四川省成都市青羊區(qū)成都市石室中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

試卷說(shuō)明：
1.本試卷共一張，1~4頁(yè)；全卷分A卷和B卷，A卷滿(mǎn)分100分，B卷滿(mǎn)分50分；考試時(shí)間120分鐘．A卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為其他類(lèi)型的題．
2.考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫(xiě)在試卷和答題卡上．考試結(jié)束，監(jiān)考人員只收機(jī)讀卡和答題卷．
3.第Ⅰ卷全是選擇題，各題均有四個(gè)選項(xiàng)，只有一項(xiàng)符合題目要求．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，選擇題的答案不能答在試卷上．請(qǐng)注意機(jī)讀答題卡的橫豎格式．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（選擇題，共32分）
一．選擇題（每題4分，共8小題，共32分）
1. 中國(guó)“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類(lèi)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形；中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心，進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：A．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故A選項(xiàng)不合題意；
B．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故B選項(xiàng)不合題意；
C．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故C選項(xiàng)不合題意；
D．既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故D選項(xiàng)合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義．
2. 若，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可．
【詳解】A. 若，則，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
B. 若，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C 若，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. 若，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．
3. 下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查因式分解的定義：將一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解．根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、不是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行變形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、是因式分解，故選項(xiàng)正確，符合題意；
D、等式右邊不是整式的積的形式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
4. 使分式的值為0，這時(shí)x應(yīng)為（）
A. x＝±1B. x＝1C. x＝1 且 x≠﹣1D. x 的值不確定
【答案】B
【解析】
【分析】使分式的值為0，則x2-1=0,且x+1≠0.
【詳解】解：使分式的值為0，
則x2-1=0,且x+1≠0
解得x＝1
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的意義：要使分式值為0，則要使分子等于0，分母不等于0．
5. 如圖，△ABC沿BC方向平移后的得到△DEF，已知BC=5，EC=2，則平移的距離是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意判斷BE的長(zhǎng)就是平移的距離，利用已知條件求出BE即可．
【詳解】因?yàn)檠谺C方向平移，點(diǎn)E是點(diǎn)B移動(dòng)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
所以BE的長(zhǎng)等于平移的距離，
由圖可知，點(diǎn)B、E、C在同一直線上，BC=5，EC=2，
所以BE=BC-ED=5-2=3,
故選 C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移，正確找出平移對(duì)應(yīng)點(diǎn)是求平移距離的關(guān)鍵．
6. 如圖所示，直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝mx+n交于點(diǎn)P（﹣2，3），不等式kx+b≤mx+n的解集是（）
A. x＞﹣2B. x≥﹣2C. x＜﹣2D. x≤﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】觀察函數(shù)圖象，寫(xiě)出直線l1：y＝kx+b不在直線l2：y＝mx+n上方的自變量的取值范圍即可．
【詳解】解：如圖所示，直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝mx+n交于點(diǎn)P（﹣2，3），
所以，不等式kx+b≤mx+n的解集是x≤﹣2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合求解．
7. 電商經(jīng)濟(jì)的蓬勃發(fā)展，物流配送體系建設(shè)的不斷完善，推動(dòng)我國(guó)快遞行業(yè)迅速崛起．某快遞公司的甲、乙兩名快遞員從公司出發(fā)分別到距離公司2400米和1000米的兩地派送快件，甲快遞員的速度是乙快遞員速度的1.2倍，乙快遞員比甲快遞員提前10分鐘到達(dá)派送地點(diǎn)．若設(shè)乙快遞員的速度是x米/分，則下列方程正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)時(shí)間、路程、速度之間的關(guān)系，表示出乙快遞員、甲快遞員所用時(shí)間，再根據(jù)“乙快遞員比甲快遞員提前10分鐘到達(dá)派送地點(diǎn)”建立方程，即可解題．
【詳解】解：由題知，乙快遞員的速度是x米/分，甲快遞員的速度是乙快遞員速度的1.2倍，
甲快遞員的速度是米/分，
甲、乙兩名快遞員從公司出發(fā)分別到距離公司2400米和1000米的兩地派送快件，
可列方程為，
故選：A．
8. 如圖，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）
A. （﹣，3）B. （﹣3，）C. （﹣，）D. （﹣2，3）
【答案】A
【解析】
【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)B′作B′H⊥y軸于H．解直角三角形求出OH，B′H即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B′作B′H⊥y軸于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′=2，∠B′A′H=60°，
∴A′H=A′B′=1，B′H=，
∴OH=2+1=3，
∴B′（，3），
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．
二．填空題（每題4分，共5小題，共20分）
9. 若二次三項(xiàng)式可分解為，則m的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查根據(jù)因式分解的結(jié)果求參數(shù)，把利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則展開(kāi)，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相同列出方程求解即可得到m的值．
【詳解】解：，
可分解為，
，，
，，
故答案為：．
10. 若關(guān)于的不等式的解集是，則的值為_(kāi)_________．
【答案】2
【解析】
【分析】按照移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)的步驟求出不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集為建立方程求解即可．
【詳解】解：
移項(xiàng)得：，
合并同類(lèi)項(xiàng)得：，
∵不等式的解集是，
∴，
∴，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，利用不等式的解集得出關(guān)于k的方程是解題關(guān)鍵．
11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段是由線段平移得到的，小穎不小心將墨汁滴到點(diǎn)B的坐標(biāo)上，已知A，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)點(diǎn)A和對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)得到平移的規(guī)律為：向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，同步進(jìn)行的是，點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)D．根據(jù)此平移規(guī)律推斷點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵線段是由線段平移得到的，
∴點(diǎn)平移的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)B平移的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
∵點(diǎn)C是點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的，
∴點(diǎn)D也是點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的，
∴把點(diǎn)向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化一平移，平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減，縱坐標(biāo)上移加，下移減，熟練掌握此規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
12. 某電器商場(chǎng)促銷(xiāo)，海爾某型號(hào)冰箱的售價(jià)是2500元，進(jìn)價(jià)是1800元，商場(chǎng)為保證利潤(rùn)率不低于5%，則海爾該型號(hào)冰箱最多降價(jià)_______元．
【答案】610
【解析】
【分析】直接利用利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)，進(jìn)而得出不等式求出答案．
詳解】解：設(shè)海爾該型號(hào)冰箱降價(jià)x元，根據(jù)題意可得：
2500﹣1800﹣x≥5%×1800，
解得：x≤610，
故答案為：610．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
13. 在中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)O，作射線，交于點(diǎn)D，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和尺規(guī)作圖，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，過(guò)D點(diǎn)作于H點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得到，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：如圖，過(guò)D點(diǎn)作于H點(diǎn)，

由題中作法得平分，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案為：．
三．解答題（共48分）
14. 解方程和不等式組：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，化分為整，解整式方程，對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小是無(wú)解”進(jìn)行判斷即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：方程兩邊同時(shí)乘以得：
解得：．
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
原方程的根為．
【小問(wèn)2詳解】
解：由①得：
，
由②得：
，
此不等式組的解集為．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法和解一元一次不等式組問(wèn)題，熟練掌握分式方程的解法和判斷解集的方法是解題的關(guān)鍵．
15. 先化簡(jiǎn)，再?gòu)模?，1，2中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，先通分括號(hào)內(nèi)的式子，再算括號(hào)外的乘法，然后從，0，1，2中選擇一個(gè)使得原分式有意義的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)，0，1時(shí)原分式無(wú)意義，
，
當(dāng)時(shí)，原式．
16. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
（1）畫(huà)出關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）畫(huà)出將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的；
（3）在（2）的條件下，求線段掃過(guò)圖形的面積．
【答案】（1）圖見(jiàn)解析，
（2）圖見(jiàn)解析（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)作圖，旋轉(zhuǎn)作圖，扇形面積等知識(shí)點(diǎn)，正確作圖是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)作圖即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)作圖即可；
（3）根據(jù)扇形的面積公式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示，即為所求；；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖所示，即為所求：
【小問(wèn)3詳解】
解：∵，
∴由圖形可知，線段掃過(guò)圖形的面積扇形的面積．
17. 如圖，在中，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，邊的垂直平分線交，于點(diǎn)，，的周長(zhǎng)是12．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）12 （2）6
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得到，設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：是邊的垂直平分線，是的垂直平分線，
，，
；
【小問(wèn)2詳解】
解：，
，
，，
，，
，
設(shè)，則．
，
，
，
，，，
的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
18. 在等腰直角中，，，將直角邊AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AP，旋轉(zhuǎn)角為，連接CP，PB．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若，且D為AB中點(diǎn)，連接PD，猜想CP和DP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
【答案】（1）
（2），見(jiàn)解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）點(diǎn)P落在上，解等腰直角，，所以；
（2）解：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接，可證，于是，，結(jié)合三角形內(nèi)和定理，可求證，于是，得，所以；
（3）解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在內(nèi)部，如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，求證，于是，所以，中，，于是；②當(dāng)點(diǎn)P在外部，如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)A作,垂足為點(diǎn)H，求證，于是，進(jìn)一步證得，，而，所以，即．
【小問(wèn)1詳解】
解：時(shí)，點(diǎn)P落在上，
等腰直角中，，
∴
∴
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
中，，
∴
∴

∴
∵
∴
∴
∴
∴
而
∴
【小問(wèn)3詳解】
解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在內(nèi)部
如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，

∵
∴，
中，
∴
由（2）推證知
∴
又，
∴
∴
又
∴中，
∴
②當(dāng)點(diǎn)P在外部
如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)A作,垂足為點(diǎn)H

∵
∴，
∵，，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
綜上，或
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，特殊直角三角形，勾股定理，注意動(dòng)態(tài)問(wèn)題的分類(lèi)討論，添加輔助線構(gòu)造全等三角形，尋求線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
B卷（50分）
一．填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）
19. 若，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．
【答案】49
【解析】
【分析】先計(jì)算的值，再將所求代數(shù)式利用平方差公式分解前兩項(xiàng)后，將的值代入化簡(jiǎn)計(jì)算，然后再代入計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
=
=
=
=
=49．
故答案為：49．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，通過(guò)平方差公式分解因式后整體代入是解題的關(guān)鍵．
20. 分式方程的解大于1時(shí)，的取值范圍是____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的特殊解，熟悉掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)分式方程的解法解出，再根據(jù)解的取值范圍求的范圍即可．
【詳解】解：
，
∵，，
∴，
解得：且，
故答案為：且．
21. 如圖，△ABC的面積為4cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于點(diǎn)P，則△PBC的面積為_(kāi)_____cm2
【答案】2
【解析】
【分析】由平分，，可推出，進(jìn)一步知道，（等底等高），又由得到答案．
【詳解】解：如下圖：
延長(zhǎng)交于，
∵平分，，
∴，
∴，，
∴．
故答案：2
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，三角形三線合一，根據(jù)相關(guān)定理解題是關(guān)鍵．
22. 如圖，中，，平分交于點(diǎn)D，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段的值為_(kāi)____．

【答案】或
【解析】
【分析】對(duì)為等腰三角形進(jìn)行分類(lèi)討論，即：①；②；③，三種情況，再利用等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：，平分，
，
①當(dāng)時(shí)，如圖所示：

此時(shí)，
，
，
，
，
可得，
；
②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作垂線段交于點(diǎn)，如圖所示：

此時(shí)，
，
設(shè)，
，
則，，，
，
，
故可得，
解得，
；
③當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)
，
故無(wú)法構(gòu)成，故此種情況不存在，
綜上所述，為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，含有角的直角三角形三邊關(guān)系，正確地進(jìn)行分類(lèi)討論，熟練畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形是解題的關(guān)鍵．
23. 在中，，，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)___．
【答案】##
【解析】
【分析】如圖，在的上方作等邊，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由三角形的內(nèi)角和定理及直角三角形的性質(zhì)得，，進(jìn)而利用勾股定理得，然后再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)得，，進(jìn)而證明是等邊三角形，得，從而，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即可得解．
【詳解】解：如圖，在的上方作等邊，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，
∴的最小值為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．
二．解答題（本大題共30分）
24. 國(guó)慶期間，某商家用元購(gòu)進(jìn)了一批紀(jì)念衫，上市后果然供不應(yīng)求，商家又用元購(gòu)進(jìn)了第二批這種紀(jì)念衫，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍，但每件貴了元．
（1）該商家購(gòu)進(jìn)的第一批紀(jì)念衫單價(jià)是多少元？
（2）若兩批紀(jì)念衫按相同的標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售，最后剩下20件按標(biāo)價(jià)八折優(yōu)惠賣(mài)出，如果兩批紀(jì)念衫全部售完利潤(rùn)不低于元（不考慮其他因素），那么每件紀(jì)念衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元？
【答案】（1）該商家購(gòu)進(jìn)的第一批紀(jì)念衫單價(jià)是元；
（2）每件紀(jì)念衫的標(biāo)價(jià)至少是元；
【解析】
【分析】（1）設(shè)第一批紀(jì)念衫單價(jià)是x元，則第二批紀(jì)念衫單價(jià)是元，根據(jù)兩次的數(shù)量關(guān)系列方程求解即可得到答案；
（2）設(shè)每件紀(jì)念衫的標(biāo)價(jià)是y元，根據(jù)利潤(rùn)不低于元列不等式求解即可得到答案；
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)第一批紀(jì)念衫單價(jià)是x元，則第二批紀(jì)念衫單價(jià)是元，由題意可得
，解得：，
答：該商家購(gòu)進(jìn)的第一批紀(jì)念衫單價(jià)是元；
【小問(wèn)2詳解】
解：根據(jù)（1）得：第一批數(shù)量為件，第二批為件，
設(shè)每件紀(jì)念衫的標(biāo)價(jià)是y元，由題意可得，
，
解得：，
∴每件紀(jì)念衫的標(biāo)價(jià)至少是元；
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系式與不等關(guān)系式．
25. 【模型建立】如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易證明（無(wú)需證明），我們將這個(gè)模型稱(chēng)為“形圖”．接下來(lái)我們就利用這個(gè)模型來(lái)解決一些問(wèn)題：
【模型運(yùn)用】
（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰，，，與軸交點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求，兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線函數(shù)關(guān)系式為：，它交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使直線與直線的夾角為45°？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【模型拓展】
（3）如圖4，在中，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，分別連接，交于點(diǎn)．若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】（1），；（2），或，；（3）
【解析】
【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸于．證明推出，，可得，求出直線的解析式，即可解決問(wèn)題；
（2）分兩種情況：①點(diǎn)在負(fù)半軸上，如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先證明，得出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進(jìn)而得出答案；②點(diǎn)在正半軸上，如圖3，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，方法同①即可得出答案；
（3）如圖4，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于交軸于，在軸負(fù)半軸上截取，過(guò)點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于，先證明，再求出，再利用待定系數(shù)法得出直線解析式，得出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理求出，再由求出，最后再應(yīng)用等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理即可得出答案．
【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸于，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
等腰，，，
又軸，軸軸，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，，
，
，
直線的解析式為，
與軸交點(diǎn)，
；
（2）存在符合條件的點(diǎn)．理由如下：
①點(diǎn)在負(fù)半軸上，如圖2，
過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，，
，
解得：，
直線的解析式為，
，；
②點(diǎn)在正半軸上，如圖3，
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，，
，
解得：，
直線的解析式為，
，；
綜上所述，，或，；
（3）如圖4，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于交軸于，
在軸負(fù)半軸上截取，過(guò)點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于，
則，
，，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
設(shè)直線解析式為，
，，
，
解得：，
直線解析式為，
令，得，
解得：，
，，
，
在中，，
設(shè)，則，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
解得：（舍去），，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)和判定，勾股定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用面積法解決問(wèn)題，屬于壓軸題．
26. 給出如下定義：線段上有兩個(gè)點(diǎn)M和點(diǎn)N，如果，，邊的三角形是直角三角形則稱(chēng)點(diǎn)M，點(diǎn)N為線段的勾股點(diǎn)，
（1）如圖，，，點(diǎn)M，點(diǎn)N為的勾股點(diǎn)，則；
（2）如圖2，點(diǎn)M，點(diǎn)N為等腰斜邊的勾股點(diǎn)，連接，，求的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)A垂直于的直線與過(guò)點(diǎn)B垂直于的直線相交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)，分別與，相交于點(diǎn)F和點(diǎn)E，且，，求線段的長(zhǎng)．
【答案】（1）5或
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）分是斜邊，是直角邊兩種情況討論，利用勾股定理計(jì)算即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)A作，且，，由題意得，得到，證明和，據(jù)此可求解；
（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，證明，推出是等腰直角三角形，求得，，同理是等腰直角三角形，求得，，再作于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)是斜邊時(shí)，，
當(dāng)是直角邊時(shí)，，
故答案為：5或；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作，且，

∴，
∵等腰，
∴，，
∵點(diǎn)M，點(diǎn)N為等腰斜邊的勾股點(diǎn)，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，
由題意得，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由（2）得，
∴是的垂直平分線，
∴點(diǎn)是、、三線的交點(diǎn)，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
連接，作于點(diǎn)，
同理等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．

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