1．（3分）下列四個數(shù)中，是無理數(shù)的是（ ）
A．0B．1.66C．﹣D．
2．（3分）若∠1＝43°，則∠1的余角是（ ）
A．43°B．47°C．57°D．137°
3．（3分）下列正多邊形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的為（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下面運算正確的是（ ）
A．3x2+2x3＝5x5B．x6÷x2＝x4
C．（x3）2＝x9D．（x﹣1）2＝x2﹣1
5．（3分）若不論x取何值時，分式總有意義，則m的取值范圍為（ ）
A．m≥1B．m＜1C．m＞1D．m≤1
6．（3分）如圖，有7張撲克牌，將其打亂順序后，背面朝上放在桌上，若從中隨機抽取一張，抽到方塊的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）圓周率是指圓的周長與圓的直徑的比值，我國南北朝時期的數(shù)學家祖沖之用“割圓術(shù)”將圓周率算到了小數(shù)后面第七位，成為當時世界上最先進的成就，“割圓術(shù)”是指用圓的內(nèi)接正多邊形的周長來近似替代圓的周長，如圖所示，從正六邊形起算，并依次倍增，使誤差逐漸減?。攬A的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)為360時，由“割圓術(shù)”可得圓周率的近似值可用代數(shù)式表示為（ ）
A．360sin1°B．360sin0.125°
C．360sin0.25°D．360sin0.5°
8．（3分）如圖，P為等邊△ABC內(nèi)的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為6，8，10，則△ABC的面積為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.）
9．（3分）中央財政在2023年四季度增發(fā)2023年國債10000億元，增發(fā)的國債全部通過轉(zhuǎn)移支付方式安排給地方，將10000億元用科學記數(shù)法表示為 元．
10．（3分）若分式方程的解是x＝3，則a＝ ．
11．（3分）因式分解：2﹣8x2＝ ．
12．（3分）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰Rt△OA3A4，…，按此規(guī)律作下去便得到了一個海螺圖案，則OAn的長度為 ．（用含n的式子表示）
13．（3分）在九年級的一次考試中，某道單項選擇題的作答情況如圖所示，由統(tǒng)計圖可得選C的人數(shù)是 ．
14．（3分）如果將直線沿x軸向左平移4個單位，那么所得直線的表達式是 ．
15．（3分）某商店銷售A，B兩款商品，利潤（單位：元）分別為和y2＝4x，其中x為銷量（單位：袋），若本周銷售兩款商品一共20袋，則能獲得的最大利潤為 ．
16．（3分）如圖，在三角形紙片ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝6，將三角形紙片折疊，使點B的對應(yīng)點B′落在AC上，折痕與BC，AB分別相交于點E、F，當△AFB′為等腰三角形時，BE的長為 ．
三、解答題（本大題共11小題，共82分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．（5分）計算：．
18．（5分）解不等式組：．
19．（6分）已知點P（2a﹣2，a+5）回答下列問題：
（1）點P在y軸上，求出點P的坐標；
（2）點P在第二象限，且它到x軸、y軸的距離相等，求a2024+2024的值
20．（6分）計算圖中陰影部分的面積（用字母a，b表示）．
21．（6分）已知某可變電阻兩端的電壓為定值，使用該可變電阻時，電流I（A）與電阻R（Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，函數(shù)圖象如圖所示．
（1）求I關(guān)于R的函數(shù)表達式．
（2）若要求電流I不超過4A，則該可變電阻R應(yīng)控制在什么范圍？
22．（8分）某校甲乙兩班聯(lián)合舉辦了“愛眼知識”競賽，從甲班和乙班各隨機抽取10名學生，統(tǒng)計這部分學生的競賽成績，并對數(shù)據(jù)（成績）進行了收集、整理、分析，下面給出了部分信息．
（一）收集數(shù)據(jù)
若將80分作為標準記為0，超出80分記為正，不足80分記為負，則
甲班10名學生競賽成績：+5，﹣2，+6，﹣1，﹣8，+11，﹣1，﹣9，﹣10，+9
乙班10名學生競賽成績：+8，+3，0，+8，+3，﹣4，+13，﹣3，﹣2，+4
（二）分析數(shù)據(jù)
（三）解決問題
根據(jù)以上信息，回答下列問題；
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）甲乙兩班各有學生45人，按競賽規(guī)定，83分及83分以上的學生可以獲得獎品，估計這兩個班可以獲獎的總?cè)藬?shù)是多少？
23．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的長．
24．（8分）西安城墻是中國現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最完整的古代城垣．李華和張明相約去城墻游玩并打算用學過的知識測量城墻的高度．如圖，CD是城墻外的一棵樹，李華首先在城墻上從A處觀察樹頂C，測得樹頂C的俯角為14°；然后，張明在城墻外，陽光下，某一時刻，當他走到點F處時，他的影子頂端與樹的影子頂端恰好在G處重合．張明的身高EF＝1.5米，GF＝1.2米，F(xiàn)D＝6.4米，BG＝2.4米，已知點B、G、F、D在一條水平線上，圖中所有的點都在同一平面內(nèi)，AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，請求出城墻的高度AB．（參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）
25．（10分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4厘米，BC＝3厘米，點E從A出發(fā)沿AB﹣BC勻速運動，速度為1厘米/秒；同時，點F從C出發(fā)沿對角線CA向A勻速運動，速度為1厘米/秒，連接DE、DF、EF，設(shè)運動時間為t秒．請解答以下問題：
（1）當0＜t＜2.5時
①t為何值時，EF∥AD；
②設(shè)△DEF的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)；
（2）當0＜t＜5時，滿足條件DF⊥FE，t的值為 ．
26．（10分）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，點O為邊BC上一點，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過點A，B．
（1）求作圓O（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：AC是⊙O的切線；
（3）若點P為圓O上一點，且弧PA＝弧PB，連接PC，求線段PC的長．
27．（10分）定義：對于函數(shù)，當自變量x＝x0，函數(shù)值y＝x0時，則x0叫做這個函數(shù)的平衡值．
（1）直接寫出反比例函數(shù)的平衡值是 ．
（2）如圖，若二次函數(shù)y＝ax2+bx有兩個平衡值，分別是0與3，且該二次函數(shù)圖象的頂點P的坐標為（2，4）．
①求該二次函數(shù)的表達式；
②連接OP，M是線段OP上的動點（點M不與點O，P重合），N是該二次函數(shù)圖象上的點，在x軸正半軸上是否存在點Q（m，0）滿足∠MOQ＝∠MPN＝∠NMQ，若存在，求m的最大值；若不存在，請說明理由．
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）
1．（3分）下列四個數(shù)中，是無理數(shù)的是（ ）
A．0B．1.66C．﹣D．
【解答】解：0是整數(shù)，1.66，﹣是分數(shù)，它們都不是無理數(shù)；
是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)；
故選：D．
2．（3分）若∠1＝43°，則∠1的余角是（ ）
A．43°B．47°C．57°D．137°
【解答】解：∵∠1＝43°，
∴∠1的余角為：90°﹣∠1＝47°．
故選：B．
3．（3分）下列正多邊形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、即是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故本選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項正確；
C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故本選項錯誤；
D、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故本選項錯誤．
故選：B．
4．（3分）下面運算正確的是（ ）
A．3x2+2x3＝5x5B．x6÷x2＝x4
C．（x3）2＝x9D．（x﹣1）2＝x2﹣1
【解答】解：3x2與2x3不是同類項，無法合并，則A不符合題意；
x6÷x2＝x4，則B符合題意；
（x3）2＝x6，則C不符合題意；
（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，則D不符合題意；
故選：B．
5．（3分）若不論x取何值時，分式總有意義，則m的取值范圍為（ ）
A．m≥1B．m＜1C．m＞1D．m≤1
【解答】解：由題意得x2﹣2x+m≠0，
（x﹣1）2+（m﹣1）≠0，
∵（x﹣1）2≥0，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1時，分式總有意義，
故選：C．
6．（3分）如圖，有7張撲克牌，將其打亂順序后，背面朝上放在桌上，若從中隨機抽取一張，抽到方塊的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵一共有7張撲克牌，每張牌被抽到的概率相同，抽到方片牌有2張，
∴抽到的花色是方片的概率為，
故選：B．
7．（3分）圓周率是指圓的周長與圓的直徑的比值，我國南北朝時期的數(shù)學家祖沖之用“割圓術(shù)”將圓周率算到了小數(shù)后面第七位，成為當時世界上最先進的成就，“割圓術(shù)”是指用圓的內(nèi)接正多邊形的周長來近似替代圓的周長，如圖所示，從正六邊形起算，并依次倍增，使誤差逐漸減?。攬A的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)為360時，由“割圓術(shù)”可得圓周率的近似值可用代數(shù)式表示為（ ）
A．360sin1°B．360sin0.125°
C．360sin0.25°D．360sin0.5°
【解答】解：如圖：圓內(nèi)接正360邊形被半徑分成360個全等的等腰三角形AOB，其頂角∠AOB＝1°，過點O作OC⊥AB，垂足為C，
設(shè)OA＝OB＝r，
∵OA＝OB，OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠AOB＝0.5°，AB＝2AC，
在Rt△AOC中，AC＝OA?sin0.5°＝rsin0.5°，
∴AB＝2AC＝2rsin0.5°，
∴由“割圓術(shù)”可得圓周率的近似值＝＝＝360sin0.5°，
故選：D．
8．（3分）如圖，P為等邊△ABC內(nèi)的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為6，8，10，則△ABC的面積為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴把△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP1，把△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△CBP2，把△CBP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△ABP3，連接PP1，PP2，PP3，
∴AP＝AP1＝6，BP＝CP1＝8
∴△APP1為等邊三角形，且面積為：×6×6×＝9，
∴PP1＝AP＝6，
∵+＝PC2，
∴△PCP1為直角三角形，且面積為：＝24，
∴四邊形APCP1的面積為：24+9，
同理得：四邊形APBP3的面積為：24+16，
四邊形BPCP2的面積為：24+25，
∴△ABC的面積為：×（24+9+24+16+24+25）＝36+25，
故選：A．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.）
9．（3分）中央財政在2023年四季度增發(fā)2023年國債10000億元，增發(fā)的國債全部通過轉(zhuǎn)移支付方式安排給地方，將10000億元用科學記數(shù)法表示為 1×1012 元．
【解答】解：10000億元＝1000000000000元＝1×1012元．
故答案為：1×1012．
10．（3分）若分式方程的解是x＝3，則a＝ ﹣1 ．
【解答】解：分式方程去分母得：x+1＝2x+2a，
由分式方程的解為x＝3，
代入整式方程得：3+1＝2×3+2a，
解得：a＝﹣1，
故答案為：﹣1．
11．（3分）因式分解：2﹣8x2＝ 2（1+2x）（1﹣2x） ．
【解答】解：原式＝﹣2（4x2﹣1）
＝2（1+2x）（﹣12x）．
故答案為：2（1+2x）（1﹣2x）．
12．（3分）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰Rt△OA3A4，…，按此規(guī)律作下去便得到了一個海螺圖案，則OAn的長度為 ．（用含n的式子表示）
【解答】解：∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，
∴，
同理可得：，，……；
綜上所述：；
故答案為：．
13．（3分）在九年級的一次考試中，某道單項選擇題的作答情況如圖所示，由統(tǒng)計圖可得選C的人數(shù)是 28人 ．
【解答】解：10÷20%×（1﹣8%﹣16%﹣20%）
＝50×0.66
＝28（人），
即由統(tǒng)計圖可得選C的人數(shù)是28人，
故答案為：28人．
14．（3分）如果將直線沿x軸向左平移4個單位，那么所得直線的表達式是 y＝﹣ ．
【解答】解：將直線沿x軸向左平移4個單位，那么所得直線的表達式是：y＝﹣（x+4）+2，即y＝﹣．
故答案為：y＝﹣．
15．（3分）某商店銷售A，B兩款商品，利潤（單位：元）分別為和y2＝4x，其中x為銷量（單位：袋），若本周銷售兩款商品一共20袋，則能獲得的最大利潤為 170元 ．
【解答】解：設(shè)某商店銷售A款商品x袋，則銷售B款商品（20﹣x）袋，
∴總利潤y＝y(tǒng)1+y2＝﹣x2+23x+4（20﹣x）＝﹣x2+19x+80＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，0≤x≤20，x為正整數(shù)，
∴當x＝9或10時，y有最大值＝170，
即能獲得的最大利潤為170元，
故答案為：170元．
16．（3分）如圖，在三角形紙片ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝6，將三角形紙片折疊，使點B的對應(yīng)點B′落在AC上，折痕與BC，AB分別相交于點E、F，當△AFB′為等腰三角形時，BE的長為 3或6或 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝6，
∴∠A＝30°，AB＝2BC＝12，
如圖1：B′F＝AF時，
由折疊的性質(zhì)知，BF＝FB′＝AF，
∴F是直角三角形ABC的斜邊上的中點，
∴BF＝FB′＝AF＝6，
此時點B′與C重合，
∵折疊，
∴；
如圖2：B′F＝AB′時，
由折疊的性質(zhì)知，BF＝FB′，BE＝B′E，∠FB′E＝∠FBE＝60°，
∵∠A＝30°，B′F＝AB′，
∴∠AFB′＝30°，∠FB′C＝60°，
∵∠FB′E＝∠FB′C＝60°，
∴此時點E與點C重合，
即BE＝BC＝6；
如圖3：AF＝AB′時，
∵∠A＝30°，AF＝AB′，
∴，
由折疊的性質(zhì)知，EB＝EB′，∠FB′E＝∠FBE＝60°，
則∠EB′C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵∠C＝90°，
∴△ECB′是等腰直角三角形，
∴CE＝B′C，
∵，
∴，
B′E+CE＝BE+CE＝6，
即，
解得，
綜上：當△AFB′為等腰三角形時，BE的長為3或6或，
故答案為：3或6或．
三、解答題（本大題共11小題，共82分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．（5分）計算：．
【解答】解：
＝3×﹣1+
＝﹣1+
＝﹣1．
18．（5分）解不等式組：．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x＜2，
故不等式組的解集為：﹣1＜x＜2．
19．（6分）已知點P（2a﹣2，a+5）回答下列問題：
（1）點P在y軸上，求出點P的坐標；
（2）點P在第二象限，且它到x軸、y軸的距離相等，求a2024+2024的值
【解答】解：（1）∵P在y軸上，
∴2a﹣2＝0，
解得：a＝1，
∴a+5＝6，
∴P（0，6）；
（2）∵點P到x軸和y軸距離相等，
∴|2a﹣2|＝|a+5|，
∵P在第二象限，
∴2a﹣2＜0，a+5＞0，
∴|2a﹣2|＝2﹣2a，|a+5|＝a+5，
∴2﹣2a＝a+5，
解得：a＝﹣1，
∴a2024+2024＝（﹣1）2024+2024＝2025．
20．（6分）計算圖中陰影部分的面積（用字母a，b表示）．
【解答】解：（3a+2b）（2a+b）﹣（2b+a）（a+b）
＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣2ab﹣2b2﹣a2﹣ab
＝5a2+4ab．
21．（6分）已知某可變電阻兩端的電壓為定值，使用該可變電阻時，電流I（A）與電阻R（Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，函數(shù)圖象如圖所示．
（1）求I關(guān)于R的函數(shù)表達式．
（2）若要求電流I不超過4A，則該可變電阻R應(yīng)控制在什么范圍？
【解答】解：（1）設(shè)I＝，
圖象經(jīng)過（8，3），
k＝3×8＝24，
∴I＝；
（3）∵I≤4，I＝，
∴≤4
∴R≥6．
∴用電器可變電阻應(yīng)控制在6Ω以上．
22．（8分）某校甲乙兩班聯(lián)合舉辦了“愛眼知識”競賽，從甲班和乙班各隨機抽取10名學生，統(tǒng)計這部分學生的競賽成績，并對數(shù)據(jù)（成績）進行了收集、整理、分析，下面給出了部分信息．
（一）收集數(shù)據(jù)
若將80分作為標準記為0，超出80分記為正，不足80分記為負，則
甲班10名學生競賽成績：+5，﹣2，+6，﹣1，﹣8，+11，﹣1，﹣9，﹣10，+9
乙班10名學生競賽成績：+8，+3，0，+8，+3，﹣4，+13，﹣3，﹣2，+4
（二）分析數(shù)據(jù)
（三）解決問題
根據(jù)以上信息，回答下列問題；
（1）填空：a＝ 80 ，b＝ 79 ，c＝ 83 ．
（2）甲乙兩班各有學生45人，按競賽規(guī)定，83分及83分以上的學生可以獲得獎品，估計這兩個班可以獲獎的總?cè)藬?shù)是多少？
【解答】解：（1）甲班10名學生競賽成績：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89，
∴平均數(shù)a＝×（85+78+86+79+72+91+79+71+70+89）＝80．
眾數(shù)b＝79，
乙班成績從低到高排列為：76、77、78、80、83、83、84、88、88、93，
∴中位數(shù)c＝＝83；
故答案為：80，79，83；
（2）45×+45×＝45（人），
答：估計這兩個班可以獲獎的總?cè)藬?shù)是45人．
23．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的長．
【解答】（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC為∠DAB的平分線，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AD＝AB，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O為AC中點，
∴＝4．
24．（8分）西安城墻是中國現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最完整的古代城垣．李華和張明相約去城墻游玩并打算用學過的知識測量城墻的高度．如圖，CD是城墻外的一棵樹，李華首先在城墻上從A處觀察樹頂C，測得樹頂C的俯角為14°；然后，張明在城墻外，陽光下，某一時刻，當他走到點F處時，他的影子頂端與樹的影子頂端恰好在G處重合．張明的身高EF＝1.5米，GF＝1.2米，F(xiàn)D＝6.4米，BG＝2.4米，已知點B、G、F、D在一條水平線上，圖中所有的點都在同一平面內(nèi)，AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，請求出城墻的高度AB．（參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）
【解答】解：過點C作CH⊥AB于H，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四邊形BDCH是矩形，
∴BH＝CD，CH＝BD＝BG+GF+FD＝2.4+1.2+6.4＝10（米），
在Rt△ACH中，∠ACH＝14°，tan∠ACH＝，
∴AH＝CH?，tan14°≈10×0.25＝2.5（米），
∵EF⊥BD，
∴EF∥CD，
∴△EGF∽△CGD，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝9.5，
∴BH＝9.5（米），
∴AB＝AH+BH＝12米．
答：城墻的高度AB約為12米．
25．（10分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4厘米，BC＝3厘米，點E從A出發(fā)沿AB﹣BC勻速運動，速度為1厘米/秒；同時，點F從C出發(fā)沿對角線CA向A勻速運動，速度為1厘米/秒，連接DE、DF、EF，設(shè)運動時間為t秒．請解答以下問題：
（1）當0＜t＜2.5時
①t為何值時，EF∥AD；
②設(shè)△DEF的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)；
（2）當0＜t＜5時，滿足條件DF⊥FE，t的值為 ．
【解答】解：（1）當0＜t＜2.5時，點E在AB邊上，AE＝t厘米，CF＝t厘米，
∵矩形ABCD中，AB＝4厘米，BC＝3厘米，
∴CD＝AB，AD＝BC，∠ADC＝∠BAD＝∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5（厘米），
∴AF＝AC﹣CF＝（5﹣t）厘米，
①如圖1，
∵EF∥AD，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：t＝，
∴當t＝時，EF∥AD；
②當D、E、F在同一條直線上時，如圖2，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，即＝，
解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2（負值舍去），
∵﹣2+2＞2.5，
∴當0＜t＜2.5時，如圖3，過點F作FG⊥AB于G，交CD于H，
則∠CHF＝∠DHF＝∠AGF＝∠BGF＝90°，
∴FH∥AD，
∴△CFH∽△CAD，
∴＝＝，即＝＝，
∴FH＝t厘米，CH＝t厘米，
∵四邊形BCHG是矩形，
∴GH＝BC＝3厘米，BG＝CH＝t厘米，
∴FG＝GH﹣FH＝（5﹣t）厘米，EG＝AB﹣AE﹣BG＝4﹣t﹣t＝（4﹣t）厘米，DH＝（4﹣t）厘米，
∴y＝S矩形ADHG﹣S△ADE﹣S△DFH﹣S△EFG＝3（4﹣t）﹣×3t﹣×t（4﹣t）﹣（4﹣t）（5﹣t）＝﹣t2+t+2；
∴y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣t2+t+2（0＜t＜2.5）；
（2）∵DF⊥EF，
∴∠DFE＝90°，
當四邊形ADFE是圓內(nèi)接四邊形時，則∠DEF+∠DAE＝180°，
如圖4，過點F作FM⊥CD于M，
則∠FDE＝∠FAE，
∴△FDE∽△BAC，
∴＝＝，即＝＝，
∴FD＝DE厘米，EF＝DE厘米，
在Rt△ADE中，DE＝＝厘米，
∴FD＝厘米，
∵FD＝＝厘米，
∴＝，
整理得：9t2﹣160t+256＝0，
解得：t＝或t＝16（舍去）；
當四邊形CDFE是圓內(nèi)接四邊形時，則∠DEF+∠DCE＝180°，
如圖5，過點F作FH⊥CD于H，連接DE，
則AB+BE＝CF＝t，CE＝7﹣t，
∴DE＝＝，
∠DEF＝∠ACD，∠DFE＝∠ADC，
∴△DEF∽△ACD，
∴＝＝，即＝＝，
∴DF＝DE＝，
∵FH∥AD，
∴△CFH∽△CAD，
∴＝＝，即＝＝，
∴FH＝t，CH＝t，
∴DH＝CD﹣CH＝4﹣t，
∴DF＝＝，
∴＝，
整理得：16t2﹣34t﹣185＝0，
解得：t1＝，t2＝﹣（舍去），
故答案為：或．
26．（10分）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，點O為邊BC上一點，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過點A，B．
（1）求作圓O（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：AC是⊙O的切線；
（3）若點P為圓O上一點，且弧PA＝弧PB，連接PC，求線段PC的長．
【解答】解：（1）如圖，圓O即為所求；
（2）證明：連接OA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠CAO＝∠BAC﹣∠OAB＝90°，
∴OA⊥AC，OA是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線；
（3）∵弧PA＝弧PB，
∴符合條件的點P有兩個，P′和P″，連接P′C和P″C，
作P′E⊥BC于點E，
∵OP′⊥AB，
根據(jù)垂徑定理，得
AF＝BF＝AB＝，
∵∠B＝30，
∴∠P′OB＝60°，
∴OB＝＝2，
∴P′E＝BF＝，
BE＝OB＝1，
∵AB＝AC＝2，
作AD⊥BC于點D，則AD＝，DC＝3，
∴BC＝2DC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣1＝5，
∴P′C＝＝2；
連接P″C，
∵OA＝OP″，∠AOC＝∠COP″＝60°，OC＝OC，
∴△AOC≌△P″OC（SAS），
∴P″C＝AC＝2．
綜上所述：線段PC的長為2或2．
27．（10分）定義：對于函數(shù)，當自變量x＝x0，函數(shù)值y＝x0時，則x0叫做這個函數(shù)的平衡值．
（1）直接寫出反比例函數(shù)的平衡值是 ±1 ．
（2）如圖，若二次函數(shù)y＝ax2+bx有兩個平衡值，分別是0與3，且該二次函數(shù)圖象的頂點P的坐標為（2，4）．
①求該二次函數(shù)的表達式；
②連接OP，M是線段OP上的動點（點M不與點O，P重合），N是該二次函數(shù)圖象上的點，在x軸正半軸上是否存在點Q（m，0）滿足∠MOQ＝∠MPN＝∠NMQ，若存在，求m的最大值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）令y＝x，則x＝，
解得：x＝±1，
即反比例函數(shù)的平衡值是±1；
故答案為：±1；
（2）①根據(jù)二次函數(shù)的平衡值為3得：3＝9a+3b，
根據(jù)二次函數(shù)頂點為（2，4）得：4＝4a+2b，
聯(lián)立解得：a＝﹣1，b＝4，
∴y＝﹣x2+4x；
②存在，
延長PN交x軸于C，過C作CD⊥OP于D，如圖：
∵P（2，4），O（0，0），
∴tan∠POC＝2，OP＝2，
∵∠POQ＝∠MPN，
∴OC＝PC，
∴OD＝OP＝，
∴OC＝5，
∴C（5，0），
設(shè)直線PC的表達式為：y＝kx+n，
∴，
∴k＝﹣，n＝，
聯(lián)立拋物線表達式得：﹣x+＝﹣x2+4x，
解得：x1＝2，x2＝，
∴N（，），
∴PN＝＝，
∵∠OMN＝∠MPN+∠PNM＝∠QMN+∠OMQ，∠QMN＝∠MPN，
∴∠OMQ＝∠PNM，
∴△NPM∽△MOQ，
∴＝，
設(shè)PM＝t，
∴OM＝2﹣t，
∵Q（m，0），
∴OQ＝m，
∴＝，
∴m＝t（2﹣t）＝[﹣（t﹣）2+5]，
∴當t＝時，m最大，最大值為．班級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
甲班
a
80
b
51.4
乙班
83
c
83，88
27
班級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
甲班
a
80
b
51.4
乙班
83
c
83，88
27

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