人教版七年級數(shù)學下冊同步知識點剖析精品講義5.3平行線的性質(zhì)(原卷版+解析)

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5.3 平行線的性質(zhì) 平行線的性質(zhì)： 性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等； 幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等） A B C D E F 1 2 3 4 性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.。 幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 模型一：鉛筆頭模型 【鉛筆頭模型基礎(chǔ)】已知AB∥DE，結(jié)論： 證明： 【鉛筆頭模型變形】 變式一：已知AB∥DE，則∠B+∠M+∠N+∠E= 證明：變式二：若a∥b，則 ∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）= 模型二：鋸齒模型 【鋸齒模型基礎(chǔ)】已知AB∥DE，則 證明： 【鋸齒模型變形】 變式一：已知AB∥DE，則 證明： 變式二：若a∥b，則 ? 【題型一】利用兩直線平行判定同位角關(guān)系 【典題1】（2023秋·湖南邵陽·七年級期末）如圖，直線c與直線a、b都相交．若，，則（ ） A． B． C． D． 鞏固練習 1．（?）（2023秋·山西晉中·七年級期中）如圖，直線的頂點在上，若，則（????） A． B． C． D． 2．（?）（2023秋·浙江湖州·七年級期末）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝47°，則∠2＝（???） A．40° B．43° C．45° D．47° 3．（?）（2023秋·四川達州·七年級校考期中）如圖，AB//CD，∠1=58°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠FGB的度數(shù)等于（?????） A．122° B．151° C．116° D．97° 4．（?）（2023秋·遼寧阜新·七年級期末）如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B＝30°，則∠C為（　?。? A．30° B．60° C．80° D．120° 【題型二】利用兩直線平行判定內(nèi)錯角關(guān)系 【典題1】（2023秋·重慶·七年級?？计谥校┤鐖D，，平分，若，則的度數(shù)為（　　） A． B． C． D． 鞏固練習 1（?）（2023秋·云南曲靖·七年級?？计谀┤鐖D，平分，BE⊥AC，，圖中與∠C互余的角有（???） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．（?）（2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級?？计谀┤鐖D，一把長方形直尺沿直線斷開并錯位，點E、D、B、F在同一條直線上，若∠ADE=125°，則∠DBC的度數(shù)為（） A．55° B．65° C．75° D．125° 3．（?）（2023秋·山東濟南·七年級期末）如圖，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，則∠ACD＝（????） A．35° B．45° C．55° D．70° 4．（?）（2023秋·山東日照·七年級校考期中）把一塊等腰直角三角板和一把直尺按如圖所示的位置構(gòu)成，若∠1＝25°，則∠2的度數(shù)為（????） A．15° B．20° C．25° D．30° 【題型三】利用兩直線平行判定同旁內(nèi)角關(guān)系 【典題1】（2023秋·廣東深圳·七年級?？计谥校┤鐖D，直線DE過點A，且．若，，則的度數(shù)為（???） A． B． C． D． 鞏固練習 1（??）（2023秋·四川達州·七年級?？计谥校┤鐖D，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝(???) A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1 C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠1 2（?）（2023秋·河北石家莊期中）如圖，AB∥CD，且被直線l所截，若∠1=54°，則∠2的度數(shù)是（????） A．154° B．126° C．116° D．54° 3．（?）（2023春·吉林長春期中）如圖，．若，則的大小為（????） A． B． C． D． 4．（?）（2023春·河南洛陽·七年級期末）直線，直線與，分別交于點，，．若，則的度數(shù)為（????） A． B． C． D． 【題型四】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù) 【典題1】（2023秋·河北承德·七年級期末）如圖，已知AB∥CD，AF交CD于點E，且BE⊥AF，∠BED＝50°，則∠A的度數(shù)是（　?。? A．40° B．50° C．80° D．90° 鞏固練習 1（?）（2023秋·河北承德·七年級期末）如圖，，若，則的度數(shù)為（ ） A． B． C． D． 2．（??）（2023秋·山東日照·七年級期中）如果與的兩邊分別平行，比的3倍少，則的度數(shù)是(　　　) A． B． C．或 D．以上都不對 3．（??）（2023秋·廣東佛山·七年級?？计谥校┌岩粡垖γ婊ハ嗥叫械募垪l折成如圖所示那樣，EF是折痕，若∠EFB=32°則下列結(jié)論正確的有(????) （1）∠C′EF=32°；（2）∠AEC=116°；（3）∠BGE=64°；（4）∠BFD=116°． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 4．（???）（2023秋·河北石家莊·七年級期中）如圖：AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，則下列結(jié)論：①OF平分∠BOD；②∠POE＝∠BOF；③∠BOE＝70°；④∠POB＝2∠DOF，其中結(jié)論正確的序號是（　???。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【題型五】平行線性質(zhì)在實際生活中的應用 【典題1】（2023秋·福建龍巖·七年級?？计谥校┤鐖D，小明從處出發(fā)沿北偏東方向行走至處，又沿北偏西方向行走至處，此時需把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致，則方向的調(diào)整應是（????） A．右轉(zhuǎn) B．左轉(zhuǎn) C．右轉(zhuǎn) D．左轉(zhuǎn) 鞏固練習 1(?)（2023秋·廣東惠州·七年級?？计谀┮惠v汽車在公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行行駛，那么兩個拐彎的角度可能為（　?。?A．先右轉(zhuǎn)50°，后右轉(zhuǎn)40° B．先右轉(zhuǎn)50°，后左轉(zhuǎn)40° C．先右轉(zhuǎn)50°，后左轉(zhuǎn)130° D．先右轉(zhuǎn)50°，后左轉(zhuǎn)50° 2．(?)（2023秋·吉林松原·七年級期末）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝_____． 3．(?)（2023秋·青海海東·七年級期中）如圖，一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道，如果公路一側(cè)鋪設(shè)的管道與縱向連通管道的角度為，那么，為了使管道能夠順利對接，另一側(cè)鋪設(shè)的縱向連通管道與公路的角度為．________． 【題型六】求平行線之間的距離 【典題1】（2023秋·湖南株洲·七年級期末）已知直線，點在上，點，，在上，且，，，則與之間的距離為（????） A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于 鞏固練習 1(?)（2023春·湖北宜昌·八年級期中）如圖，A、P是直線m上的任意兩個點，B、C是直線n上的兩個定點，且直線m∥n；則下列說法正確的是（????） A．AB∥PC B．△ABC的面積等于△BCP的面積 C．AC＝BP D．△ABC的周長等于△BCP的周長 2．(?)（2023秋·青海海東·八年級期中）如圖，已知直線a // b // c，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點，若AB=2，AC=6，則平行線b、c之間的距離是（?????） A．2 B．4 C．6 D．8 3．(?)（2023秋·湖南婁底·七年級期末）如圖，直線，，，a與b的距離是5cm，b與c距離是2cm，則a與c的距離（???） A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 【題型七】鉛筆頭模型(解題方法：遇拐點作平行線) 【典題1】如圖，已知，，，則的度數(shù)是（????） A．80° B．120° C．100° D．140° 鞏固練習 1(?)如圖，已知AB//CD，則，，之間的等量關(guān)系為（????） A． B． C． D． 2．(?)（2023秋·湖南永州·七年級?？茧A段練習）如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 3．(??)（2023秋·廣東東莞·七年級東莞市長安實驗中學?？计谥校┤鐖D，已知AB∥CD． （1）如圖1所示，∠1+∠2＝　 ??； （2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝　 ??；并寫出求解過程． （3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝　 ?。? 4(???)（1）如圖1，AM∥CN，求證： ???? ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°； ②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個點，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明． 【題型八】鋸齒模型 【典題1】如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（???） A．70° B．65° C．35° D．50° 鞏固練習 1(??)如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（???） A． B． C． D． 2．(???)（2023秋·江蘇常州·七年級期中）問題情境：如圖①，直線，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上． (1)猜想：若，，試猜想______°； (2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)． 3．(???)（2023秋·河北石家莊·七年級校考階段練習）(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線??//??，E 是 AB 與 AD 之間的一點，連接 BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠? +∠?= ∠???． 請把下面的證明過程補充完整： 證明：過點 E 作??//??， ∵ ??//??(已知)，??//??(輔助線的作法)． ∴ ??//??( )． ∴ ∠? = ∠???( ) ∵ ??//??，∴ ∠? = ∠???(同理)． ∴ ∠? + ∠? = (等量代換) 即∠? + ∠? = ∠???． (2)拓展探究：如果點 E 運動到圖②所示的位置，其他條件不變，進一步探究發(fā)現(xiàn)：∠? + ∠? = 360°?∠???，請說明理由． (3)解決問題：如圖③，??//??，∠?=120°，∠???=80°，請直接寫出∠?的度數(shù)．  5.3 平行線的性質(zhì) 平行線的性質(zhì)： 性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等； 幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等） A B C D E F 1 2 3 4 性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.。 幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 模型一：鉛筆頭模型 【鉛筆頭模型基礎(chǔ)】已知AB∥DE，結(jié)論：∠B+∠C+∠E = 360° 證明：過點C作CK∥AB （見拐點作平行線） ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2 ∴∠B+∠C+∠E = 360° 【鉛筆頭模型變形】 變式一：已知AB∥DE，則∠B+∠M+∠N+∠E= 540° 證明：分別過點M、點N作OM∥AB,PN∥DE ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥OM∥PN ∴∠B+∠1=180°①， ∠2+∠3=180°②， ∠E+∠4=180°③ ①+②+③得，∠B+∠1+∠2 +∠3+∠4+∠E = 540°， 則∠B+∠BMN+∠MNE+∠E= 540° 變式二：若a∥b，則 ∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐點數(shù)+1） 模型二：鋸齒模型 【鋸齒模型基礎(chǔ)】已知AB∥DE，則∠B+∠E=∠C 證明：過點C作CK∥AB ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ② ①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C 【鋸齒模型變形】 變式一：已知AB∥DE，則∠B+∠M+∠E=∠C+∠N 證明：分別過點C，點M，點N分別作CO∥AB，PM∥AB，NQ∥AB ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CO∥PM∥NQ ∴∠B=∠1 ①，∠3=∠2 ②，∠4=∠5 ③，∠E=∠6 ④ ①+②+③+④得∠B+∠3+∠4+∠E=∠1+∠2+∠5+∠6 即∠B+∠M+∠E=∠C+∠N 變式二：若a∥b，則所有朝左角之和等于所有朝右角的和。 ? 【題型一】利用兩直線平行判定同位角關(guān)系 【典題1】（2023秋·湖南邵陽·七年級期末）如圖，直線c與直線a、b都相交．若，，則（ ） A． B． C． D． 【詳解】解：如圖， ∵a∥b，∠3=55°， ∴∠2=∠3=55°． 故選B． 鞏固練習 1．（?）（2023秋·山西晉中·七年級期中）如圖，直線的頂點在上，若，則（????） A． B． C． D． 【詳解】解：∵， ∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°， ∵， ∴∠ADE=∠ABF=70°． 故選擇A． 2．（?）（2023秋·浙江湖州·七年級期末）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝47°，則∠2＝（???） A．40° B．43° C．45° D．47° 【詳解】解：如圖，過三角板的直角頂點作直尺兩邊的平行線， ∵直尺的兩邊互相平行， ∴， ∴， ∴， 故選：B． 3．（?）（2023秋·四川達州·七年級?？计谥校┤鐖D，AB//CD，∠1=58°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠FGB的度數(shù)等于（?????） A．122° B．151° C．116° D．97° 【詳解】解：∵AB//CD，∠1=58°， ∴∠EFD=∠1=58°， ∵FG平分∠EFD， ∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°， ∵AB//CD， ∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°． 故選：B． 4．（?）（2023秋·遼寧阜新·七年級期末）如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B＝30°，則∠C為（　?。? A．30° B．60° C．80° D．120° 【詳解】解：∵AD∥BC，∠B＝30°， ∴∠EAD＝∠B＝30°， ∵AD是∠EAC的平分線， ∴∠EAC＝2∠EAD＝2×30°＝60°， ∴∠C＝∠EAC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°， 故選：A． 【題型二】利用兩直線平行判定內(nèi)錯角關(guān)系 【典題1】（2023秋·重慶·七年級?？计谥校┤鐖D，，平分，若，則的度數(shù)為（　?。? A． B． C． D． 【詳解】解：∵ ∴ ∵平分 ∴ 故選B． 鞏固練習 1（?）（2023秋·云南曲靖·七年級?？计谀┤鐖D，平分，BE⊥AC，，圖中與∠C互余的角有（???） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【詳解】解：∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90° ∴∠CBE+∠C＝90°； ∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠CBE， ∴∠DBE+C＝90°； ∵， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠DEB+∠C＝90°． 綜上：與∠C互余的角有∠CBE，∠DBE，∠DEB． 故答案選：C． 2．（?）（2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級?？计谀┤鐖D，一把長方形直尺沿直線斷開并錯位，點E、D、B、F在同一條直線上，若∠ADE=125°，則∠DBC的度數(shù)為（） A．55° B．65° C．75° D．125° 【詳解】解：∵∠ADE=125°， ∴∠ADF=180°125°=55°， 因為長方形對邊平行 ∴∠DBC=∠ADF=55°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）； 故選：A． 3．（?）（2023秋·山東濟南·七年級期末）如圖，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，則∠ACD＝（????） A．35° B．45° C．55° D．70° 【詳解】∵AB∥CD，∠BAD=35°， ∴∠ADC＝∠BAD＝35°， ∵AD⊥AC， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°， 故選：C． 4．（?）（2023秋·山東日照·七年級校考期中）把一塊等腰直角三角板和一把直尺按如圖所示的位置構(gòu)成，若∠1＝25°，則∠2的度數(shù)為（????） A．15° B．20° C．25° D．30° 【詳解】解：如圖， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝25°， ∵∠2＋∠3＝45°， ∴∠2＝45°﹣∠3＝20°， 故選：B． 【題型三】利用兩直線平行判定同旁內(nèi)角關(guān)系 【典題1】（2023秋·廣東深圳·七年級校考期中）如圖，直線DE過點A，且．若，，則的度數(shù)為（???） A． B． C． D． 【詳解】∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 故選：C． 鞏固練習 1（??）（2023秋·四川達州·七年級?？计谥校┤鐖D，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝(???) A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1 C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠1 【詳解】解：∵AB∥CD， ∴∠BCD=∠1， ∵CD∥EF， ∴∠DCE=180°-∠2， ∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1． 故選D． 2（?）（2023秋·河北石家莊期中）如圖，AB∥CD，且被直線l所截，若∠1=54°，則∠2的度數(shù)是（????） A．154° B．126° C．116° D．54° 【詳解】解：∵AB∥CD， ∴∠2+∠3=180°． ∵∠3=∠1=54°， ∴∠2=180°-∠3 =180°-54° =126°． 故選：B． 3．（?）（2023春·吉林長春期中）如圖，．若，則的大小為（????） A． B． C． D． 【詳解】解：設(shè)CD與EF交于G， ∵AB∥CD ∴∠1=∠C=58° ∵BC∥FE， ∴∠C+∠CGE=180°， ∴∠CGE=180°-58°=122°， ∴∠2=∠CGE=122°， 故選：B． 4．（?）（2023春·河南洛陽·七年級期末）直線，直線與，分別交于點，，．若，則的度數(shù)為（????） A． B． C． D． 【詳解】解：由題意，根據(jù)對頂角相等，則 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故選：B． 【題型四】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù) 【典題1】（2023秋·河北承德·七年級期末）如圖，已知AB∥CD，AF交CD于點E，且BE⊥AF，∠BED＝50°，則∠A的度數(shù)是（　?。? A．40° B．50° C．80° D．90° 【詳解】∵， ∴∠DEF=40°． 又∵AB∥CD， ∴∠A=∠DEF=40°． 故選：A． 鞏固練習 1（?）（2023秋·河北承德·七年級期末）如圖，，若，則的度數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【詳解】如圖，∵ ∴∠1+∠3=180o ∵∠1=70o ∴∠3=180o-70o=110o ∵ ∴∠2=∠3=110o 故選：B． 2．（??）（2023秋·山東日照·七年級期中）如果與的兩邊分別平行，比的3倍少，則的度數(shù)是(　　　) A． B． C．或 D．以上都不對 【詳解】解：∵∠A與∠B的兩邊分別平行， ∴∠A與∠B相等或互補． 分兩種情況： ①如圖1， 當∠A+∠B=180°時，∠A=3∠B-36°， 解得：∠A=126°； ②如圖2， 當∠A=∠B，∠A=3∠B-36°， 解得：∠A=18°． 所以∠A=18°或126°． 故選：C． 3．（??）（2023秋·廣東佛山·七年級?？计谥校┌岩粡垖γ婊ハ嗥叫械募垪l折成如圖所示那樣，EF是折痕，若∠EFB=32°則下列結(jié)論正確的有(????) （1）∠C′EF=32°；（2）∠AEC=116°；（3）∠BGE=64°；（4）∠BFD=116°． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【詳解】解：（1）∵AE∥BG，∠EFB=32°， ∴∠C′EF=∠EFB=32°，故本小題正確； （2）由翻折可知∠GEF=∠C′EF=32°， ∴∠AEC＝180°-32°-32°＝116°，故本小題正確； （3）∵∠C′EG=∠C′EF+∠GEF=32°+32°=64°，AC′∥BD′， ∴∠BGE=∠C′EG=64°，故本小題正確； （4）∵∠BGE=64°， ∴∠CGF=∠BGE=64°， ∵DF∥CG， ∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°，故本小題正確． 綜上可知正確的有4個． 故選D． 4．（???）（2023秋·河北石家莊·七年級期中）如圖：AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，則下列結(jié)論：①OF平分∠BOD；②∠POE＝∠BOF；③∠BOE＝70°；④∠POB＝2∠DOF，其中結(jié)論正確的序號是（　???。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 分析：根據(jù)AB∥CD可得∠BOD=∠ABO=40°，利用平角得到∠COB=140°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠BOE=70°，則③正確；利用OP⊥CD，AB∥CD，∠ABO=40°，可得∠POB=50°，∠BOF=20°，∠FOD=20°，進而可得OF平分∠BOD，則①正確；由∠EOB=70°，∠POB=50°，∠POE=20°，由∠BOF=∠POF-∠POB=20°，進而可得∠POE=∠BOF，則②正確；由②可知∠POB=50°，∠FOD=20°，則④不正確． 【詳解】③∵AB∥CD， ∴∠BOD=∠ABO=40°， ∴∠COB=180°-40°=140°， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE=∠COB=×140°=70°， 故③正確； ①∵OP⊥CD， ∴∠POD=90°， 又∵AB∥CD， ∴∠BPO=90°， 又∵∠ABO=40°， ∴∠POB=90°-40°=50°， ∴∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°， ∠FOD=40°-20°=20°， ∴OF平分∠BOD， 故①正確； ②∵∠EOB=70°，∠POB=90°-40°=50°， ∴∠POE=70°-50°=20°， 又∵∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°， ∴∠POE=∠BOF， 故②正確； ④由①可知∠POB=90°-40°=50°， ∠FOD=40°-20°=20°， 故∠POB≠2∠DOF， 故④不正確． 故結(jié)論正確的是①②③， 故選A． 【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要注意將垂直、平行、角平分線的定義結(jié)合應用，弄清圖中線段和角的關(guān)系，再進行解答． 【題型五】平行線性質(zhì)在實際生活中的應用 【典題1】（2023秋·福建龍巖·七年級?？计谥校┤鐖D，小明從處出發(fā)沿北偏東方向行走至處，又沿北偏西方向行走至處，此時需把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致，則方向的調(diào)整應是（????） A．右轉(zhuǎn) B．左轉(zhuǎn) C．右轉(zhuǎn) D．左轉(zhuǎn) 【詳解】為了把方向調(diào)整到與出發(fā)時相一致，小明先轉(zhuǎn)20°使其正面向北，再向北偏東轉(zhuǎn)60°，即得到了與出發(fā)時一致的方向，所以，調(diào)整應是右轉(zhuǎn)20°+60°=80°， 故選：A． 鞏固練習 1(?)（2023秋·廣東惠州·七年級?？计谀┮惠v汽車在公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行行駛，那么兩個拐彎的角度可能為（　?。?A．先右轉(zhuǎn)50°，后右轉(zhuǎn)40° B．先右轉(zhuǎn)50°，后左轉(zhuǎn)40° C．先右轉(zhuǎn)50°，后左轉(zhuǎn)130° D．先右轉(zhuǎn)50°，后左轉(zhuǎn)50° 【詳解】解：兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行行駛，即轉(zhuǎn)彎前與轉(zhuǎn)彎后的道路是平行的，因而右轉(zhuǎn)的角與左轉(zhuǎn)的角應相等，理由是兩直線平行，內(nèi)錯角相等． 故選D． 2．(?)（2023秋·吉林松原·七年級期末）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝_____． 【詳解】過B作BF∥AE， ∵CD∥ AE， 則CD∥BF∥AE， ∴∠BCD+∠1=180°， 又∵AB⊥AE， ∴AB⊥BF， ∴∠ABF=90°， ∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°． 故答案為：270． 3．(?)（2023秋·青海海東·七年級期中）如圖，一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道，如果公路一側(cè)鋪設(shè)的管道與縱向連通管道的角度為，那么，為了使管道能夠順利對接，另一側(cè)鋪設(shè)的縱向連通管道與公路的角度為．________． 【詳解】解：兩側(cè)鋪設(shè)的角屬于同旁內(nèi)角，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得另一側(cè)的角度為180°-120°=60°， 【題型六】求平行線之間的距離 【典題1】（2023秋·湖南株洲·七年級期末）已知直線，點在上，點，，在上，且，，，則與之間的距離為（????） A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于 【詳解】解：∵直線m∥n，點A在m上，點B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm， ∴AB＜AC＜AD， ∴m與n之間的距離小于或等于4cm， 故選：D． 鞏固練習 1(?)（2023春·湖北宜昌·八年級期中）如圖，A、P是直線m上的任意兩個點，B、C是直線n上的兩個定點，且直線m∥n；則下列說法正確的是（????） A．AB∥PC B．△ABC的面積等于△BCP的面積 C．AC＝BP D．△ABC的周長等于△BCP的周長 【詳解】解：AB不一定平行于PC，A不正確； ∵平行線間的距離處處相等， ∴△ABC的面積等于△BCP的面積，B正確； AC不一定等于BP，C不正確； △ABC的周長不一定等于△BCP的周長，D不正確， 故選：B． 2．(?)（2023秋·青海海東·八年級期中）如圖，已知直線a // b // c，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點，若AB=2，AC=6，則平行線b、c之間的距離是（?????） A．2 B．4 C．6 D．8 【詳解】解：∵直線a∥b∥c，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點， ∴AB長為直線a和b之間的距離，BC長為直線b和c之間的距離，AC長為直線a和c之間的距離， 又∵AB=2，AC=6， ∴BC=62=4， 即直線b與直線c之間的距離為4． 故選：B． 3．(?)（2023秋·湖南婁底·七年級期末）如圖，直線，，，a與b的距離是5cm，b與c距離是2cm，則a與c的距離（???） A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 【詳解】解：由題意可知，，，， 則直線a與c的距離為5?2＝3（cm）， 故選：B． 【題型七】鉛筆頭模型(解題方法：遇拐點作平行線) 【典題1】如圖，已知，，，則的度數(shù)是（????） A．80° B．120° C．100° D．140° 【詳解】解：過E作直線MN//AB，如下圖所示， ∵MN//AB， ∴∠A+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）， ∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵， ∴ ∵MN//AB，AB//CD， ∴MN//CD， ∴∠C+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）， ∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°， 故選：C． 鞏固練習 1(?)如圖，已知AB//CD，則，，之間的等量關(guān)系為（????） A． B． C． D． 【詳解】解：過點E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖， ???? ∵AB∥EF∥CD， ∴∠γ+∠FED=180°， ∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β， ∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°， ∴∠α+∠β+∠γ=360°， 故選：C． 2．(?)（2023秋·湖南永州·七年級校考階段練習）如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 【詳解】解： 過點A作AB∥l1， ∵l1∥l2， ∴AB∥l1∥l2， ∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180， ∵∠1=105,∠2=140 ， ∴∠4=75,∠5=40， ∵∠4+∠5+∠3=180， ∴∠3=65. 故選：C. 3．(??)（2023秋·廣東東莞·七年級東莞市長安實驗中學?？计谥校┤鐖D，已知AB∥CD． （1）如圖1所示，∠1+∠2＝　 ?。?（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝　 ?。徊懗銮蠼膺^程． （3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 ?。?（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝　 ?。?【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）． 故答案為：180°； （2）如圖2，過點E作AB的平行線EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如圖3，過點E，點F分別作AB的平行線， 類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案為：540°； （4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案為：（n-1）×180°． 4(???)（1）如圖1，AM∥CN，求證： ???? ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°； ②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個點，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明． 分析：（1）①過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結(jié)論；②過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結(jié)論；（2）過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°． 【詳解】解：（1）①證明：如圖1，過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG ∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180° ∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360° ∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360° ②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN， ∵AM∥CN，∴EP∥FQ， ∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180° ∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°； （2）猜想：若平行線間有n個點，則所有角的和為（n+1）?180°． 證明：如圖2，過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行， ∴結(jié)合（1）問得： 所有角的和為（n+1）?180°． 【題型八】鋸齒模型 【典題1】如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（???） A．70° B．65° C．35° D．50° 【詳解】解：作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2， ∵∠1=30°，∠2=35°， ∴∠BCF=30°，∠FCE=35°， ∴∠BCE=65°， 故選：B． 鞏固練習 1(??)如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（???） A． B． C． D． 【詳解】解：如圖,過點C和點D作CGAB,DHAB, ∵CGAB,DHAB, ∴CGDHAB, ∵ABEF, ∴ABEFCGDH, ∵CGAB, ∴∠BCG=α, ∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α, ∵CGDH, ∴∠CDH=∠GCD=β-α, ∵HDEF, ∴∠HDE=γ, ∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°, ∴γ+β-α=90°, ∴β=α+90°-γ． 故選：D． 2．(???)（2023秋·江蘇常州·七年級期中）問題情境：如圖①，直線，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上． (1)猜想：若，，試猜想______°； (2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)． 解析： （1）解：如圖過點作， ∵， ∴． ∴， ． ∵，， ∴ ∴． ∵， ∴∠P=80°． 故答案為：； （2）解：，理由如下： 如圖過點作， ∵， ∴． ∴， ． ∴ ∵， ． （3）如圖分別過點、點作、 ∵， ∴． ∴， ， ． ∴ ∵， ， ， ∴ ∴ 故答案為：． 3．(???)（2023秋·河北石家莊·七年級?？茧A段練習）(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線??//??，E 是 AB 與 AD 之間的一點，連接 BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠? +∠?= ∠???． 請把下面的證明過程補充完整： 證明：過點 E 作??//??， ∵ ??//??(已知)，??//??(輔助線的作法)． ∴ ??//??( )． ∴ ∠? = ∠???( ) ∵ ??//??，∴ ∠? = ∠???(同理)． ∴ ∠? + ∠? = (等量代換) 即∠? + ∠? = ∠???． (2)拓展探究：如果點 E 運動到圖②所示的位置，其他條件不變，進一步探究發(fā)現(xiàn)：∠? + ∠? = 360°?∠???，請說明理由． (3)解決問題：如圖③，??//??，∠?=120°，∠???=80°，請直接寫出∠?的度數(shù)． 【詳解】解：（1）證明：如圖①，過點E作EF∥AB， ∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法）， ∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行）， ∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）， ∵EF∥AB， ∴∠B=∠BEF（同理）， ∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換） 即∠B+∠C=∠BEC， 故答案為：平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠BEF+∠CEF； （2）證明：如圖②，過點E作EF∥AB， ∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法）， ∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行）， ∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°， ∴∠B+∠C+∠AEC=360°， ∴∠B+∠C=360°-∠BEC； （3）解：如圖③，過點E作EF∥AB， ∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法）， ∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行）， ∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠BEF， ∵∠C=120°，∠AEC=80°， ∴∠CEF=180°-120°=60°， ∴∠BEF=80°-60°=20°， ∴∠A=∠AEF=20°． 故答案為：20°．