注意事項：
1、答卷時，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡指定位置上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 樣本數(shù)據(jù)11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位數(shù)為（ ）
A. 20B. 21C. 22D. 23.5
【答案】C
【解析】
【分析】由百分位數(shù)的定義計算即可.
【詳解】樣本數(shù)據(jù)11，12，13，16，20，22，25，27，36共9個數(shù)字，
所以，所以分位數(shù)為從小到大排列的第個數(shù)，即為.
故選：C.
2. 在研究集合時，用來表示有限集合A中元素的個數(shù)．集合，，若，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，確定，從而求出的值.
【詳解】由題：
所以，
故選：A.
3. 已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)公式求出，結(jié)合焦點位置即可得漸近線方程.
【詳解】由題知，，解得，
又雙曲線的焦點在x軸上，所以漸近線方程為.
故選：D
4. 已知正項等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，則=（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由等差中項的性質(zhì)可得，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得出答案.
【詳解】因為，，成等差數(shù)列，
所以，因為是正項等比數(shù)列，且，
，所以，解得：或（舍去），
所以.
故選：A.
5. 已知拋物線C：的焦點為F，斜率為的直線過點F，且與C在第一象限的交點為A，若，則p=（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】過點A作x軸的垂線，垂足為H，利用斜率求出點A的坐標(biāo)，然后代入拋物線方程即可得解.
【詳解】過點A作x軸的垂線，垂足為H，
因為直線AF的斜率為，所以，
則，
所以，點A坐標(biāo)為，代入得，
整理得，解得或（舍去）.
故選：B

6. 在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點，若平面與平面的交線為l，則l與直線所成角的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用線面平行判定定理和性質(zhì)定理可證，再由直線平行的傳遞性可得，可知即為所求，可得答案.
【詳解】因為E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
又平面平面，，所以，
又，所以，所以l與直線所成角的大小等于.
故選：C

7. 已知向量a，b滿足，，且對，，則=（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】對兩邊平方，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以，
因為對，，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
8. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，求導(dǎo)可證明，進(jìn)而可得，可判斷，令，求導(dǎo)可證，令，可判得.
【詳解】令，可得，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，所以，
所以，所以，
令，求導(dǎo)可得，
當(dāng)，，所以單調(diào)遞減，所以，
即，所以，
令，可得，即，
所以.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 是純虛數(shù)
B. 對任意的復(fù)數(shù)z，
C. 對任意的復(fù)數(shù)z，為實數(shù)
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)復(fù)數(shù)運算化簡后，結(jié)合純虛數(shù)概念可判斷；對于B，設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算和復(fù)數(shù)模公式計算即可判斷；對于C，設(shè)出復(fù)數(shù)z，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)乘法運算即可判斷；對于D，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算與和差公式化簡即可判斷.
【詳解】對于A，是純虛數(shù)，A正確；
對于B，對任意復(fù)數(shù)，
，，
所以和不一定相等，B錯誤；
對于C，設(shè)，則，
則，C正確；
對于D，
，D錯誤.
故選：AC
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 在上單調(diào)遞減
B. 將圖象上的所有點向左平移個單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱
C. 在上有兩個零點
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由可知的圖象關(guān)于對稱，可判斷AB；整體代入法求出函數(shù)零點即可判斷C；求出，結(jié)合周期可判斷D.
【詳解】對于A，因為，
所以的圖象關(guān)于對稱，所以在上不單調(diào)，A錯誤；
對于B，由上知，的圖象關(guān)于對稱，
所以的圖象向左平移個單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱，B正確；
對于C，由得函數(shù)的零點為，
令，解得，
所以，即在上有兩個零點，C正確；
對于D，因為，
，，
所以
因為的最小值周期，
所以，D正確.
故選：BCD
11. 數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓任意兩條互相垂直的切線的交點都在以原點O為圓心，為半徑的圓上，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：可以與邊長為的正方形的四條邊均相切，它的左、右頂點分別為A，B，則（ ）
A.
B. 若矩形的四條邊均與橢圓C相切，則該矩形面積的最大值為12
C. 橢圓C的蒙日圓上存在兩個點M滿足
D. 若橢圓C的切線與C的蒙日圓交于E，F(xiàn)兩點，且直線OE，OF的斜率都存在，記為，，則為定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項，邊長為的正方形為的蒙日圓的內(nèi)接正方形，從而得到方程，求出；B選項，設(shè)矩形的長為，寬為，根據(jù)蒙日圓方程得到，由基本不等式求出面積的最大值；C選項，設(shè)，根據(jù)得到方程，得到，故C正確；D選項，設(shè)切點為，故，橢圓C的切線方程為，聯(lián)立與，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，，故.
【詳解】A選項，由題意得邊長為的正方形為的蒙日圓的內(nèi)接正方形，
故，解得，，A正確；
B選項，若矩形的四條邊均與橢圓C相切，則該矩形為的蒙日圓的內(nèi)接矩形，
其中蒙日圓的半徑為，
設(shè)矩形的長為，寬為，故，
故矩形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故該矩形面積的最大值為24，B錯誤；
C選項，由題意得，蒙日圓方程為，
設(shè)，
故，
，
由得，
故，解得，
顯然點可能在第一象限或第四象限，C正確；
D選項，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：
當(dāng)時，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，
代入橢圓方程得：，
由，化簡得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
則橢圓的切線斜率為，切線方程為，
整理得到，
其中，故，即，
當(dāng)時，此時或，
當(dāng)時，切線方程為，滿足，
當(dāng)時，切線方程為，滿足，
綜上：橢圓在處的切線方程為；
設(shè)切點，故，
則橢圓C的切線方程為，
聯(lián)立與得，
設(shè)，
則，，
將代入得，，
，
故，為定值，D正確.
故選：ACD
【點睛】過圓上一點的切線方程為：，
過圓外一點的切點弦方程為：.
過橢圓上一點的切線方程為，
過雙曲線上一點的切線方程為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）
【答案】35
【解析】
【分析】化簡通項，根據(jù)x的指數(shù)等于13求出r，然后可得所求系數(shù).
【詳解】，
令，解得，所以的系數(shù)為.
故答案為：35
13. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則=______．
【答案】
【解析】
【分析】在中，由余弦定理可得，結(jié)合已知求得，再由正弦定理可求得.
【詳解】在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
因為，所以，所以
解得，
由，可得，
在中，由正弦定理可得，
所以.
故答案為：.
14. 已知圓錐的頂點與底面圓周都在半徑為3的球面上，當(dāng)該圓錐的側(cè)面積最大時，它的體積為______．
【答案】##
【解析】
【分析】將圓錐側(cè)面積用圓錐底面半徑與母線長的表達(dá)式表示出來，再利用外接球半徑為3，建立圓錐底面半徑與母線長的關(guān)系，從而將圓錐側(cè)面積表示為母線長函數(shù)，利用換元，導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)取最大值時的母線長，底面半徑長，從而求出此時的圓錐體積.
【詳解】
如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為C，底面圓周與頂點均在球心為O的球面上，
，記
則圓錐側(cè)面積為，
若相同時，較大才能取得最大值，由截面圓的對稱性知，圓錐側(cè)面積最大時兩點位于球心兩側(cè)，
此時，
，而,又，
故
令，
，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，最大，圓錐側(cè)面積最大，此時，
此時圓錐體積，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 市場供應(yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率為90%，乙廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率為65%．現(xiàn)有某質(zhì)檢部門對該商品進(jìn)行質(zhì)量檢測．
（1）若質(zhì)檢部門在該市場中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測，求抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率；
（2）若質(zhì)檢部門在該市場中隨機(jī)抽取4件該商品進(jìn)行檢測，設(shè)抽到的產(chǎn)品中能達(dá)到優(yōu)秀等級的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2）的分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）記該事件為事件，利用，求解即可；
（2）由（1）可知，根據(jù)二項分布的概率公式可求分布列與數(shù)學(xué)期望.
【小問1詳解】
記質(zhì)檢部門在該市場中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測，求抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級為事件，
則，
【小問2詳解】
由（1）可知每件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率均為，故，
，
所以，，
，，
，
的分布列為：
.
16. 如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，為等邊三角形，，，，，M為的中點．

（1）證明：⊥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)中點為O，證明平面，從而得，結(jié)合，即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【小問1詳解】
設(shè)中點為O，連接，為等邊三角形，故，
由題意知平面⊥平面，平面平面，
平面，故平面，平面，
故，又，平面，
故平面，平面，故，
又M為的中點，為等邊三角形，則,
平面，
所以⊥平面；
【小問2詳解】
由（1）知平面，平面，故，
連接，，則，
即四邊形為平行四邊形，故，
故以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
，
設(shè)平面的一個法向量為，則,
即，令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
17. 已知函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）證明：．
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系，即可求得答案；
（2）根據(jù)要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特點，設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合其最值，即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意得定義域為，
則，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)時，令，則，令，則，
即上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故為函數(shù)的極大值點，函數(shù)極大值為，無極小值；
【小問2詳解】
證明：設(shè)，
，令，
則，即在上單調(diào)遞增，
，
故，使得，即，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
故
即，即，則.
18. 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：過點，且與x軸的兩個交點為A，B，．
（1）求C方程；
（2）已知直線l與C相切．
（i）若l與直線的交點為M，證明：；
（ii）若l與過原點O的直線相交于點P，且l與直線OP所成角的大小為45°，求點P的軌跡方程．
【答案】（1）
（2）證明詳見解析；或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意直接求參數(shù)即可；
（2）（i）通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得直線l的方程，進(jìn)而找到交點M的坐標(biāo)，并求出OM的斜率，通過斜率之積為-1證得垂直；
（ii）設(shè)P的坐標(biāo)為，通過向量的夾角公式得到等量關(guān)系進(jìn)行化簡，進(jìn)而用x，y表示m，分類討論代入，即可求得點P的軌跡方程.
【小問1詳解】
因為曲線C：過點，所以，
由，可得，
因為，所以，解得，
所以曲線C的方程為.
【小問2詳解】
（i）
設(shè)直線l與C相切的切點為 ，
因為，所以，
則直線l的方程為，
即，
所以，
由題意可知，所以 ，
可得，所以；
（ii）設(shè)P的坐標(biāo)為，則，
因為l與直線OP所成角的大小為，且l的一個方向向量為 ，
所以，
可得，
即，
所以或，
當(dāng)時，，
因，所以，
可得，
即，
因為，所以，
當(dāng)時，，
因為，同理，
所以點P的軌跡方程為或.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求動點的軌跡方程，關(guān)鍵在于設(shè)出動點坐標(biāo)，通過題意中的夾角，用向量的夾角公式表示出動點橫縱坐標(biāo)之間的等量關(guān)系.
19. 設(shè)，y是不超過x的最大整數(shù)，且記，當(dāng)時，的位數(shù)記為例如：，，．
（1）當(dāng)時，記由函數(shù)的圖象，直線，以及x軸圍成的平面圖形的面積為，求，及；
（2）是否存在正數(shù)M，對，，若存在，請確定一個M的值，若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)，時，證明：．
【答案】（1），，；
（2）存在，可取，理由見詳解；
（3）證明見詳解.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義可得當(dāng)時，，然后可得；
（2）令，解可得，取即可；
（3）取，可得，，然后可證.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
由，，以及x軸圍成的平面圖形的面積為；
當(dāng)時，，
由，，以及x軸圍成的平面圖形的面積為；
當(dāng)時，，
表示，，以及x軸圍成的平面圖形的面積，
所以，記，
則①，
所以②，
由①-②得
，
所以，即.
【小問2詳解】
存在.
記，易知在定義域上單調(diào)遞增，
令，則，
取，對都有，即，
所以.
所以，存在，對，.
【小問3詳解】
當(dāng)時，
，，
此時，
所以；
，，
所以
，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于對x的范圍分段討論，判斷和的范圍，進(jìn)而可得和的值，然后可證.

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