專題07 三角形中的中位線與中垂線模型-中考數(shù)學(xué)幾何模型（重點專練）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【模型1】三角形中位線
如圖，已知D、E分別為AB、AC的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得,
根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，可得。
【模型2】梯形中位線
如圖，已知，E、F分別為梯形兩腰AD、BC的中點，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)，可得,
【模型拓展1】常見的中位線輔助線作法
如圖，在中，已知點D為AB的中點，通常情況下，過點D作，可知DE 為的中位線。
【模型拓展2】常見的中位線輔助線作法
如圖，在中，已知點D為AB的中點，通常情況下，過點D作，可知BC為的中位線。
【模型3】中垂線模型
如圖，已知直線是AB的垂直平分線，點A是直線上的一點，連接AB、AC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AC。
【例1】已知：中，為的中點，平分于，連結(jié)，若，求的長．
【答案】
【分析】延長CG交AB于點E. 根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得CG=EG，AE=AC,再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出DG=BE=（AB-AC），從而得出的長．
【解析】解：延長CG交AB于點E．
AG平分，于，
，，
，
∵ ，為的中點，
．
故答案為.
【例2】如圖，在菱形中，，點、分別為邊、的中點，連接，求證：．
【答案】見解析
【分析】連接、，交于點，根據(jù)三角形的中位線定理知，在菱形中，，易知，解直角三角形OBC知BO=BC?sin60°=,從而得證．
【解析】證明：如圖，連接、，交于點，
、分別是、的中點，
，
在菱形中，，
，，
，
，
．
【例3】已知：如圖，在△ABC 中，D在邊AB上．
（1）若∠ACD =∠ABC ，求證：AC2 = AD· AB；
（2）若E為CD 中點，∠ACD =∠ABE，AB = 3，AC=2，求BD的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】(1)利用兩組角分別相等，可證相似，然后對應(yīng)邊成比例，變形即可求解；
(2)過C作CF∥EB交AB的延長線于F，轉(zhuǎn)化成(1)中的相似關(guān)系，列比例式，代入AB和AC的值即可求解．
【解析】(1)在和中，
，∠A=∠A，
∴∽，
∴，
∴ ；
(2)過C作CF∥BE交AB的延長線于F，
由于為中點，
∴BF=BD，∠F=∠ABE，
∵，
∴，∠A=∠A，
∴∽，
∴，
∴，
∵，，則，，
∴，
解得：BD=．
一、單選題
1．如圖，在平行四邊形中，與交于點O，點E是邊的中點，，則的長是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明點O為AC的中點，而點E是BC邊的中點，可證OE為△ABC的中位線，利用中位線定理解題即可．
【解析】解：由平行四邊形的性質(zhì)可知AO=OC，
而E為BC的中點，即BE=EC，
∴OE為△ABC的中位線， OE=AB，
由OE=1，得AB=2．
故選B．
2．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E是BC的中點．若OE=2cm，則AB的長為（）
A．4cmB．8cmC．2cmD．6 cm
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到OA=OC，結(jié)合EC=EB，得到OE是△ABC的中位線，根據(jù)中位線定理，得到AB=2OE計算選擇即可．
【解析】因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以O(shè)A=OC，
因為EC=EB，
所以O(shè)E是△ABC的中位線，
所以AB=2OE，
因為OE=2，
所以AB=4(cm)．
故選A．
3．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的中點，若DE=4，則BC等于（）
A．2B．4C．8D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形中位線定理計算即可．
【解析】解：∵D、E分別是AB、AC邊上的中點，DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8，
故選：C．
4．如圖，在矩形中，，，平分交于點點，分別是，的中點，則的長為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由AE平分∠BAD得∠BAE=∠DAE，根據(jù)矩形ABCD可得△ABE是等腰直角三角形，所以BE=AB=6，從而可求EC=2，連接DE，由勾股定理得DE的長，再根據(jù)三角形中位線定理可求FG的長．
【解析】解：連接，如圖所示：
四邊形是矩形，
，，，AD∥BC，
，
平分，
，
，
，
，
，
點、分別為、的中點，
是的中位線，
；
故選：B．
二、填空題
5．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AC延長線上的一點，AD＝24，點E是BC上一點，BE＝10，連接DE，M、N分別是AB、DE的中點，則MN＝____．
【答案】13
【分析】連接BD，取BD的中點F，連接MF、NF，由中位線定理可得NF、MF的長度，再根據(jù)勾股定理求出MN的長度即可．
【解析】連接BD，取BD的中點F，連接MF、NF，如圖所示
∵M(jìn)、N、F分別是AB、DE、BD的中點
∴NF、MF分別是△BDE、△ABD的中位線
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
在中，由勾股定理得
故答案為：13．
6．如圖，在四邊形ABCD中，點E、F分別是邊AB、AD的中點，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，則∠ADC的度數(shù)為________．
【答案】135°
【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，計算即可．
【解析】解：連接BD，
∵E、F分別是邊AB、AD的中點，EF＝2，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
又∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°，
故答案為：135°．
7．梯形ABCD中，，點E，F(xiàn)，G分別是BD，AC，DC的中點，已知：兩底差是3，兩腰的和是6，則△EFG的周長是______________．
【答案】
【分析】連接AE，并延長交CD于K，利用“AAS”證得△AEB≌△KED，得到DK=AB，可知EF，EG、FG分別為△AKC、△BDC和△ACD的中位線，由三角形中位線定理結(jié)合條件可求得EF+FG+EG，可求得答案．
【解析】連接AE，并延長交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
∵點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點．
∴BE=DE，
在△AEB和△KED中，
，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK=AB，AE=EK，EF為△ACK的中位線，
∴EF=CK=(DC-DK) =(DC-AB)，
∵EG為△BCD的中位線，
∴EG=BC，
又FG為△ACD的中位線，
∴FG=AD，
∴EG+GF=(AD+BC)，
∵兩腰和是6，即AD+BC=6，兩底差是3，即DC-AB=3，
∴EG+GF=3，F(xiàn)E=，
∴△EFG的周長是3+=．
故答案為：．
8．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E，點F分別是邊BC，邊CD上的動點，且BE＝CF，AE與BF相交于點P．若點M為邊BC的中點，點N為邊CD上任意一點，則MN+PN的最小值等于_____．
【答案】
【分析】作M關(guān)于CD的對稱點Q，取AB的中點H，連接PQ與CD交于點N'，連接PH，HQ，當(dāng)H、P、N'、Q四點共線時，MN+NP＝PQ的值最小，根據(jù)勾股定理HQ，再證明△ABE≌△BCF，進(jìn)而得△APB為直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)，求得PH，進(jìn)而求得PQ．
【解析】解：作M關(guān)于CD的對稱點Q，取AB的中點H，連接PQ與CD交于點N'，連接PH，HQ，則MN'＝QN'，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，
∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠BFC＝∠AEB，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴PH＝，
∵M(jìn)點是BC的中點，
∴BM＝MC＝CQ＝，
∵PH+PQ≥HQ，
∴當(dāng)H、P、Q三點共線時，PH+PQ＝HQ＝的值最小，
∴PQ的最小值為，
此時，若N與N'重合時，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ＝的值最小，
故答案為．
9．如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB=OB，E為AC上一點，BE平分∠ABO，EF⊥BC于點F，∠CAD=45°，EF交BD于點P，BP=，則BC的長為_______．
【答案】4
【分析】過點E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根據(jù)三線合一可知點E是AO的中點，可證得EM=AD=BC，根據(jù)已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，從而得∠BEF=45°，△BEF為等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=BC，因此可證明△BFP≌△MEP（AAS），則EP=FP=FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．
【解析】過點E作EM∥AD，交BD于M，設(shè)EM=x，
∵AB=OB，BE平分∠ABO，
∴△ABO是等腰三角形，點E是AO的中點，BE⊥AO，∠BEO=90°，
∴EM是△AOD的中位線，
又∵ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=2EM=2x，
∵EF⊥BC， ∠CAD=45°，AD∥BC，
∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，
∴△EFC為等腰直角三角形，
∴EF=FC，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，
則△BEF為等腰直角三角形，
∴BF=EF=FC=BC=x，
∵EM∥BF，
∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，
則△BFP≌△MEP（ASA），
∴EP=FP=EF=FC=x，
∴在Rt△BFP中，，
即：，
解得：，
∴BC=2=4，
故答案為：4．
10．如圖，梯形ABCD中，，，將線段CB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點C落在CD延長線上的點E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點F，如果，且，那么梯形ABCD的中位線等于______．
【答案】8
【分析】由根據(jù)三角形的面積公式，由得，進(jìn)而求得DE=2，從而求得底邊EC的長，于是可求得CD的長，進(jìn)而求得梯形ABCD的中位線．
【解析】解：過點B作BM⊥CE于點M，如下圖，
∵，，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵，
∴，
∵，
∴DE=2，
∵BM⊥CE，
∴∠BMD=90°，
∴四邊形ABMD是矩形，
∴DM=AB=4，
∴EM=2+4=6，
∵將線段CB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點C落在CD延長線上的點E處，
∴BE=BC，
∵BM⊥CE，
∴EC=2EM=12，
∴CD=12-2=10，
∴梯形ABCD的中位線為：，
故答案為：8．
11．如圖，平行四邊形中，對角線，交于點，，，，分別是，，的中點．下列結(jié)論正確的是__________．（填序號）
①；②；③平分；④平分；⑤四邊形是菱形．
【答案】①②③
【分析】由中點的性質(zhì)可得出，且，結(jié)合平行即可證得②結(jié)論成立，由得出，即而得出，由中線的性質(zhì)可知，且，，通過證得出得出①成立，再證得出④成立，此題得解．
【解析】解：令和的交點為點，如圖
、分別是、的中點，
，且，
四邊形為平行四邊形，
，且，
（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
點為的中點，
，
在和中，，
，即②成立，
，，
（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
，點為平行四邊形對角線交點，
，
為中點，
，
∴∠BEA=，
∵，
∴∠APG=∠BEA=，
，
∵為中點，
∴，即①正確；
∵GE=EF，，
∴平分即③正確；
另外，無法判斷平分和四邊形是菱形成立，故④⑤錯誤；
綜上所述，正確的有①②③，
故答案為：①②③．
12．如圖，三角形紙片ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，BF=2，CF=6，將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合．若DEBC，BF=DF，則△ADE的面積為 _____．
【答案】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)和30°直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【解析】解：∵紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合，
∴DE垂直平分AF．
∴AD=DF，AE=EF．
∵DEBC，
∴DE為ABC的中位線．
∴DE=BC=(BF+CF)=×(2+6)=4．
∵BF=DF，
∴BDF為等邊三角形．
∴B=60°．
在RtAFB中，BAF=30°，BF=2，
∴AF=BF=2，
∴四邊形ADFE的面積=×DE×AF=×4×2=4．
∴ADE的面積=×4×=2．
故答案為：2．
三、解答題
13．如圖，在四邊形中，，、分別是邊、的中點，的延長線分別、的延長線交于點、，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】連接BD，取BD的中點，連接EP，F(xiàn)P，根據(jù)三角形中位線定理即可得到PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC，進(jìn)而得出∠AHF=∠BGF．
【解析】解：如圖所示，連接BD，取BD的中點，連接EP，F(xiàn)P，
∵E、F分別是DC、AB邊的中點，
∴EP是△BCD的中位線，PF是△ABD的中位線，
∴PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC，
∴∠H=∠PFE，∠BGF=∠FEP，
又∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴∠AHF=∠BGF．
14．如圖所示，中，，延長到，使，點是的中點，求證：.
【答案】見解析
【分析】可知EF是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得EF∥AB，EF=AB，又由AD=AB，即可得AD=EF，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形AEFD是平行四邊形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E邊BC的中點，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可求得AF=BC．所以DE=2BC.
【解析】證明：取的中點F，連EF，AF，
∵點E、F分別為邊BC，AC的中點，即EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AB，EF=AB，
即EF∥AD，
∵AD=AB，
∴EF=AD，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；
∴AF=DE.
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E邊BC的中點，
∴AF=BC，
∵四邊形AFED是平行四邊形，
∴BC=2DE.
15．如圖，已知菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，DE = 4cm，∠A =45°，求菱形ABCD的面積和梯形DEBC的中位線長（精確到0.1cm）
【答案】菱形ABCD的面積是22.7cm2，梯形DEBC的中位線長是3.7cm．
【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC=AB，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=4，
由勾股定理得，，
∴AB=，
∴菱形ABCD的面積為DE×AB=4×=≈22.7cm2，
∵BE=-4，CD=AD=，
∴梯形DEBC的中位線長（-4+）÷2=-2≈3.7cm．
答：菱形ABCD的面積是22.7cm2，梯形DEBC的中位線長是3.7cm．
16．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，OE是△ABC的中位線，連接AE并延長，與DC的延長線相交于點F，且AF=AD，連接BF.證明四邊形ABFC為矩形
【答案】證明見解析
【分析】先通過平行四邊形及中位線的性質(zhì)證明△ABE≌△FCE，從而得到四邊形ABFC為平行四邊形，再結(jié)合等腰三角形的三線合一證明∠ACF=90°即可得到答案．
【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴，AB=CD
∴∠ABE＝∠FCE．
∵OE是△ABC的中位線
∴BE=CE
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE(ASA)
∴AB=CF
∴四邊形ABFC為平行四邊形
∴CF=CD
又∵AF=AD
∴∠ACF=90°
∴四邊形ABFC為矩形
17．已知：如圖，在等邊中，，且交外角平分線于點.
（1）當(dāng)點為中點時，試說明與的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)點不是中點時，試說明與的數(shù)量關(guān)系.
【答案】（1），見解析.（2），見解析.
【分析】（1）AD=DE．由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結(jié)論；
（2）AD=DE．由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結(jié)論；
【解析】（1）結(jié)論：AD=DE，理由如下：
如圖: 過點D作DF∥AC，交AB于點F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠ACB=60°，
∴△BDF是等邊三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分線，∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠EDC=30°，
在△AFD與△EDC中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；
（2）結(jié)論：AD=DE；理由如下：
如圖2，過點D作DF∥AC，交AB于點F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠ACB=60°，
∴△BDF是等邊三角形，∴BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分線，∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠EDC，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE.
18．中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)n°得到，E與B是對應(yīng)點，如圖1．
（1）延長BC、EF，交于點K，求證：∠BKE=n°；
（2）當(dāng)m=150，n=60時，求四邊形CEFA的面積；
（3）如圖3．當(dāng)n=150時，取BE的中點P和CF的中點Q，直接寫出的值．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而得到；
（2）連，作于，根據(jù)條件得到是等邊三角形，則，從而根據(jù)計算即可；
（3）取CE中點G，連接PG，QG，構(gòu)造△GPQ為等腰三角形，并結(jié)合中位線定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解∠PGQ=30°，再作CN⊥FA于N點，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解出，最后在△GPQ中運(yùn)用“三線合一”的性質(zhì)求解出PQ的長度得出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)、交于點，
是旋轉(zhuǎn)所得，
，
，
，
，
；
（2）連，作于，
，
，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，，
，
；
（3）如圖，取CE中點G，連接PG，QG，
則PG，QG為△BCE和△FCE的中位線，
∴，，△GPQ為等腰三角形，
根據(jù)中位線定理可得：∠BCE=∠PGE，∠CEF=∠CGQ，
∴∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=∠BCE+∠CEF-180°，
又∵∠BCE+∠CEF=∠BCE+∠CEA+∠AEF=∠BCE+∠CEA+∠ABC，
∴在四邊形ABCE中，∠BCE+∠CEA+∠ABC=360°-∠BAE=360°-150°=210°，
∴∠BCE+∠CEF=210°，∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=210°-180°=30°，
作CN⊥FA于N點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠CAF=150°，AC=AF=6，∠AFC=15°，
∴∠CAN=30°，
在Rt△CAN中，AC=6，∠CAN=30°，
∴CN=3，，
∴NF=AN+AF=
由勾股定理得：，
∴，
即：，
此時，作GM⊥PQ，則根據(jù)“三線合一”知GM平分∠PGQ，∠MGQ=15°，PM=QM，
∴，
∴，
∴．
19．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是線段AB延長線上一動點，連結(jié)CE．
（1）如圖1，過點C作CF⊥CE交線段DA于點F．
①求證：CF=CE；
②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代數(shù)式表示線段EF的長；
（2）在（1）的條件下，設(shè)線段EF的中點為M，探索線段BM與AF的數(shù)量關(guān)系，并用等式表示．
（3）如圖2，在線段CE上取點P使CP=2，連結(jié)AP，取線段AP的中點Q，連結(jié)BQ，求線段BQ的最小值．
【答案】（1）①詳見解析；②；（2）BM= AF；（3）
【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)以及余角的性質(zhì)即可證明△DCF≌△BCE，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）在直線AB上取一點G，使BG=BE，由三角形中位線定理可得FG=2BM，可以證明AF=AG．在Rt△AFG中由勾股定理即可得出結(jié)論．
（3）在AB的延長線上取點R，使BR=AB=4，連結(jié)PR和CR，由三角形中位線定理可得BQ=PR．在Rt△CBR中，由勾股定理即可得出CR的長，再由三角形三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)論．
【解析】（1）解：①證明：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DCB=∠CBE=90°．
∵CF⊥CE，∠FCE=90°，∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE（ASA），∴CE=CF．
②∵△DCF≌△BCE，∴DF=BE=m，∴AF=4-m，AE=4+m，由四邊形ABCD是正方形得∠A=90°，∴EF==；
（2）解：在直線AB上取一點G，使BG=BE．
∵M(jìn)為EF的中點，∴FG=2BM，由（1）知，DF=BE，又AD=AB，∴AF=AG．
∵∠A=90°，∴FG=AF，∴2BM=AF，∴BM=AF．
（3）解：在AB的延長線上取點R，使BR=AB=4，連結(jié)PR和CR．
∵Q為AP的中點，∴BQ=PR．
∵CP=2，CR==，∴PR≥CR-CP=，∴BQ的最小值為．

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