1．已知集合，，則 ．
【答案】
【解析】由題意，，，
．
故答案為：
2．復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則 .
【答案】
【解析】由題意可得，
所以.
故答案為：.
3．函數(shù)的定義域?yàn)? ．
【答案】
【解析】要使有意義，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
4．已知的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則 ．
【答案】
【解析】由題意得，
解得，故答案為：
5．若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，不等式為，顯然不符合題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，
所以有，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
6．已知，則 ．
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br>所以．
故答案為：.
7．等差數(shù)列中，若，，則的前10項(xiàng)和為 .
【答案】
【解析】等差數(shù)列，，，解得，
故，則的前10項(xiàng)和為.
故答案為：.
8．同時(shí)拋擲三枚相同的均勻硬幣，設(shè)隨機(jī)變量表示結(jié)果中有正面朝上，表示結(jié)果中沒(méi)有正面朝上，則 .
【答案】
【解析】由題意可知，，，
所以，
所以．
故答案為：.
9．已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線．若直線與所成角的大小為，則 ．
【答案】
【解析】如圖所示，因?yàn)椋?br>則直線與所成角即為直線與所成角的大小為，可得,
在直角中，可得，即.
故答案為：.
10．已知平面向量滿(mǎn)足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】不妨設(shè)，則，
由，可得，
則，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
11．已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是 ．
【答案】13
【解析】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.
故答案為：13.
12．對(duì)于定義在非空集上的函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)，有
，則稱(chēng)函數(shù)為“準(zhǔn)單調(diào)遞增函數(shù)”,若函數(shù)的定義域，值域，則在滿(mǎn)足這樣條件的所有函數(shù)中，為“準(zhǔn)單調(diào)遞增函數(shù)”的概率是 ．
【答案】
【解析】若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t有1個(gè)函數(shù)，所以值域?yàn)閱卧氐暮瘮?shù)有3個(gè)，
若值域?yàn)?，將定義域中的元素分組為3,3，則有個(gè)函數(shù)，
將定義域中的元素分組為2,4，則有個(gè)函數(shù)，
將定義域中的元素分組為1,5，則有個(gè)函數(shù)，
則共有個(gè)函數(shù)，所以值域?yàn)殡p元素的函數(shù)共有個(gè)函數(shù)；
若值域?yàn)?，將定義域中的元素分組為1,2,3，則有個(gè)函數(shù)，
將定義域中的元素分組為2,2,2，則有個(gè)函數(shù)，
將定義域中的元素分組為1,1,4，則有個(gè)函數(shù)，
則共有個(gè)函數(shù)，
綜上可知，共有個(gè)函數(shù)，
其中，若函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)值域?yàn)閱卧丶希?個(gè)函數(shù)，滿(mǎn)足條件，
當(dāng)值域有2個(gè)元素，將元素1,2,3,4,5,6中間隔1塊板，有5種方法，則有個(gè)函數(shù)，
若值域有3個(gè)元素，則將元素1,2,3,4,5,6中間隔2塊板，有種方法，即有10個(gè)函數(shù)，
綜上可知，為增函數(shù)的函數(shù)有個(gè)函數(shù)，
所以為增函數(shù)的概率.
故答案為：
二、單選題
13．已知直線、，平面、，滿(mǎn)足且，則“”是“”的（ ）條件
A．充分非必要B．必要非充分條
C．充要D．既非充分又非必要
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>即“”是“”的充分條件；
如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)面為面、面為面，
則，且與面不垂直，
即“”不是“”的必要條件；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
14．某單位共有A、B兩部門(mén)，1月份進(jìn)行服務(wù)滿(mǎn)意度問(wèn)卷調(diào)查，得到兩部門(mén)服務(wù)滿(mǎn)意度得分的頻率分布條形圖如下.設(shè)A、B兩部門(mén)的服務(wù)滿(mǎn)意度得分的第75百分位數(shù)分別為，，方差分別為，，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】根據(jù)頻率分布條形圖可知，，即；
顯然A部門(mén)得分?jǐn)?shù)據(jù)較B部門(mén)更為集中，其方差更小，即；
故選：C
15．設(shè)，利用函數(shù)單調(diào)性比大小，可得（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
又，所以在上恒成立，
所以，即，
因?yàn)?，所以?br>又，所以，
即，又，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以.
故選：B.
16．中國(guó)結(jié)是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術(shù)，帶有濃厚的中華民族文化特色，它有著復(fù)雜奇妙的曲線．用數(shù)學(xué)的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的“”形對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．在平面直角坐標(biāo)系中，把與定點(diǎn)、距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為伯努利雙紐線，記為曲線.關(guān)于曲線，有下列兩個(gè)命題：
①曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是；
②若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
則（ ）
A．①為真命題，②為假命題B．①為假命題，②為真命題
C．①為真命題，②為真命題D．①為假命題，②為假命題
【答案】B
【解析】對(duì)于①：由伯努利雙紐線的定義可知，曲線C的方程為:
，
化簡(jiǎn)得，
設(shè)，則
方程化為
設(shè)上述方程的兩個(gè)根為,則至少有一個(gè)大于等于0
則需有
由于，
，解得，①為假命題；
對(duì)于②：直線與曲線一定有公共點(diǎn)，若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，
將代入曲線方程中得，方程無(wú)非零解，
即無(wú)實(shí)數(shù)解，故有，
所以，解得或，故②為真命題.故選：B.
三、解答題
17．在中，、、分別是內(nèi)角、、的對(duì)邊，，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
解：(1)由余弦定理知，即，
整理得，解得或（舍負(fù)），故.
(2)∵，且，∴，
由正弦定理知，即，得，∴.
18．如圖，三棱柱是所有棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱，分別為棱和棱的中點(diǎn)．
(1)求證：面面；
(2)求二面角的余弦值大小．
(1)證明：為棱中點(diǎn)，為正三角形，.
又三棱柱是直三棱柱，
面，又面，，
而平面，
面，面，
面面；
(2)解：由(1)得面，面，
，
是二面角的平面角，
在中，
二面角的余弦值為．
方法二：以為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖：
則，
，，
設(shè)平面、平面的法向量分別為，
，可以是
可以是，
二面角的余弦值為．
19．生活中人們喜愛(ài)用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對(duì)跑步軟件的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛(ài)使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：
假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對(duì)跑步軟件的喜愛(ài)互不影響.
(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛(ài)使用跑步軟件一的概率；
(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人.記為這人中最喜愛(ài)使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)記樣本中的中學(xué)生最喜愛(ài)使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學(xué)生最喜愛(ài)使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫(xiě)出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
解：(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，
這人都最喜愛(ài)使用跑步軟件一的概率為.
(2)因?yàn)槌槿〉娜酥凶钕矏?ài)跑步軟件二的人數(shù)為，
所以的所有可能取值為，
，
所以的分布列為：
所以.
(3)，證明如下：
，
，
所以.
，
，
所以.
數(shù)據(jù)：，，，，，，，，
對(duì)應(yīng)的平均數(shù)為
所以
所以.
20．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左，右焦點(diǎn)外別為，，設(shè)P是第一象限內(nèi)上的一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)、．
(1)求的周長(zhǎng)；
(2)求面積的取值范圍；
(3)設(shè)、分別為、的內(nèi)切圓半徑，求的最大值．
解：(1)，為橢圓的兩焦點(diǎn)，且，為橢圓上的點(diǎn)，
，從而的周長(zhǎng)為．
由題意，得，即的周長(zhǎng)為.
(2)由題意可設(shè)過(guò)的直線方程為，
聯(lián)立，消去x得，
則，
所以，
令，
則（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)）
所以,
故面積的取值范圍為.
(3)設(shè)，直線的方程為：，將其代入橢圓的方程可得，
整理可得，
則，得，，
故．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，將其代入橢圓方程并整理可得，
同理，可得，
因?yàn)椋?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
若軸時(shí)，易知，，，
此時(shí)，
綜上，的最大值為.
21．已知.
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求證：；
(3)若，，數(shù)列滿(mǎn)足，．求證：當(dāng)時(shí)，．
(1)解：當(dāng)時(shí)，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.；
(2)證明：由，得：，令，則，
原方程可化為：①，則是方程①的兩個(gè)不同的根，
所以，解得，
所以
，
因?yàn)?，所以，所以?br>(3)證明：由題意可知，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增，
因?yàn)?，所以，?br>以此類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，，
又，
所以函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，即，故.
跑步軟件一
跑步軟件二
跑步軟件三
跑步軟件四
中學(xué)生
80
60
40
20
大學(xué)生
30
20
20
10

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