1. 的相反數(shù)為（ ）
A. 2021B. ﹣2021C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義即可求得
【詳解】解：的相反數(shù)是．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零．
2. 如圖是由四個(gè)相同的小正方體堆成的幾何體，它的左視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題主要考查了簡單組合體的三視圖；用到的知識(shí)點(diǎn)為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．
根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可．
【詳解】解：從左邊看有兩層，底層是兩個(gè)小正方形，上層的左邊是一個(gè)小正方形．
故選：A．
3. 下列運(yùn)算中，正確是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．
【詳解】解：A、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：C．
4. 要從甲、乙、丙三名學(xué)生中選出一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，對這三名學(xué)生進(jìn)行了10次數(shù)學(xué)測試，三人的平均成績均為90分，甲的方差為0.025，乙的方差為0.04，丙的方差為0.061，則這10次測試成績比較穩(wěn)定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 無法判斷
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了方差的意義，掌握方差是反映一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定是關(guān)鍵．
方差是反映數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，方差越小，離散程度越小，就越穩(wěn)定．
【詳解】解：∵3人的平均成績均為90分，甲的方差為乙的方差為丙的方差為，
∴甲在這10次測試成績比較穩(wěn)定．
故選：A．
5. 如圖，四邊形是菱形，對角線，交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連接，若，則的長為（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，勾股定理，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出，，，再利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求解即可．
【詳解】解：∵菱形的對角線、相交于點(diǎn)O，
∴，，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位線，
∴，
故選：B．
6. 如圖，平分，點(diǎn)A是在邊上，以點(diǎn)A為圓心，大于點(diǎn)A到的距離為半徑作弧，交于點(diǎn)B，C，再分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，作直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則的長度為（ ）
A. 4B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了作圖-基本作圖，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，由作圖得，再根據(jù)角平分線的定義得，然后根據(jù)含角的直角三角形三邊關(guān)系先求出，再求出的長即可，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由作圖得于F，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故選：D．
7. 如圖，在中，，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，在軸上，，延長交軸于點(diǎn)，連接，若的面積為4，則的值為（ ）
A. 12B. 9C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，滿足函數(shù)解析式的點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．
過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，設(shè)，，則，則，，然后證和相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，據(jù)此可得，然后再根據(jù)的面積為4可求出，據(jù)此即可求出k的值．
【詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
設(shè)，，則，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴軸，即：，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
8. 如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，與軸交點(diǎn)在和之間，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)、、是拋物線上的點(diǎn)，則；④；⑤（為任意實(shí)數(shù)）．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)圖象確定式子的符號及系數(shù)的符號，由對稱軸為直線可判斷①；由時(shí)，，且可判斷②；由拋物線與對稱軸的距離可判斷③；由拋物線的頂點(diǎn)位置可判定④；由拋物線的最值即可判斷⑤．關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合．
【詳解】解：∵對稱軸為直線，
∴，
∴，故①正確；
∵時(shí)，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正確；
∵拋物線開口向下，且點(diǎn)到對稱軸的距離最大，到對稱軸的距離最小，
∴，故③錯(cuò)誤；
∵，與軸交點(diǎn)在和之間，
∴，
∴，故④錯(cuò)誤；
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，
∴當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，，
∴（為任意實(shí)數(shù)），故⑤正確，
綜上所述，正確的結(jié)論是①②⑤，共3個(gè)，
故選：B．
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．
9. 地球的赤道半徑約為6 370 000米，用科學(xué)記數(shù)法記為___米．
【答案】6.37×106
【解析】
【分析】在確定n的值時(shí)，看該數(shù)是大于或等于1還是小于1．當(dāng)該數(shù)大于或等于1時(shí)，n為它的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)該數(shù)小于1時(shí)，－n為它第一個(gè)有效數(shù)字前0的個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前的1個(gè)0）．
【詳解】6 370 000一共7位，用科學(xué)記數(shù)法表示為： 6.37×106．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10 n 的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
10. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了綜合提公因式和公式法因式分解，解題的關(guān)鍵是正確找出公因式，熟練掌握平方差公式．
11. 在一個(gè)不透明的盒子中，有個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為、、、、，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，摸出的小球標(biāo)號為非負(fù)數(shù)的概率為________．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了概率公式，關(guān)鍵是掌握概率的計(jì)算方法．利用隨機(jī)事件的概率等于事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：標(biāo)號為、、、、的小球，非負(fù)數(shù)有個(gè)，一共有個(gè)數(shù)，
故摸出的小球標(biāo)號為非負(fù)數(shù)的概率為．
故答案為：．
12. 若式子有意義，則x的取值范圍是________．
【答案】且
【解析】
【分析】此題主要考查了二次根式有意的條件，零次冪，以及分式有意義的條件，關(guān)鍵是把握，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)以及分母不為0．首先根據(jù)二次根式有意義的條件可知，再根據(jù)分母不為0，可得，零次冪底數(shù)不能為0可得，再解可得答案．
【詳解】解：∵式子有意義，
∴，
解得且，
故答案為：且．
13. 關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根，據(jù)此即可解答，掌握一元二次方程的定義及根的判別式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴即，且，
即有，
解得，
∴的取值范圍是且，
故答案為：且．
14. 如圖，點(diǎn)P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則周長的最小值是________cm．
【答案】6
【解析】
【分析】此題主要考查軸對稱最短路線問題，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．
設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)、在上時(shí)，的周長最小．
【詳解】解：分別作點(diǎn)關(guān)于、的對稱點(diǎn)、，連接，分別交、于點(diǎn)、，連接、、、、．
點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
，，；
點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
，，，
，
，
，
，
是等邊三角形，
．
的周長的最小值．
故答案為：6．
15. 矩形中，對角線，交于點(diǎn)，，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向在邊，上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，將矩形沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)落在矩形對角線上時(shí)（不與矩形頂點(diǎn)重合），則的值為________秒．
【答案】2或
【解析】
【分析】本題考查四邊形翻折問題，解題關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線長度等于斜邊長的一半．如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在矩形對角線上時(shí)，連接，由翻折及點(diǎn)E為中點(diǎn)可得，即分別垂直，，再由平行線分線段成比例即可求解；如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在矩形對角線上時(shí)，時(shí)，作于點(diǎn)G，證明，得，代入值即可求解．
【詳解】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在矩形對角線上時(shí)，連接，
由翻折可得，
∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴F為中點(diǎn)，
∴，
∴；
如圖2，
當(dāng)點(diǎn)落在矩形對角線上時(shí)，時(shí)，作于點(diǎn)G，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案為：2或．
16. 如圖，，點(diǎn)在邊上，且，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊三角形；過點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、，以為邊在的右側(cè)作等邊三角形；過點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、，以為邊在的右側(cè)作等邊三角形，…；按此規(guī)律進(jìn)行下去，則的面積為__．（用含正整數(shù)的代數(shù)式表示）
【答案】
【解析】
【分析】由題意是等邊三角形，邊長為，是等邊三角形，邊長為，是等邊三角形，邊長為，繼而得到的邊長為，然后根據(jù)等邊三角形面積公式進(jìn)行求解即可得．
【詳解】解：，點(diǎn)在邊上，且，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∴在中，設(shè)，則,
∴，即，
∴，
∵為等邊三角形，
∴，且，
∴，且過點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，且，
由題意是等邊三角形，邊長為，
是等邊三角形，邊長為，
是等邊三角形，邊長為，
等邊三角形，邊長為，…，
的邊長為，
∴的面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的面積公式、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)得出等邊三角形的邊長的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：本題共10小題，共102分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 先化簡，再求代數(shù)式的值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)實(shí)數(shù)和分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，先根據(jù)分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法變成乘法，算乘法，求出a的值，最后代入求出答案．
【詳解】解：
，
，
當(dāng)時(shí)，原式．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，，．先將沿一個(gè)確定的方向平移，得到，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；再將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到．
（1）畫出；
（2）畫出．直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑長．
【答案】（1）見解析；
（2）圖形見解析，的長．
【解析】
【分析】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形，也考查了平移變換．
（1）將向右平移5個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，得到點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；將點(diǎn)B、C也按照相同的平移方式平移即可得到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可得；
（2）將三頂點(diǎn)繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)點(diǎn)，首尾順次連接即可得；根據(jù)弧長公式求解可得．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求；
【小問2詳解】
解：如圖，即為所求；
，
的長．
19. 某校開展課外體育活動(dòng)，開設(shè)了以下體育項(xiàng)目：籃球、足球、跳繩和踢毽，要求每名學(xué)生必須且只能選擇其中的一項(xiàng)．為了解選擇各種體育項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)以上信息解答下列問題：
（1）這次調(diào)查的學(xué)生共有________人．
（2）求在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“足球”所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
（3）若該校共有1500名學(xué)生，選擇“跳繩”和“踢毽”的大約共有多少人？
【答案】（1）100 （2）“足球”所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為；補(bǔ)全圖形見解析
（3）選擇“跳繩”和“踢建”的大約共有660人
【解析】
【分析】（1）用其他三項(xiàng)的人數(shù)和除以其所占百分比之和可得總?cè)藬?shù)；
（2）用360°乘“足球”的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的比例即可得；根據(jù)各項(xiàng)目的人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求得籃球的人數(shù)即可補(bǔ)全條形圖；
（3）用總?cè)藬?shù)乘樣本中“跳繩”和“踢建”的人數(shù)所占比例即可得．
【小問1詳解】
解：這次調(diào)查的學(xué)生共有（人），
故答案為：100；
【小問2詳解】
解：在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“足球”所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為；
籃球人數(shù)為（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
【小問3詳解】
解：（人），
答：選擇“跳繩”和“踢建”的大約共有660人．
【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖綜合，涉及求樣本容量、求扇形統(tǒng)計(jì)圖某項(xiàng)圓心角、補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體等知識(shí)，條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
20. 某校為豐富校園文化生活，要舉辦校園藝術(shù)節(jié)，現(xiàn)要從兩名男生和兩名女生中選主持人．
（1）若從四人中隨機(jī)選一名主持人，則選出的主持人是女生的概率是________．
（2）若從四人中隨機(jī)選兩名主持人，請用畫樹狀圖或列表的方法，求選出的兩名主持人是一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）選出的兩名主持人是一男一女的概率為
【解析】
【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中選出的兩名主持人是一男一女的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：∵現(xiàn)要從兩名男生和兩名女生中選主持人，
∴若從四人中隨機(jī)選一名主持人，則選出的主持人是女生的概率是，
故答案為：；
【小問2詳解】
樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中選出的兩名主持人是一男一女的結(jié)果有8種，
∴選出的兩名主持人是一男一女的概率為．
21. 某文具店批發(fā)甲、乙兩種文具，已知甲文具的單價(jià)是乙文具單價(jià)的倍．用元購買乙文具比購買甲文具多4個(gè)，求：甲、乙兩種文具的單價(jià)各為多少元？
【答案】甲文具單價(jià)是6元，乙文具的單價(jià)是4元
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列分式方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)乙文具單價(jià)是x元，則甲文具的單價(jià)是元，依題意得，，計(jì)算求解，然后作答即可．
【詳解】解：設(shè)乙文具單價(jià)是x元，則甲文具的單價(jià)是元，
依題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，且符合題意，
∴，
答：甲文具單價(jià)是6元，乙文具的單價(jià)是4元．
22. 如圖，在中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，且，以為直徑的分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H．
（1）求證：是切線．
（2）若，，求．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）連結(jié)，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)證明，則可判斷，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，從而根據(jù)切線的判定方法得到結(jié)論；
（2）過O點(diǎn)作于M點(diǎn)，連結(jié)，如圖，先利用圓周角定理得到，則在中利用余弦的定義求出，再利用勾股定理計(jì)算出，接著證明為的中位線得到，然后證明四邊形為矩形，從而得到．
【小問1詳解】
證明：連結(jié)，如圖，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵為的半徑，
∴是切線；
【小問2詳解】
解：過O點(diǎn)作于M點(diǎn)，連結(jié)，如圖，
∵為的直徑，
∴.
在中，∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
而，
∴為的中位線，
∴.
∵，
∴四邊形為矩形，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，解直角三角形，中位線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，切線的判定與性質(zhì)等，即圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
23. 如圖，在海岸線上有B、C兩個(gè)觀測點(diǎn)，B、C之間距離為，海上有一小島A，在小島A處分別測得觀測點(diǎn)B在小島A的南偏西方向，觀測點(diǎn)C在小島A的南偏西方向，求小島A與海岸線的距離．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】小島到海岸線的距離約為57.1米．
【解析】
【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用--方向角問題，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義、一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．先過點(diǎn)A作，垂足為D，設(shè)米，根據(jù)，然后代值計(jì)算即可求出小島到海岸線的距離．
【詳解】解：過點(diǎn)A作，垂足為D，
設(shè)米，
∵，
∴，
即，
解得：，
答：小島到海岸線的距離約為米．
24. 某經(jīng)銷商購進(jìn)一款成本為60元的水杯．按物價(jià)部門規(guī)定，其銷售單價(jià)不低于成本，但銷售利潤率不高于．據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，水杯每天的銷售數(shù)量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：當(dāng)銷售單價(jià)為70元時(shí)，銷售數(shù)量為160個(gè)；當(dāng)銷售單價(jià)為80元時(shí)，銷售數(shù)量為140個(gè)．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式．（不需寫出自變量x的取值范圍）
（2）若該經(jīng)銷商每天想從這款水杯銷售中獲利3600元，又想盡量減少庫存，這款水杯的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）設(shè)該水杯每天的總利潤為W（元），那么銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？
【答案】（1）y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）這款水杯的銷售單價(jià)應(yīng)定為90元；
（3）當(dāng)銷售單價(jià)定為99元時(shí)，該經(jīng)銷商銷售該水杯的總利潤最大，最大利潤是3978元．
【解析】
【分析】（1）由待定系數(shù)法可得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量，結(jié)合減少庫存，列方程可解；
（3）由題意得二次函數(shù)，得到對稱軸，可求得答案．
本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，難度中等略大．
【小問1詳解】
設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，
根據(jù)題意，得：
，
解得：，
∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為．
【小問2詳解】
由題意得，
∴，
解得：，，
∵想盡量減少庫存，
∴，
答：這款水杯的銷售單價(jià)應(yīng)定為90元．
【小問3詳解】
由題意得，
因?yàn)殇N售單價(jià)不低于成本，
∴，
因?yàn)殇N售利潤率不高于65%，
∴，
∴，
∴，
∵，拋物線開口向下，對稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，W取得最大值，（元）．
答：當(dāng)銷售單價(jià)定為99元時(shí)，該經(jīng)銷商銷售該水杯的總利潤最大，最大利潤是3978元．
25. 在正方形中，點(diǎn)M是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，且．
（1）如圖1，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明．
（2）如圖2，延長到點(diǎn)Q，連接，當(dāng)時(shí)，請求出，之間滿足的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖3在（2）的條件下，連接，當(dāng)，的面積是時(shí)，請直接寫出的長．
【答案】（1），，證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）證明，得，，再導(dǎo)出，從而得到，；
（2）作于點(diǎn)F，得到等腰直角三角形，再證明，推得；
（3）由題意可得，可知N為的中點(diǎn)，，設(shè)正方形的邊長為，將用含a的代數(shù)式表示，由相似三角形的性質(zhì)可以推得，由的面積是列方程求出a的值，再轉(zhuǎn)化為的長．
【小問1詳解】
解：，，證明如下；
∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴，；
【小問2詳解】
解：，理由如下：
如圖2，作于點(diǎn)F，
圖2
∴，
∵，
∴，
∴．
由（1）得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖3，設(shè)正方形邊長為．
圖3
∵，，，，的面積是，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
設(shè)，則，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得或（不符合題意，舍去），
∴，
∴的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，正切等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，構(gòu)造特殊角和含有特殊角的直角三角形．
26. 如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）如圖2，將沿直線平移得到．
①當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
②在移動(dòng)過程中，存在點(diǎn)使為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為
（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【解析】
【分析】（1）拋物線的表達(dá)式為：，即，解方程即可得到答案；
（2）①將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；②根據(jù)題意，分為直角、為直角、為直角三種情況，由勾股定理分別列方程求解即可得到答案．
【小問1詳解】
解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，
∴設(shè)拋物線解析式為，
則，即，
解得，
故拋物線的表達(dá)式為；
【小問2詳解】
解：令，則，解得或，故點(diǎn)，
函數(shù)的對稱軸為，故點(diǎn)；
設(shè)直線的表達(dá)式為：，
將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入得，解得，
直線的表達(dá)式為，
設(shè)點(diǎn)，
∵，則點(diǎn)，
①將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
②點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則，，，
當(dāng)為直角時(shí)，由勾股定理得，解得或，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
當(dāng)為直角時(shí)，由勾股定理得，解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)為直角時(shí)，由勾股定理得，解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式、待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式、勾股定理的運(yùn)用等，其中（2）②，要注意分類求解，避免遺漏，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)及二次函數(shù)綜合問題解法是解決問題的關(guān)鍵．

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