考點(diǎn)1 方程新定義問題
【例1】．設(shè)m，n為實數(shù)，定義如下一種新運(yùn)算：m★ n＝，若關(guān)于x的方程a（x★ x）＝（x★ 12）+1無解，則a的值是 ．
?變式訓(xùn)練
【變1-1】．對于兩個不相等的實數(shù)a，b，我們規(guī)定符號min{a，b}表示a，b中較小的值，如min{2，4}＝2．按照這個規(guī)定，方程（x≠0）的解為（ ）
A．4B．2C．4或2D．無解
【變1-2】．新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0與n（x﹣a）2+b＝0，稱為“同類方程”．如2（x﹣1）2+3＝0與6（x﹣1）2+3＝0是“同類方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0與（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同類方程”．那么代數(shù)式ax2+bx+2022能取得最大值是 ．
考點(diǎn)2 不等式新定義問題
【例2】．規(guī)定[x]為不大于x的最大整數(shù)，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3．若[x]＝2，則x的取值范圍為 ．
?變式訓(xùn)練
【變2-1】．已知對于任意兩組正實數(shù)：a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn總有（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2．當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝時取等號，據(jù)此我們可以得到，正數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝1，則++的最小值為（ ）
A．3B．6C．9D．12
【變2-2】．新定義：對非負(fù)實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果n﹣≤x≤n+，則＜x＞＝n；反之，當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則n﹣≤x≤n+．例如，＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…試解決下列問題：
如果＜x﹣2＞＝3，則實數(shù)x的取值范圍是 ．
②若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解恰有3個，則a的取值范圍是 ．

1．定義[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如：[3.2]＝3，[﹣3.2]＝﹣4，[3]＝3，則方程[x]+2＝2x所有解的和為（ ）
A．B．C．D．
2．定義新運(yùn)算：對于任意實數(shù)a、b都有：a⊕b＝（a+b）÷b，其中等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，如：3⊕6＝（3+6）÷6＝，那么方程（x+2）⊕（2x﹣1）＝4的解為（ ）
A．x＝3B．x＝2C．x＝1D．x＝0
3．定義新運(yùn)算“a*b”：對于任意實數(shù)a，b，都有a*b＝ab+3，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．例如：3*4＝3×4+3＝15．若關(guān)于x的方程x*（kx+2）＝0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．kB．kC．k，且k≠0D．k，且k≠0
4．對于兩個不相等的有理數(shù)a、b，我們規(guī)定符號min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，例如min{﹣2，3}＝﹣2．按照這個規(guī)定，方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解為（ ）
A．x＝﹣B．x＝﹣1
C．x＝1D．x＝﹣1或x＝﹣
5．對非負(fù)實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為[x]．即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，若，則[x]＝n，如：[3.4]＝3，[3.5]＝4，若[x]＝3，則x應(yīng)滿足的條件是（ ）
A．x＝3B．3≤x＜3.5C．2.5＜x＜3.5D．2.5≤x＜3.5
6．對于任意實數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：a*b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2*5＝2×5﹣2+5﹣2＝11，請根據(jù)上述的定義解決問題，若不等式2*x＜6，則該不等式的正整數(shù)解有幾個（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．將關(guān)于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x3﹣2x2+2x+1的值為（ ）
A．B．C．D．
8．閱讀理解：a、b、c、d是實數(shù)，我們把符號稱為2×2階行列式，并且規(guī)定：，例如，．二元一次方程組的解可以利用2×2階行列式表示為，其中，，．用上面的方法解二元一次方程組時，下面的說法錯誤的是（ ）
A．D＝8B．Dx＝10
C．方程組的解為D．Dy＝20
9．給出一種運(yùn)算：對于函數(shù)y＝xn，規(guī)定y′＝nxn﹣1．例如：若函數(shù)y＝x5，則有y′＝5x4．已知函數(shù)y＝x3，y′＝12，則x的值是 ．
10．定義一種新運(yùn)算：a*b＝a﹣b．若（x+3）*（2x﹣1）＝1，則根據(jù)定義的運(yùn)算求出x的值為 ．
11．對于實數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“?”為a?b＝，這等式右邊是實數(shù)運(yùn)算．例如：1?2＝＝1．則方程2?（﹣x）＝的解是 ．
12．m、n為正整數(shù)，1＝++++++++++++，1≤x≤m，1≤y≤n，m≤n，則代數(shù)式的最小值為 ．
13．新定義，若關(guān)于x，y的二元一次方程組①的解是，關(guān)于x，y的二元一次方程組②的解是，且滿足||≤0.1，||≤0.1，則稱方程組②的解是方程組①的模糊解，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是方程組的模糊解，則m的取值范圍是 ．
14．新定義：對非負(fù)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為（x）．即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，若，則（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．下列結(jié)論：
①（2.493）＝2；
②（3x）＝3（x）；
③若，則x的取值范圍是6≤x＜10；
當(dāng)x≥0，m為非負(fù)整數(shù)時，有（m+2022x）＝m+（2022x）；
其中正確的是 （填寫所有正確的序號）．
15．自然數(shù)1到n的連乘積，用n！表示，這是我們還沒有學(xué)過的新運(yùn)算（高中稱為階乘），這種運(yùn)算規(guī)定：1?。?，2?。?×1＝2，3?。?×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在這種規(guī)定下，請你解決下列問題：
（1）計算5?。? ；
（2）已知x為自然數(shù)，求出滿足該等式的x：；
（3）分解因式．
16．（1）解方程組：．
（2）對于實數(shù)a，b規(guī)定一種新的運(yùn)算“☆”：a☆b＝．
例如：4☆3＝＝5，2☆3＝2×3＝6．
若x，y滿足方程組，求y☆（x☆y）的值．
17．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有 （填序號）．
①方程x2﹣4x+4＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，則4m+n＝0；
③若p、q滿足pq＝8，則關(guān)于x的方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）是倍根方程；
若2b2﹣9ac＝0時，則方程ax2+bx+c＝0是倍根方程．
18．若關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關(guān)于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足|x﹣y|＝m（m為正數(shù)），則稱方程αx+b＝0（a≠0）與方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．例如：方程2x﹣3＝1的解是x＝2，方程y﹣4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1與方程y﹣4＝0是“差2方程”．
（1）請判斷方程x﹣2＝3﹣x與方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并說明理由；
（2）若無論k取任何有理數(shù)，關(guān)于x的方程﹣b＝2k﹣1，（a，b為常數(shù)）與關(guān)于y的方程3y+5＝y(tǒng)﹣1都是“差1方程”，求a+b的值．
19．航天創(chuàng)造美好生活，每年4月24日為中國航天日．學(xué)習(xí)了一元一次方程以后，小悅結(jié)合中國航天日給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程的解，y0是關(guān)于y的方程的一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝424，則關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x＝5x﹣400的解是x＝400，方程|y|＝24的解是y＝24或y＝﹣24，當(dāng)y＝24時，滿足x0+y0＝400+24＝424，所以關(guān)于y的方程|y|＝24是關(guān)于x的一元一次方程4x＝5x﹣400的“航天方程”．
（1）試判斷關(guān)于y的方程|y﹣1|＝20是否是關(guān)于x的一元一次方程x+403＝2x的“航天方程”？并說明理由；
（2）若關(guān)于y的方程|y﹣1|﹣3＝13是關(guān)于x的一元一次方程x﹣＝2a+1的“航天方程”，求a的值．
20．對x定義一種新運(yùn)算E，規(guī)定E（x）＝（ax+2）（2bx﹣3），其中a，b是非零常數(shù)．如：當(dāng)a＝1，b＝1時，E（x）＝（x+2）（2x﹣3）＝2x2+x﹣6．
（1）當(dāng)a，b滿足時，計算E（x）；
（2）已知，請求出的值；
（3）若當(dāng)a＝3，b＝2時，關(guān)于x的不等式組恰好有5個整數(shù)解，求k的取值范圍．
21．規(guī)定，若兩個不相等的數(shù)，其中一個數(shù)比另一個數(shù)大1，則稱這兩個數(shù)關(guān)于1的“剎那
又一年”，例如：6﹣5＝1或|5﹣6|＝1，則稱6與5是關(guān)于1的“剎那又一年”，請你嘗試運(yùn)用上述規(guī)定，解答下列問題：
（1）填空：（在橫線上填“是”或“不是”）
①已知：P（2x+12，2y+10）在坐標(biāo)系的原點(diǎn)上，那么x與y是否關(guān)于1的“剎那又一年” ；
②已知不等式組的整數(shù)解為a，b，那么a與b是否關(guān)于1的“剎那又一年” ；
（2）已知方程組：的解x和y是關(guān)于1的“剎那又一年”，求t的值；
（3）已知：x＞y且中的x和y是關(guān)于1的“剎那又一年”，當(dāng)m為正整數(shù)時，S1＝m2+8m+7，S2＝m2+6m+8滿足條件0＜n＜|S1﹣S2|的整數(shù)n有且只有8個，令t＝m+b2，化簡．
22．我們把關(guān)于x，y的兩個二元一次方程x+ky＝b與kx+y＝b（k≠1）叫做互為共軛二元一次方程，二元一次方程組叫做共軛二元一次方程組．
（1）若關(guān)于x，y的二元一次方程組為共軛二元一次方程組，則a＝ ，b＝ ．
（2）若二元一次方程x+ky＝b中x，y的值滿足下列表格：
則這個方程的共軛二元一次方程是 ．
（3）直接寫出方程組的解：的解為 ；的解為 ；的解為 ．
（4）發(fā)現(xiàn)：若共軛二元一次方程組的解是，則m，n之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
（5）應(yīng)用：請你構(gòu)造一個共軛二元一次方程組，并直接寫出它的解．
23．閱讀理解：
定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解為x＝2，的解集為﹣3≤x＜4，不難發(fā)現(xiàn)x＝2在﹣3≤x＜4的范圍內(nèi)，所以2x﹣1＝3是的“子方程”．
問題解決：
（1）在方程①3x﹣1＝0，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式組的“子方程”是 ．（填序號）
（2）若關(guān)于x的方程2x﹣k＝2是不等式組的“子方程”，求k的取值范圍；
（3）若方程2x+4＝0，＝﹣1都是關(guān)于x的不等式組的“子方程”，試求m的取值范圍．
24．定義一種新運(yùn)算：對于實數(shù)x、y，有L（x，y）＝ax+by（其中a，b均為非零常數(shù)），由這種運(yùn)算得到的數(shù)稱之為線性數(shù)，記為L（x，y），其中x，y叫做線性數(shù)的一個數(shù)對，若實數(shù)x，y都取正整數(shù)，稱這樣的線性數(shù)為正格線性數(shù)，這時的x，y叫做正格線性數(shù)的正格數(shù)對．
（1）若L（x，y）＝2x+7y，則L（3，﹣2）＝ ，L（，﹣）＝ ；
（2）已知L（5，）＝，L（2，）＝8．
①若L（m﹣1，m+2）為正格線性數(shù)，求滿足66＜L（m﹣1，m+2）＜99的正格數(shù)對有哪些？
②若正格線性數(shù)L（x，y）＝55，滿足這樣的正格數(shù)對中，有滿足問題①的數(shù)對嗎，若有，請找出；若沒有，請說明理由．
25．閱讀下列材料解答問題：
新定義：對非負(fù)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果n﹣≤x＜n+，
則＜x＞＝n；反之，當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則n﹣≤x＜n+．例如：
＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…
試解決下列問題：
（1）①＜π+2.4＞＝ （π為圓周率）；
②如果＜x﹣1＞＝2，則數(shù)x的取值范圍為 ；
（2）求出滿足＜x＞＝x﹣1的x的取值范圍．
26．【情境呈現(xiàn)】：
在解方程組時，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，也容易出錯，如果把方程組中的2x+3y、4x﹣3y分別看作一個整體，通過換元：令m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以將原方程組化為，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程組解為．
【靈活運(yùn)用】：
（1）若方程組的解為，則方程組的解為 ；
（2）若方程組的解為，其中k為常數(shù)．
①求方程組的解：
②是否存在負(fù)整數(shù)k，使得①中方程組的解滿足x＞y，若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．
27．小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解，y0是關(guān)于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝100，則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x0＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，當(dāng)y0＝1時，x0+y0＝100，所以y2+1＝2為一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．
（1）已知關(guān)于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，
以上哪個方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？
請直接寫出正確的序號是 ．
（2）若關(guān)于y的方程|2y﹣2|+3＝5是關(guān)于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，請求出a的值．
（3）如關(guān)于y的方程2m|y﹣49|+＝m+n是關(guān)于x的一元一次方程mx+45n＝54m的“友好方程”，請直接寫出的值．
x
2
0
y
0
1

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