2023年山東省威海市高考數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  已知全集，集合滿足，則(    )A.  B.  C.  D. 2.  若復(fù)數(shù)滿足，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，則(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知，，則(    )A.  B.  C.  D. 5.  云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來(lái)，我國(guó)云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)增長(zhǎng)已知某科技公司年至年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場(chǎng)規(guī)模單位：千萬(wàn)元與年份代碼的關(guān)系可以用模型其中擬合，設(shè)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表： 年份年年年年年由上表可得回歸方程，則的值約為(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知直線過(guò)定點(diǎn)，線段是圓的直徑，則(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知等邊三角形為圓錐的軸截面，為圓錐的底面直徑，，分別是，的中點(diǎn)，過(guò)且與平面垂直的平面記為，若點(diǎn)到平面的距離為，則該圓錐的側(cè)面積為(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函數(shù)，，若總存在兩條不同的直線與曲線，均相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.  以下說(shuō)法正確的是(    )A. 將封不同的信全部投入個(gè)郵筒，共有種不同的投法
B. 將本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和本不同的物理書(shū)排成一排，且物理書(shū)不相鄰的排法有種
C. 若隨機(jī)變量，且，則
D. 若隨機(jī)變量，則10.  將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則(    )A.
B. 在上單調(diào)遞減
C. 在上有個(gè)極值點(diǎn)
D. 直線是曲線的切線11.  已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)任意，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列若數(shù)列是“”數(shù)列，且，則(    )A.  B. 為等比數(shù)列
C. 的前項(xiàng)和為 D. 為等差數(shù)列12.  已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若，則(    )A. 的離心率為 B. 的漸近線方程為
C. 到直線的距離為 D. 以實(shí)軸為直徑的圓與相切三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知向量，，，若，則 ______ ．14.  若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) ______ ．15.  已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則與的面積之比為______ ．16.  在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)滿足，其中，當(dāng)直線平面時(shí)，的軌跡被以為球心，為半徑的球面截得的長(zhǎng)度為，則 ______ ；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)，，的平面與棱交于點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值的取值范圍為______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
已知偶函數(shù)的部分圖象如圖所示，，，為該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，且為圖象的一個(gè)最高點(diǎn)．
證明：；
若，，，求的解析式．
18.  本小題分
如圖，在四棱臺(tái)中，平面，下底面是菱形，，，．
求四棱錐的體積；
求平面與平面所成角的余弦值．
19.  本小題分
已知個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，其中第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，設(shè)．
證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20.  本小題分
乒乓球被稱為中國(guó)的“國(guó)球”世紀(jì)年代以來(lái)，中國(guó)乒乓球選手取得世界乒乓球比賽的大部分冠軍，甚至多次包攬整個(gè)賽事的所有冠軍乒乓球比賽每局采用分制，每贏一球得分，一局比賽開(kāi)始后，先由一方發(fā)球，再由另一方發(fā)球，依次每球交換發(fā)球權(quán)，若其中一方先得分且至少領(lǐng)先分即為勝方，該局比賽結(jié)束；若雙方比分打成：平后，發(fā)球權(quán)的次序仍然不變，但實(shí)行每球交換發(fā)球權(quán)，先連續(xù)多得分的一方為勝方，該局比賽結(jié)束現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，已知某局比賽甲先發(fā)球．
求該局比賽中，打完前個(gè)球時(shí)甲得分的概率；
求該局比賽結(jié)束時(shí)，雙方比分打成：且甲獲勝的概率；
若在該局雙方比分打成：平后，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束，求事件“”的概率．21.  本小題分
已知橢圓：的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為的等邊三角形．
求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
已知直線的傾斜角為銳角，分別與軸、軸相交于點(diǎn)，，與相交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與的一個(gè)交點(diǎn)為．
證明：直線與的斜率之比為定值；
當(dāng)直線的傾斜角最小時(shí)，求的方程．22.  本小題分
已知函數(shù)．
討論的單調(diào)性；
證明：方程在上有且只有一個(gè)解；
設(shè)點(diǎn)，，，若對(duì)任意，，都有經(jīng)過(guò)，的直線斜率大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，且，
所以或，
所以，，，．
故選：．
根據(jù)補(bǔ)集的定義求出集合，再判斷即可．
本題考查補(bǔ)集的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，所以，
所以．
故選：．
根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再計(jì)算模即可．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以
．
故選：．
利用誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計(jì)算可得．
本題主要考查了誘導(dǎo)公式及二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，所以，
又，
所以．
故選：．
根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得．
本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：由題意可得，，
將代入可得，
且，所以，
又因?yàn)?/span>，即，所以．
故選：．
據(jù)題意，由回歸方程過(guò)點(diǎn)，可得，再由即可求得．
本題考查線性回歸方程的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，這是線性回歸方程中最常考的知識(shí)點(diǎn)．屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：直線可化為：，
由解得，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，
圓的圓心為，半徑為，
所以，
所以．
故選：．
求出定點(diǎn)，圓心及半徑，利用向量的運(yùn)算可得，即可求值．
本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：如圖，作于點(diǎn)，

因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面，
所以平面，，點(diǎn)，為，的中點(diǎn)，則，
且為等邊三角形，則，所以，
所以底面半徑，母線，
則該圓錐的側(cè)面積．
故選：．
首先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，作出點(diǎn)到平面的距離，再結(jié)合圖形，求出底面半徑和母線，即可求解．
本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，以及圓錐的側(cè)面積公式，屬于中檔題．
 8.【答案】 【解析】解：設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且，函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且，
又，，則公切線的斜率，則，所以，
則公切線方程為，即，
代入得，則，
整理得，
若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，
設(shè)，則，
令得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值即最大值，即，
由可得，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：．
設(shè)函數(shù)，的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，，即該方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則設(shè)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性與取值情況，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：對(duì)于：第封信可以投入個(gè)信箱中的任意一個(gè)，有種投法；
同理，第，，封信各有種投法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種投法．故A錯(cuò)誤；
對(duì)于：先排本不同的數(shù)學(xué)書(shū)有種排法，再將本不同的物理書(shū)插空有種排法，
所以共有種不同的排法，故B正確；
對(duì)于：因?yàn)?/span>，且，
所以，故C正確；
對(duì)于：因?yàn)?/span>，所以，
所以，故D錯(cuò)誤；
故選：．
按照分步乘法計(jì)數(shù)原理判斷，利用插空法判斷，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求出，再根據(jù)方差的性質(zhì)判斷．
本題考查排列組合以及正態(tài)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故B正確；
當(dāng)時(shí)，
令或或，
解得或或，所以在上有個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；
設(shè)切點(diǎn)為，，
則，且，
因?yàn)?/span>，所以，
又，符合題意，即直線是曲線的切線，故D正確．
故選：．
根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷、、，設(shè)切點(diǎn)為，求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到方程組，解得即可判斷．
本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：由條件可知，，，
則，
兩邊平方后，整理為，即，
得或，
若，則，則，這與矛盾，所以不成立，
若，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，故A正確；
由可得，兩式相減得，
，并且時(shí)，，即，得，
那么，所以不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則


，
當(dāng)時(shí)，成立，故，故C正確；
，，，，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤．
故選：．
首先理解題意得，再變形得到數(shù)列和的通項(xiàng)公式，即可判斷．
本題主要考查數(shù)列的求和，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 12.【答案】 【解析】解：由雙曲線方程可知，，
設(shè)，則，那么，，
作軸，垂足為點(diǎn)，設(shè)，，則，
所以，，
兩式解得：，即，，
中，根據(jù)余弦定理，
可得，
，得，
所以雙曲線的離心率，故A正確；
，所以雙曲線的漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；
直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，
得，解得：，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，到直線的距離為，故C正確；
以實(shí)軸為直徑的圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，
原點(diǎn)到直線的距離，故D正確．
故選：．
首先根據(jù)圖形，結(jié)合三角函數(shù)，求得和，再根據(jù)余弦定理求，即可求得雙曲線方程，判斷；再利用方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷；并根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，即可判斷．
本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：由題意知，，
因?yàn)?/span>，
所以，解得，
即的值為．
故答案為：．
根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即可求解．
本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

，
函數(shù)是奇函數(shù)，
則，
即，得．
故答案為：．
根據(jù)奇函數(shù)的定義，化簡(jiǎn)求值．
本題主要考查函數(shù)奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)?/span>，
所以，即，則，解得，不妨取，
則直線的方程為，即，
由，解得，所以，
又直線的方程為，令，可得，所以，
所以．
故答案為：．
首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，根據(jù)及焦半徑公式求出，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線的方程，再聯(lián)立方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出的方程即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)面積公式計(jì)算可得．
本題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 16.【答案】   【解析】解：滿足，其中，．
在正方形內(nèi)，
平面平面，
當(dāng)直線平面時(shí)，的軌跡是線段，
以為球心，為半徑的球面截得的長(zhǎng)度為，
，其中，
正方體的棱長(zhǎng)為，，，
則，
，，則球半徑．
在正方體中，平面，
若時(shí)，則的軌跡是線段，
過(guò)作，則平面，連接，則是在平面上的射影，
則是直線與平面所成的角，
則，
當(dāng)時(shí)，最小為，此時(shí)最大為，
當(dāng)時(shí)，最大為，此時(shí)最小為
即，
即的取值范圍是，
故答案為：，．
根據(jù)滿足，得到在正方形內(nèi)，然后根據(jù)球的性質(zhì)得，利用球的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，確定的軌跡是線段，利用線面角的定義進(jìn)行求解即可．
本題主要考查空間線面角的求解，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，確定的位置，利用線面角的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
 17.【答案】證明：在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，又，
所以．
解：因?yàn)?/span>，，，且，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，解得，
在中，
又，則，所以，
則，
所以，則，
，
所以，
所以． 【解析】在、中分別利用正弦定理可得，再結(jié)合即可證明；
依題意求出，即可得到，利用余弦定理求出，即可求出周期，從而求出，利用勾股定理求出，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)即可求出，再根據(jù)函數(shù)圖象及偶函數(shù)求出，即可得解．
本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：是菱形，，
又平面，，平面，
，，又，，平面，
平面，
在四棱臺(tái)中，四邊形為直角梯形，
在菱形中，，是正三角形，，，
梯形的面積，
顯然四棱錐的高，即為正邊上的高，
四棱錐的體積；
在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，由知，，兩兩垂直，
故以，，的方向分別為，，軸的正方向，建系如圖，

則，
，
設(shè)平面的法向量，
則，取，
設(shè)平面的法向量，
則，取，
平面與平面所成角的余弦值為：
，． 【解析】根據(jù)給定條件，結(jié)合棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征證明平面，四邊形為直角梯形，再求出體積作答．
由的信息，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答．
本題考查四棱錐的體積的求解，向量法求解面面角問(wèn)題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 19.【答案】解：由題意可得：，且，可得，
所以，可得，
則，
所以數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列．
由可得，
則，
整理得，
則


，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和． 【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)分析可得，再結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；
根據(jù)兩角差的正切公式整理得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解．
本題主要考查等差數(shù)列的證明，數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 20.【答案】解：若打完前個(gè)球時(shí)甲得分，則甲失一球，這球有可能是甲發(fā)球也可能是乙發(fā)球，
所以打完前個(gè)球時(shí)甲得分的概率．
若雙方比分打成：且甲獲勝，
則甲失一球，這球有可能是甲發(fā)球也可能是乙發(fā)球，且乙最后一次發(fā)球甲勝，
雙方比分打成：且甲獲勝的概率．
由題意可得：若，則或，
可得；
；
所以． 【解析】根據(jù)互斥事件的并事件的概率加法公式，獨(dú)立事件的積事件的概率乘法公式，即可求解；
根據(jù)互斥事件的并事件的概率加法公式，獨(dú)立事件的積事件的概率乘法公式，即可求解；
由題意可得：或，再結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解．
本題考查獨(dú)立事件的積事件的概率的求解，屬中檔題．
 21.【答案】解：因?yàn)?/span>，所以構(gòu)成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，
則，，所以，，
所以橢圓方程為；
設(shè)直線的方程為，則，，
因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，
所以，所以，所以直線與的斜率之比為定值；
由可知直線的方程為，設(shè)，，
由，可得，
所以，所以，
同理可得，所以，
所以直線的斜率，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，直線的斜率最小，此時(shí)，直線的傾斜角最小，且，
因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，解得，即，
所以的方程為． 【解析】依題意可得，，即可求出，，從而得解；
設(shè)直線的方程為，則，，從而求出、，再根據(jù)斜率公式計(jì)算可得；
由可知直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立與橢圓方程，即可求出，同理可得，即可表示出，利用基本不等式求出的最小值，即可得到的值，再由點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，即可得解．
本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
 22.【答案】解：因?yàn)?/span>定義域?yàn)?/span>，
且，
所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
證明：由化簡(jiǎn)得，
令，
要證方程在上有且只有一個(gè)解，
即證方程在上有且只有一個(gè)解，
又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，
所以在上不存在滿足，
又，，所以有且只有一個(gè)，滿足，
所以在上有且只有一個(gè)解．
設(shè)，則，
由題意可知，可得，
即，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，又，
所以在上恒成立，
令，則，，解得，
，令，則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，，
當(dāng)時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，則，而，
所以存在唯一的，滿足，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，滿足題意，
綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是 【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解；
將化簡(jiǎn)得，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上有且只有一個(gè)解，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；
設(shè)，由題意可知，則，令，則，即在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，多次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得解．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．
 

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