題型一：?jiǎn)栴}（系數(shù)為1）
題型二：?jiǎn)栴}（系數(shù)不為1）
題型三：?jiǎn)栴}
題型四：?jiǎn)栴}
題型五：?jiǎn)栴}
題型六：?jiǎn)栴}
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
（1）平面向量共線定理
已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然。
（2）等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；
②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；
③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；
④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時(shí)，；
⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；
【典型例題】
題型一：?jiǎn)栴}（系數(shù)為1）
【例1】在中，M為BC邊上任意一點(diǎn)，N為線段AM上任意一點(diǎn)，若（，），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2024·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，為邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，若，則的值為
A．B．C．1D．4
【變式1-2】（2024·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（ ）
A．B．C．D．
題型二：?jiǎn)栴}（系數(shù)不為1）
【例2】（2024·山東濰坊·高一統(tǒng)考期中）已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【變式2-1】（2024·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．2C．D．1
【變式2-2】（2024·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰谏刃沃校?，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
題型三：?jiǎn)栴}
【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如圖,，點(diǎn)在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng),且.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式3-1】（2024·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)P在由線段AB，AC的延長(zhǎng)線及線段BC圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），則下列說法中正確的是 ．（填寫所有正確說法的序號(hào)）
①存在點(diǎn)P，使得；
②存在點(diǎn)P，使得；
③存在點(diǎn)P，使得；
④存在點(diǎn)P，使得．
【變式3-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知△ABC中，，若點(diǎn)P為四邊形AEDF內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)且，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 .
題型四：?jiǎn)栴}
【例4】（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，若的最小值為，則正數(shù)的值為
【變式4-1】（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，其中且，若的最小值為 .
【變式4-2】（2024·廣東惠州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、，且，，其中且，若的最小值為3，則正數(shù)的值為( )
A．2B．3C．D．
題型五：?jiǎn)栴}
【例5】（2024·山西·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在線段(不含端點(diǎn)，)上移動(dòng)，若，則 .
【變式5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┰谥校c(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【變式5-2】（2024·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則 ，的最小值為 .
題型六：?jiǎn)栴}
【例6】（2024·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在射線（不含點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則 的 取值范圍為 ．
【變式6-1】（2024·福建福州·高三校考期末）在△ABC中，點(diǎn)D滿足BD＝BC，當(dāng)E點(diǎn)在線段AD上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值是( )
A．B．C．D．
【變式6-2】（2024·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
2．（2024·四川成都·高三階段練習(xí)）在中，為邊上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則的值為
A．B．C．D．
3．（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）如圖，在中，為線段上異于，的任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則( )
A．B．C．D．
4．（2024·山東日照·高三山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)P在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且，則實(shí)數(shù)對(duì)可以是（ ）

A．B．C．D．
二、填空題
5．（2024·福建三明·高二三明一中?？奸_學(xué)考試）如圖，在扇形中，，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是 .
6．（2024·江西上饒·統(tǒng)考三模）在扇形中，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若，則的取值范圍是 .
7．（2024·江西南昌·統(tǒng)考二模）如圖,在扇形OAB中,,C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若，則的取值范圍是 ．
8．（2024·四川綿陽·高一統(tǒng)考期中）在扇形中，，為弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是 ．
9．（2024·吉林·高一階段練習(xí)）如圖，在中，分別為上的點(diǎn)，且，，.設(shè)為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)不在邊界上），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，經(jīng)過的重心G的直線與分別交于點(diǎn)，，設(shè)，，則的值為 ．
11．（2024·山東濰坊·高三開學(xué)考試）在中，點(diǎn)D滿足，當(dāng)點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值為 ．
12．（2024·重慶萬州·高一萬州外國(guó)語學(xué)校天子湖校區(qū)校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則的取值范圍是 ．
13．（2024·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）半徑為1的扇形的圓心角為，點(diǎn)在弧上，，若，則 .
14．（2024·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，半徑為1的扇形AOB的圓心角為，點(diǎn)C在AB上，且，若，則 ．
三、解答題
15．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）小郭是一位熱愛臨睡前探究數(shù)學(xué)問題的同學(xué)，在學(xué)習(xí)向量三點(diǎn)共線定理時(shí)，我們知道當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，且時(shí)，x+y=1（如圖1)第二天，小郭提出了如下三個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)幫助小郭解答.

（1）當(dāng)x+y>1或x+y

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