一、選擇題（共10小題，每題4分，滿分40分）
1. 下列方程中，一元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，不是一元一次方程，故不符合題意；
B、，不是一元一次方程，故不符合題意；
C、，不是一元一次方程，故不符合題意；
D、，是一元一次方程，故符合題意；
故選D．
2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，
，則錯(cuò)誤，故不符合題意；
B、當(dāng)，時(shí)，
則，，則錯(cuò)誤，故不符合題意；
C、，
，則正確，故符合題意；
D、當(dāng)，時(shí)，
則，，則錯(cuò)誤，故不符合題意；
故選C．
3. 已知是關(guān)于的二元一次方程的一個(gè)解，則的值為（ ）
A. 5B. 1C. D.
【答案】B
【解析】是關(guān)于、的二元一次方程的一個(gè)解，
代入得：，
解得：，
故選：B.
4. 如果不等式的解集是，那么的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
原不等式的解集為，
，
解得：，
故選D．
5. 下列等式變形正確的是（ ）
A. 若，則B. 如果，那么
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】A、若，則，原式變形錯(cuò)誤，不符合題意；
B、如果，那么，原式變形錯(cuò)誤，不符合題意；
C、若，則，原式變形正確，符合題意；
D、若，則，原式變形錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
6. 二元一次方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】對(duì)進(jìn)行變形，
得，
由于要求方程的解為正整數(shù)，
則，
所以
解得
所以，由于y是整數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
綜上所述，方程的正整數(shù)解是、，共兩組，
故選：B．
7. 我國(guó)元朝的數(shù)學(xué)著作《算學(xué)啟蒙》記載：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，兩馬同地出發(fā)，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之？其大意是：良馬每天跑里，駑馬每天跑里． 良馬和駑馬從同地出發(fā)，駑馬先走天，問(wèn)良馬追上駑馬的時(shí)間為多少天？若設(shè)良馬追上駑馬的時(shí)間為天，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)良馬x天可以追上駑馬，
依題意，得：240x=150（x+12）．
故選：B．
8. 由方程組可得出與的關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方程組，
，得，
整理得．
故選：A．
9. 已知方程組中，，互為相反數(shù)，則的值是（ ）
A. 4B. C. 0D. 8
【答案】A
【解析】∵，互為相反數(shù)，
∴，
∴方程組變?yōu)椋?br>解得，
故選：A．
10. 已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組的解為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵二元一次方程組的解為，
∴關(guān)于m、n的二元一次方程組中，
解得：，
故選D．
二、填空題（共6小題，每題4分，滿分24分）
11. 由，用的代數(shù)式表示，則______．
【答案】
【解析】移項(xiàng)，得：，
，
故答案為：．
12. x的3倍與5的和大于8，用不等式表示為_(kāi)_______________ ．
【答案】
【解析】x的3倍為3x，
x的3倍與5的和為3x＋5，
所以x的3倍與5的和大于8為：3x＋5＞8，
故答案為：3x＋5＞8．
13. 已知方程組，解滿足，則的值為_(kāi)_____．
【答案】1
【解析】，
得：，
即：，
，
，
即：，
故答案為：1．
14. 若是二元一次方程的一個(gè)解，則的值為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】∵是二元一次方程的一個(gè)解，
∴把代入，得
∴，
故答案為：．
15. 現(xiàn)規(guī)定：，則的解集是______．
【答案】
【解析】依題意得：，
解得：，
故答案為：．
16. 已知關(guān)于方程組，給出下列結(jié)論：
①是方程組的一個(gè)解；②當(dāng)時(shí)，的值互為相反數(shù)；③若，則；
④取任意實(shí)數(shù)，的值始終不變．
其中正確的是______．（填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】①②③④
【解析】①將代入方程組得：，
解得：，故原說(shuō)法正確；
②將代入方程組得：，
①②得：，即，
將代入②得：，
則與互為相反數(shù)，故原說(shuō)法正確；
③將代入方程組得：，
解得：，
將，代入方程的左邊得：，是方程的解，故原說(shuō)法正確；
④，
由①得：，
代入②得：，
整理得：，故原說(shuō)法正確，
綜上所述，正確的為①②③④．
故答案為：①②③④．
三、解答題（共9小題，滿分86分）
17. 解方程：．
解：，
去分母，得，
去括號(hào)，得
移項(xiàng)，得，
合并同類項(xiàng)，得．
系數(shù)化為1，得．
18. 解方程組．
解：
②-①，得，解得．
把代入①，得：．
所以原方程組的解是．
19. 解不等式，并把它的解集表示在數(shù)軸上．
解：，
去分母，得，
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)，得，
合并同類項(xiàng)，得，
系數(shù)化為1，得，
這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示為：
20. 關(guān)于的兩個(gè)一元一次方程①，②，已知方程①的解比方程②的解大1，求的值．
解：，
解得：，
，
解得：，
方程①的解比方程②的解大1，
，
解得：．
21. 光明中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從體育商店購(gòu)買若干個(gè)同款足球和籃球，已知購(gòu)買2個(gè)足球和4個(gè)籃球共需420元，購(gòu)買3個(gè)足球比1個(gè)籃球要多花70元．求所購(gòu)足球、籃球的單價(jià)各是多少元？
解：設(shè)所購(gòu)足球的單價(jià)為元，籃球的單價(jià)為元，
依題意，得，解得，
答：足球的單價(jià)為元，籃球的單價(jià)為元．
22. 在我們?nèi)粘Ｉ钪械娜諝v上也隱藏著許多的數(shù)學(xué)規(guī)律．如圖是2024年3月份的日歷，一個(gè)虛線方框圈出的（2行2列）個(gè)數(shù)字之和為：
（1）若這個(gè)虛線方框圈出的個(gè)數(shù)字之和為100，則這4個(gè)數(shù)的左上角那天是3月幾日？
（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷這個(gè)虛線方框圈出的個(gè)數(shù)字之和能否為84．
解：（1）設(shè)這個(gè)數(shù)的左上角數(shù)字是，則右上角數(shù)字是，則左下角的數(shù)字為，右下角的數(shù)字為，
由題意得，，
解得，
這個(gè)數(shù)的左上角那天是3月21日；
（2）如果能用方框圈出和為84的個(gè)數(shù)，
列方程，，
解得，
因?yàn)?7處于最后一列，
所以不能圈出和為84的個(gè)數(shù)．
23. 我校七年級(jí)準(zhǔn)備組織觀看電影《熱辣滾燙》，由各班班長(zhǎng)負(fù)責(zé)買票，每班人數(shù)都多于40人，票價(jià)每張25元，一班班長(zhǎng)問(wèn)售票員買團(tuán)體票是否可以優(yōu)惠，售票員說(shuō)：40人以上的團(tuán)體票有兩種優(yōu)惠方案可選擇．方案一：全體人員可打8折；方案二；若打9折，有5人可以免票．
（1）若二班有42名學(xué)生，則他選擇哪個(gè)方案更優(yōu)惠？
（2）一班班長(zhǎng)思考一會(huì)兒說(shuō)，我們班無(wú)論選擇哪種方案要付的錢是一樣的，你知道一班有多少人嗎？
解：（1）依題意得：
方案一的花費(fèi)為：（元），
方案二的花費(fèi)為：（元），
，
若二班有42名學(xué)生，則他選擇方案一更優(yōu)惠．
（2）設(shè)一班有人，根據(jù)題意，得：，
解得：，
答：一班有45人．
24. 根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
解：任務(wù)一：設(shè)一張?jiān)摪宀牟们锌勘砿張，坐墊n張，
，
，
m，n為非負(fù)整數(shù)，
或或，
故答案為：8，3；0，6；
任務(wù)二：∵（張），
∴購(gòu)進(jìn)110張?jiān)撔吞?hào)板材，制作成480張學(xué)生椅；
任務(wù)三：設(shè)用x張板材裁切靠背8張和座墊3張，用y張板材裁切靠背0張和座墊6張，，
解得：，
∵（張），
∴需要購(gòu)買該型號(hào)板材159張，用其中86張板材裁切靠背8張和座墊3張，用73張板材裁切靠背0張和座墊6張．
25. 對(duì)于任意有理數(shù)，規(guī)定：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
（1）填空：______，______，______；
（2）若，求的值；
（3）若兩個(gè)有理數(shù)，，且異號(hào)，滿足，請(qǐng)直接寫(xiě)出之間可能存在的數(shù)量關(guān)系．
解：（1）∵當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，．
∴，，
；
故答案為：5，1，；
（2）∵，
∴當(dāng)時(shí)，即，
∴，
解得：，
當(dāng)，則，
∴，
解得：（不符合題意）；
綜上，或；
（3）∵a， b異號(hào)，
∴，或，，
當(dāng)，時(shí)，
∴，，
∵兩個(gè)有理數(shù)，， 滿足，
∴，
若，時(shí)，則，
∴，
∴或；
若，時(shí)，則，
∴，
∴，（不符合題意舍去）；
當(dāng)，時(shí)，
∴，，
∵兩個(gè)有理數(shù)，， 滿足，
∴，
若，時(shí)，，
∴或；
若，時(shí)，
∴，
∴，
∴（不符合題意舍去）；
綜上：或或或．如何設(shè)計(jì)板材裁切方案？
素材1
圖l中是一張學(xué)生椅，主要由靠背、座墊及鐵架組成．經(jīng)測(cè)量，該款學(xué)生椅的靠背尺寸為，座墊尺寸為．圈2是靠背與
座墊的尺寸示意圖．
素材2
因?qū)W校需要，某工廠配合制作該款式學(xué)生椅．經(jīng)清點(diǎn)庫(kù)存時(shí)發(fā)現(xiàn)，工廠倉(cāng)庫(kù)已有大量的學(xué)生椅鐵架，只需在市場(chǎng)上購(gòu)進(jìn)某型號(hào)板材來(lái)加工制做該款式學(xué)生椅的靠背與座墊．已知該板材長(zhǎng)為240cm，寬為50cm．（裁切時(shí)不計(jì)損耗）
我板材裁切師
任務(wù)一
擬定裁切方案
若要不造成板材浪費(fèi)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一張?jiān)摪宀牡乃胁们蟹椒ǎ?br>方法一：裁切靠背16張和座墊0張．
方法二：裁切靠背______張和座墊______張．
方法三：裁切靠背______張和座墊______張．
任務(wù)二
確定搭配數(shù)量
若該工廠購(gòu)進(jìn)110張?jiān)撔吞?hào)板材，能制作成多少?gòu)垖W(xué)生掎？
任務(wù)三
解決實(shí)際問(wèn)題
現(xiàn)需要制作700張學(xué)生椅，該工廠倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有4張座墊和12張靠背，若將板材采用方法二和方法三裁切，還需要購(gòu)買該型號(hào)板材多少?gòu)垼ㄇ『萌坑猛辏?br>

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