的方案數(shù)以及事件，，，，對(duì)應(yīng)的方案數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得每個(gè)事件對(duì)應(yīng)的概率，結(jié)合獨(dú)立事件、互斥事件的定義，條件概率的運(yùn)算方法，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．
【解答】解：將4名志愿者分配到三座體育館，每座體育館至少派1名志愿者，
共有種安排方案，
志愿者甲派往黃龍?bào)w育中心、志愿者乙派往黃龍?bào)w育中心、志愿者乙派往杭州奧體中心，
各有種方案，
；
志愿者甲、乙均派往黃龍?bào)w育中心，有種方案，
；
志愿者甲派往黃龍?bào)w育中心且乙派往杭州奧體中心，有種方案，
；
對(duì)于，（A）（B），事件與不相互獨(dú)立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，事件與不是互斥事件，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件與對(duì)立事件的判定，考查條件概率的求法，屬中檔題．
15．已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為，則
A．B．C．D．2
【分析】根據(jù)已知條件，推得為奇函數(shù)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解．
【解答】解：函數(shù)為偶函數(shù)，
則為奇函數(shù)，即，
圖像在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，
則（1），
故（1）．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
16．對(duì)于無窮數(shù)列和正整數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)成立，則稱具有性質(zhì)．設(shè)無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，有兩個(gè)命題：①若是等比數(shù)列且對(duì)一切正整數(shù)，數(shù)列都具有性質(zhì)，則具有性質(zhì)（1）；②若是等差數(shù)列且存在無數(shù)個(gè)正整數(shù)，使得數(shù)列不具有性質(zhì)，則的公差．那么
A．①是真命題，②是假命題B．①是假命題，②是真命題
C．①、②都是真命題D．①、②都是假命題
【分析】通過分析兩種不同情況下數(shù)列時(shí)和的大小關(guān)系，分析數(shù)列是否具有性質(zhì)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由題意，對(duì)命題①，設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)（3），
所以對(duì)任意，即，因此數(shù)列嚴(yán)格增，故①是真命題．
對(duì)命題②，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為．對(duì)每個(gè)使得數(shù)列不具有性質(zhì)的正整數(shù)，
即存在正整數(shù)，使得，則，從而，
因?yàn)槭嵌ㄖ担援?dāng)無限增大時(shí)，可得到成立，故②是真命題．
綜上所述，①、②都是真命題，只有項(xiàng)符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．
三、解答題（共78分，第17、18、19題每題14分，第20、21題每題18分）．
17．已知在直三棱柱中，是直角．
（1）求證：平面平面；
（2）設(shè)異面直線與所成角的大小為，直線與平面所成角的大小為．比較和的大小，并說明理由．
【分析】（1）通過線線垂直可得線面垂直，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）為異面直線與所成的角，是直線與平面所成的角，可得，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）證明：在直三棱柱中，平面，
平面，，
是直角．，又，
平面，平面，
平面平面；
（2），理由如下：
，為異面直線與所成的角，即，
平面，平面，
，，，
平面，，
平面，在平面內(nèi)的射影為，
是直線與平面所成的角，，
，，又，
，，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查角的大小的比較，考查空間角的求法，屬中檔題．
18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列為等差數(shù)列，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（1）令，設(shè)數(shù)列公差為，列式計(jì)算求出，，可得，，再根據(jù)與關(guān)系求出；
（2）由（1）代入求出，利用分組求和和裂項(xiàng)相消法求得結(jié)果．
【解答】解：（1）由題意，可令，則數(shù)列為等差數(shù)列，
故，，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
解得，
，
，，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，也符合上式，
，．
（2）由（1），可得
，
則
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算，以及數(shù)列求和問題．考查了方程思想，分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分組求和法，裂項(xiàng)相消法，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．
19．直播帶貨是扶貧助農(nóng)的一種新模式，這種模式可利用主流媒體的公信力，聚合銷售主播的力量助力打通農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)銷鏈條，切實(shí)助力貧困地區(qū)農(nóng)民脫貧增收．某貧困地區(qū)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示2020年該地利用網(wǎng)絡(luò)直播形式銷售農(nóng)產(chǎn)品的銷售主播年齡等級(jí)分布如圖1所示．一周內(nèi)使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖2所示．若將銷售主播按照年齡分為“年輕人” 歲歲）和“非年輕人” 歲及以下或者40歲及以上）兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用直播銷售用戶”，使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用直播銷售用戶”，則“經(jīng)常使用直播銷售用戶”中有是“年輕人”．
（1）現(xiàn)對(duì)該地相關(guān)居民進(jìn)行“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為200的樣本，請(qǐng)你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)：
（2）某投資公司在2021年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“銷售該地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品”的項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩種銷售方案供選擇：
方案一：線下銷售．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，利用傳統(tǒng)的線下銷售，到年底可能獲利，可能虧損，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，，；
方案二：線上直播銷售．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，利用線上直播銷售，到年底可能獲利，可能虧損，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，，．
針對(duì)以上兩種銷售方案，請(qǐng)你從期望和方差的角度為投資公司選擇一個(gè)合理的方案，并說明理由．
參考數(shù)據(jù)：
其中，，．
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表及離散型隨機(jī)變量的期望與方差即可求解；
（2）分別比較方案一與方案二的期望與方差的大小，從而可得解．
【解答】解：（1）由圖1可知，“年輕人“所占比例為，“非年輕人“所占比例為，
又由圖2可知，“經(jīng)常使用直播銷售用戶“所占比例為，
“不經(jīng)常使用直播銷售用戶“所占比例為，
完成列聯(lián)表如下：
，
有的把握認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)；
（2）若按方案一，設(shè)獲利萬元，則，，0，
的分布列為：
，
；
若按方案二，設(shè)獲利萬元，則，，0，
的分布列為：
，
，
又，，
從獲利的均值來看，方案二線上直播銷售獲得的利潤更多些，
但是方案二的方差要比方案一的方差大得多，
從穩(wěn)定方面看方案一線下銷售更穩(wěn)點(diǎn)，
從獲得角度考慮，應(yīng)該選擇方案二，
從規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的角度考慮，應(yīng)該選方案一．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬基礎(chǔ)題．
20．已知橢圓的離心率為，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)取最大值時(shí)，求△的面積；
（3）已知為正常數(shù)，過動(dòng)點(diǎn)作圓的切線、，記直線、的斜率分別為、，是否存在，使得為定值？若存在，求出及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意可得，解得，，，即可得出答案．
（2）設(shè)，，由橢圓的定義可得，則，由基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，取得最大值，即點(diǎn)為短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，再計(jì)算，即可得出答案．
（3）設(shè)，，則直線的直線方程為，又是圓的切線，則，同理可得，進(jìn)而可得，為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，
解得，，，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)，，
由橢圓的定義可得，
又，
，
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），
所以，即，
所以，
所以，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，取得最大值，
即點(diǎn)為短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，
所以．
（3）設(shè)，，則直線的直線方程為，
又是圓的切線，
所以，
即，
同理可得，
所以，為方程的兩個(gè)根，
所以，
因?yàn)?，為?dòng)點(diǎn)，
所以，不存在定值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．
21．對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，，使得成立，則稱是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱是函數(shù)的“躍點(diǎn)”．
（1）若為實(shí)數(shù)，函數(shù)，是“躍點(diǎn)”函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若為非零實(shí)數(shù)，函數(shù)，是“2躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“2躍點(diǎn)”，求的值；
（3）若為實(shí)數(shù)，函數(shù)，是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個(gè)“1躍點(diǎn)”，求的取值范圍．
【分析】（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)是“躍點(diǎn)“函數(shù)，則方程有解，即有解，進(jìn)而可得答案．
（2）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若該函數(shù)是“2躍點(diǎn)“函數(shù)，則方程①有解，進(jìn)而可得答案．
（3）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若該函數(shù)是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“1躍點(diǎn)”，即有一個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即可得出答案．
【解答】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，
若函數(shù)是“躍點(diǎn)“函數(shù)，則方程有解，
即有解，
又，，
所以，，
所以，．
（2）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
若該函數(shù)是“2躍點(diǎn)“函數(shù)，
則方程①有解，
即有解，
所以有解，
當(dāng)時(shí)，方程成立，
所以是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，②，
當(dāng)時(shí)，方程②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2，
此時(shí)方程①的根為1，2，2，
所以函數(shù)有兩個(gè)不同的“2躍點(diǎn)“，
當(dāng)時(shí)，方程②無解，
此時(shí)方程①的根為1，則函數(shù)有一個(gè)“2躍點(diǎn)”，
當(dāng)時(shí)，方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
若函數(shù)有兩個(gè)不同的“2躍點(diǎn)”，則其中一個(gè)實(shí)數(shù)根為1，
則，解得，
綜上所述，的值為或．
（3）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，
若該函數(shù)是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“1躍點(diǎn)”，
則方程，即有一個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
設(shè)，
，
令得，
所以在上，單調(diào)遞增，
在，上，單調(diào)遞減，
又時(shí)，；時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值（2），
所以，
所以，
所以的取值范圍為，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．年輕人
非年輕人
合計(jì)
經(jīng)常使用直播銷售用戶
不常使用直播銷售用戶
合計(jì)
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
年輕人
非年輕人
合計(jì)
經(jīng)常使用直播銷售用戶
100
20
120
不經(jīng)常使用直播銷售用戶
60
20
80
合計(jì)
160
40
200
300
0
500
0

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