【模型1】A字型相似模型
如圖13-1,,要證∽,只要知道即可。
【模型2】反A字型相似模型
如圖13-2,,要證∽,只要再知道一組對應角相等即可,即只需知道或。
【例1】如圖,在△ABC中,DE∥BC,若AE=2,EC=3,則△ADE與△ABC的面積之比為( )
A.4:25B.2:3C.4:9D.2:5
【例2】如圖,已知D是BC的中點,M是AD的中點.求的值.
【例3】【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第77頁的部分內(nèi)容.
【定理證明】請根據(jù)教材內(nèi)容,結(jié)合圖①,寫出證明過程.
【定理應用】如圖②,在矩形ABCD中,AC為矩形ABCD的對角線,點E在邊AB上,且AE = 2BE,點F在邊CB上,CF= 2BF.O為AC的中點,連結(jié)EF、OE、OF.
(1)EF與AC的數(shù)量關(guān)系為__________.
(2)與的面積比為___________.
一、單選題
1.如圖.在△ABC中,DE∥BC,∠B=∠ACD,則圖中相似三角形有( )
A.2對B.3對C.4對D.5對
2.如圖,已知若的面積為,則的面積為( )
A.B.C.D.
3.如圖,在△ABC 中,∠C=90°,BC=3,D,E分別在AB、AC上,將△ADE沿DE翻折后,點A落在點A′處,若A′為CE的中點,則折痕DE的長為( )
A.B.3C.2D.1
二、填空題
4.如圖,是內(nèi)一點,過點分別作直線平行于各邊,形成三個小三角形面積分別為,則__________
5.如圖,在中,點、分別在、上,,如果,的面積為9,四邊形的面積為16,則的長為________.
三、解答題
6.如圖,△ABD中,∠A=90°,AB=6cm,AD=12cm.某一時刻,動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動;同時,動點N從點D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動,運動的時間為ts.
(1)求t為何值時,△AMN的面積是△ABD面積的;
(2)當以點A,M,N為頂點的三角形與△ABD相似時,求t值.
7.在中,,D為上一點,過D作DEBC交于點E,連接.設,求的取值范圍.
8.中,,,,現(xiàn)有動點P從點A出發(fā),沿AC向點C方向運動,動點Q從點C出發(fā),沿線段CB也向點B方向運動,如果點P的速度是4cm/s,點Q的速度是2cm/s,它們同時出發(fā),當有一點到達所在線段的端點時,就停止運動.設運動時間為t秒.
(1)求運動時間為多少秒時,P、Q兩點之間的距離為10cm?
(2)若的面積為,求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當t為多少時,以點C,P,Q為頂點的三角形與相似?
9.如圖,在△ABC中,點D在邊AB上,點E、點F在邊AC上,且DEBC,.
(1)求證:DFBE;
(2)如且AF=2,EF=4,AB=6.求證△ADE∽△AEB.
10.如圖,AB為⊙O的直徑,C為BA延長線上一點,點D為圓上一點且∠ADC=∠AOF,OF⊥AD于點E,交CD于點F.
(1)判斷CD與⊙O的位置關(guān)系;
(2)若sinC=,BD=8,求EF的長.
11.如圖,在中,點分別在上,且.
(1)求證:;
(2)若點在上,與交于點,求證:.
12.如圖,已知,⊙O為△ABC的外接圓,BC為直徑,點E在AB上,過點E作EF⊥BC,點G在FE的延長線上,且GA=GE.
(1)求證:AG與⊙O相切.
(2)若AC=6,AB=8,BE=3,求線段OE的長.
13.已知:矩形ABCD中,AB=9,AD=6,點E在對角線AC上,且滿足AE=2EC,點F在線段CD上,作直線FE,交線段AB于點M,交直線BC于點N.
(1)當CF=2時,求線段BN的長;
(2)若設CF=x,△BNE的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)試判斷△BME能不能成為等腰三角形,若能,請直接寫出x的值.
14.如圖,在平行四邊形中,,,,點從點出發(fā),沿方向勻速運動,速度為;同時,點從點出發(fā),沿方向勻速運動,速度為.當一個點停止運動,另一個點也停止運動.過點作交于點,連接,交于點.設運動時間為.解答下列問題:
(1)當為___________時,?
(2)連接,設四邊形的面積為,求與的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當為何值時,點在線段的垂直平分線上?
(4)若點關(guān)于的對稱點為,是否存在某一時刻,使得點,,三點共線?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
15.如圖,在矩形的邊上取一點,連接并延長和的延長線交于點,過點作的垂線與的延長線交于點,與交于點,連接.
(1)當且時,求的長;
(2)求證:;
(3)連接,求證:.

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