一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列是一元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．是一元一次方程 ，正確，該選項符合題意；
B．未知數(shù)的最高次數(shù)為2，不是一元一次方程，故錯誤，該選項不符合題意；
C．含有兩個未知數(shù)，不一元一次方程，故錯誤，該選項不符合題意；
D．因為不是等式，所以不是方程，故錯誤，該選項不符合題意，
故選：A．
2. 下列是二元一次方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、把代入方程，，不滿足題意；
B、把代入方程，，不滿足題意；
C、把代入方程，，滿足題意；
D、把代入方程，，不滿足題意；
故選：C．
3. 一個不等式的解集如圖所示，這個不等式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由數(shù)軸可知：，
A、由可得，故A不符合題意；
B、由可得，故B符合題意；
C、由可得，故C不符合題意；
D、由可得，故D不符合題意；
故選：B．
4. 若關(guān)于x的方程的解是，則a的值是（ ）
A. B. 4C. 1D.
【答案】D
【解析】將代入方程，
解得：，
故選：D．
5. 若方程是關(guān)于x、y的二元一次方程，則a的值為（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】∵方程是關(guān)于x、y的二元一次方程，
∴，
解得：，
故選：A．
6. 解一元一次方程時，去分母正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴一元一次方程，去分母后變形正確的是：．
故選：D．
7. 二元一次方程的非負整數(shù)解有（ ）
A. 3組B. 4組C. 5組D. 6組
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵y為整數(shù)，
∴
∴原方程的非負整數(shù)解有共4組，
故選：B．
8. 下列說法不一定成立的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】A．在不等式的兩邊同時加上c，不等式仍成立，即，說法正確，不符合題意；
B．在不等式兩邊同時減去c，不等式仍成立，即，說法正確，不符合題意；
C．當c=0時，若，則不等式不成立，符合題意；
D．在不等式的兩邊同時除以不為0的，該不等式仍成立，即，說法正確，不符合題意
故選C．
9. 九章算術(shù)是中國古代的一本重要數(shù)學著作，其中有一道方程的應用題：“五只雀、六只燕，共重兩，雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．問每只雀、燕的重量各為多少？”解：設雀每只兩，燕每只兩，則可列出方程組為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設雀每只兩，燕每只兩，則可列出方程組為：．
故選：B．
10. 已知關(guān)于x、y的方程組，
①當時，方程組的解也是的解；
②若，則；
③若，則；
④無論k取何值，x、y值都不可能互為相反數(shù)．
以上結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】將代入原方程組得，
∴，解得，
將與代入方程左右兩邊，
左邊，右邊，
∴當時，方程組的解也是的解，故①符合題意；
方程組，得，
若，則，解得，故②不符合題意；
方程組，
∴得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故③不符合題意；
∵，，
∴，
∴無論k取何值，x、y的值都不可能互為相反數(shù)，故④符合題意．
故選：B
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．
11. 方程的解是______．
【答案】
【解析】，
移項，得：．
故答案為：．
12. x與4和是非負數(shù)，用不等式表示為______．
【答案】
【解析】由題意可得：．
故答案為：．
13. 已知x、y滿足方程組，則的值為______．
【答案】1
【解析】，
由，得：，
∴，
則，
故答案為：1．
14. 對于實數(shù)x、y，定義新運算：，其中a、b為常數(shù)，等式右邊為通常的加法和乘法運算，如：．若，，則______．
【答案】
【解析】∵，，
∴，解得：，
∴，
故答案為：．
15. 時鐘上從開始至少經(jīng)過______分鐘后分針與時針的夾角為．
【答案】20
【解析】分針每分鐘走：，
時針每分鐘走，
時分針與時針的夾角為，
，
故答案為：20．
16. 已知關(guān)于x的不等式至少有三個負整數(shù)解，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵關(guān)于x的不等式至少有三個負整數(shù)解，
∴關(guān)于x的一元一次不等式至少有的三個負整數(shù)解是：、、，
∴
∴解得：．
三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 解方程：．
解：
移項得，
合并同類項得，
化系數(shù)為1得．
18. 解方程組：．
解：，
，得，
即．
把代入①，得，
解得．
∴
19. 解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
解：，
去括號得，
移項得，
合并同類項得，
系數(shù)化為1得．
數(shù)軸表示：
20. 已知方程的解與關(guān)于x的方程的解互為相反數(shù)，求k的值．
解：解方程，得．
∵方程的解與關(guān)于x的方程的解互為相反數(shù)，
∴方程的解為，
∴，
∴，
∴，∴．
21. 下面是一位同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問題．
（1）請補充完整題目中的橫線部分，這一步的解題依據(jù)是______；
（2）這位同學從第______步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是______；
（3）求解此方程．
解：（1）移項，等式的基本性質(zhì)1；
（2）一，去分母時右邊的1沒有乘以6；
（3），
去分母，得，
去括號，得，
移項，得
合并同類項，得．
22. 列方程，解決實際問題：
如圖所示，學校準備在圖書館后面的場地邊建一個長方形自行車棚，一邊利用圖書館的后墻，已知墻長18米，并利用已有總長為52米的鐵圍欄．若小張的設計方案中，長比寬多4米，問他的設計是否符合實際情況？
解：設寬為x米，則長為米，根據(jù)題意，得．
解這個方程，得．
∴．
∵，
∴不符合實際情況．
答：小張的設計不符合實際情況．
23. 已知關(guān)于x、y的方程組的解滿足，．
（1）求m的取值范圍；
（2）是否存在整數(shù)m，使不等式的解集為．若不存在，請說明理由；若存在，請求出整數(shù)m的值．
解：（1）
解得．
∵解滿足，，
∴．
解得．
（2）存在．
理由：∵，
∴．
∵解集為，
，
解得．
由（1）得，
∴．
∵m取整數(shù)，
∴，．
24. 為加強學生體育素質(zhì)，某中學在八年級新增籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球．已知購買2個籃球和3個足球共需費用540元；購買3個籃球和4個足球共需費用760元．
（1）求籃球和足球的單價分別是多少元？
（2）若學校計劃采購籃球、足球共60個，且足球的數(shù)量不多于25個，總費用不超過6750元．問該校共有哪幾種購買方案？
解：（1）設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，
根據(jù)題意，得，
解這個方程組，得，
答：籃球的單價為120元，足球的單價為100元．
（2）設采購籃球a個，則采購足球個，
根據(jù)題意，得，
解這個不等式組，得．
∵a取整數(shù)，
∴，36，37．
當時，；
當時，：
當時，．
答：該校共有三種采購方案：采購籃球35個，采購足球25個；采購籃球36個，采購足球24個：采購籃球37個，采購足球23個．
25. 在一次數(shù)學綜合實踐活動課中，小明借助兩根小木棒a、b研究數(shù)學問題：
兩根木棒如圖所示放置在數(shù)軸上，已知木棒a的端點A、B在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是4和8，木棒b在負半軸上，且端點C、D（點C在點D的左邊）之間的距離為6，點D到原點的距離為1．小明同時把木棒a、b沿數(shù)軸的正方向勻速移動，已知木棒a的速度為每秒2個單位長度，木棒b的速度為每秒3個單位長度，設移動時間為t秒．
（1）在移動過程中，若原點O恰好是木棒b的中點，求t的值；
（2）在移動過程中，當點D與點A重合時，求出這個重合的點所表示的數(shù)；
（3）在移動過程中，當木棒a、b重疊部分的長至少為3個單位長度時，求t的取值范圍．
解：（1）∵木棒b在負半軸上，且端點C、D（點C在點D的左邊）之間的距離為6，點D到原點的距離為1．
∴點C、D在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是和．
木棒b移動t秒后點C、D在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是和，
原點恰好是木棒b的中點時，
可得：，解得．
（2）根據(jù)題意，得：點C、D在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是和．
∴木棒b移動t秒后點C、D在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是和，
木棒a的端點A、B在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是4和8，
∴木棒a移動t秒后點A、B在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是和，
當點D與點A重合時，
根據(jù)題意，得，
解得．
∴，
∴這個重合的點所表示的數(shù)為14．
（3）由（2）得移動t秒后點C、D、A、B在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是，， ，，
當木棒a、b重疊部分的長剛好為3個單位長度時，
①當點C在點A左邊時，，
即，
解得．
②當點C在點A右邊時，，
即，
解得．
∴當木棒a、b重疊部分的長至少為3個單位長度時，
可得．
解方程：
解：去分母，得，……第一步
去括號，得，……………第二步
______，得，……………第三步
合并同類項，得．……………………第四步

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