山東省泰安市2024屆高三下學(xué)期高考模擬（三模）數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼、考場號、座位號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在革稿紙、試卷上答題無效.
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.
5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由倍角公式可得，根據(jù)題意結(jié)合齊次式問題分析求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：A.
2. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可求得的值，結(jié)合計算即可.
【詳解】由題意得，函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域為，
由奇函數(shù)性質(zhì)得，，解得，經(jīng)過檢驗符合題意，
所以當(dāng)時，，
所以.
故選：D.
3. 已知圓臺的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出圓臺的軸截面，利用其周長和兩底面圓半徑的關(guān)系列方程，求出，代入公式，即可求得圓臺的表面積.
【詳解】
如圖，作出圓臺的軸截面,設(shè)上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，
故軸截面周長為，解得，
所以上、下底面圓的面積分別為，，圓臺側(cè)面積，
所以圓臺的表面積為.
故選:C.
4. 已知為等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得，得到和，進而求得答案.
【詳解】設(shè)的公差為，因為，，
可得，解得，所以，
可得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，取得的最小值.
故選：D.
5. 已知為雙曲線（，）的右焦點，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標(biāo)原點，是面積為4的直角三角形，則的方程為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的對稱性求出漸近線方程，再結(jié)合給定面積計算得解.
【詳解】由為直角三角形，及雙曲線的對稱性知，且，
則的漸近線方程為，即，由的面積為4，得，解得，
又，因此，
所以的方程為.
故選：B
6. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，且，延長至點，使得，若，則（）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理求得，再由余弦定理，得到，求得，再中，由余弦定理，列出方程，即可求解.
【詳解】因為，可得，
由正弦定理得，即，
所以，又因為，所以，
如圖所示，由，且，，
在中，由余弦定理得，
解得或（負值舍去）.
故選：C.
7. 盒中有4個大小相同的小球，其中2個紅球、2個白球，第一次在盒中隨機摸出2個小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機摸出2個小球，記下顏色后放回.設(shè)事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個球中有白球”，則（）
A. 與相互獨立B. 與相互獨立
C. 與相互獨立D. 與相互獨立
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)相互獨立事件的定義依次分析即可.
【詳解】依題意得，，，故A項錯誤；
，，故B項錯誤；
，故C項錯誤；
，，故D項正確.
故選：D.
8. 在三棱錐中，為的中點，且直線與平面所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直角三角形性質(zhì)可得為的外心，結(jié)合球體性質(zhì)可知平面，由等腰三角形性質(zhì)可知的外心在上且，進而可得直線與平面所成角與互余，結(jié)合正弦定理可得，勾股定理可得，進而可得、，結(jié)合球的表面積公式計算即可.
【詳解】如圖，設(shè)球心為，的外接圓圓心為，連接，，
因為為的中點，，所以為的外心，
由為的外心，得三點共線，且.
由題意得平面，面，則，
故直線與平面所成角為的余角，
所以，所以.
在中，由題設(shè)可得，
由正弦定理得，
所以，
所以在Rt中，，
所以球的表面積.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機抽取了100個該配件的質(zhì)量指標(biāo)值（單位：分）作為一個樣本，得到如下所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（）
A.
B. 樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75
C. 樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小于其平均數(shù)
D. 樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85
【答案】ACD
【解析】
【分析】運用頻率分布直方圖中所有頻率之和為1及平均數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)公式計算即可.
詳解】對于A項，由題意知，解得0.030，故A項正確；
對于B項，樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為，故B項錯誤；
對于C項，樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)是，故C項正確；
對于D項，前3組的頻率之和為，前4組的頻率之和為，
故第75百分位數(shù)位于第4組，設(shè)其為，
則，解得，
即第75百分位數(shù)為85，故D項正確.
故選：ACD項.
10. 已知滿足，且在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）
A. B. C. 的最小值為D. 的最小值為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式結(jié)合已知求出的關(guān)系，即可判斷AB；根據(jù)的關(guān)系結(jié)合復(fù)數(shù)的模的公式即可判斷CD.
【詳解】由題意可得，則，
所以，整理得，故A項正確，B項錯誤；
，
當(dāng)時，取得最小值，故C項正確，D項錯誤.
故選：AC.
11. 已知函數(shù)，則（）
A. 若的圖象向右平移個單位長度后與的圖象重合，則的最小值為1
B. 若的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為5
C. 若函數(shù)的最小正周期為，則
D. 當(dāng)時，若的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則方程有無窮多個解
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A，B，根據(jù)圖象平移規(guī)則得到的取值，再由，即可得到的最值；對于C，根據(jù)函數(shù)的最小正周期求解即可；對于D，先求出的解析式，再對方程進行換元化簡，討論即可得到方程解的個數(shù).
【詳解】對于A項，因為，
所以，，即，，又，所以的最小值為8，故A項錯誤；
對于B項，因為，
所以，，即，，又，所以的最小值為，故B項正確.
對于C項，因為函數(shù)的最小正周期是的最小正周期的一半，所以的最小正周期為，所以，解得，故C項正確.
對于D項，當(dāng)時，，所以，方程.
令，則，，當(dāng)時，，即，所以（舍）或（舍）；
當(dāng)時，，即，無解.
綜上，無解，故D項錯誤.
故選：BC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合，，若，則的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】
【分析】求出集合，根據(jù)包含關(guān)系確定范圍即可.
【詳解】由，得，
所以，則或，
由，得，
又，所以，
解得.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)若曲線與直線恰有2個公共點，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由導(dǎo)函數(shù)等求出函數(shù)單調(diào)性和切線方程，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.
【詳解】當(dāng)時，，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，則；
當(dāng)時，，，其在上單調(diào)遞減，且.
作出的圖像，如圖，易知的取值范圍是.
故答案為：
14. 已知拋物線，點在的準(zhǔn)線上，過的焦點的直線與相交于兩點，則的最小值為__________，若為等邊三角形，則__________.
【答案】 ①. 8 ②. 24
【解析】
【分析】設(shè)直線的方程及弦的中點，聯(lián)立直線的方程與拋物線方程可得及坐標(biāo)，結(jié)合拋物線焦點弦公式可得，由等邊三角形性質(zhì)可知，即可設(shè)出直線的方程，結(jié)合點在準(zhǔn)線上可得點坐標(biāo)，再結(jié)合及計算即可.
【詳解】由已知得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，，，弦的中點，如圖所示，
聯(lián)立消去并整理得，
則，，
所以，
所以，，即，
所以.
故當(dāng)時，.
若為等邊三角形，則，如圖所示，
則設(shè)直線的方程為，即，
所以點，
又，
所以，解得，
所以.
故答案為：8；24.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15 已知函數(shù).
（1）討論的最值；
（2）若，且，求的取值范圍.
【答案】（1）最小值為，無最大值.
（2）.
【解析】
【分析】（1）求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求得其最值；
（2）把不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，進而求得的取值范圍.
【小問1詳解】
.解：因為的定義域為，可得.
當(dāng)時，令，可得；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，取得極小值，也是最小值，且最小值為，無最大值.
【小問2詳解】
解：當(dāng)時，由，可得，
整理得，即，
令，
則，
由（1）知，當(dāng)時，的最小值為，即恒成立，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
故當(dāng)時，取得最大值，即，
故的取值范圍為.
【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；
2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
16. 如圖，在四棱錐中，，.
（1）證明：平面平面；
（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面夾角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）通過，證平面，即可證面面平行；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，設(shè)得點坐標(biāo)，并計算平面和平面的法向量，根據(jù)向量垂直確定，再根據(jù)向量的夾角公式計算即可.
【小問1詳解】
證明：因為，，
所以，，
所以，，
又，
所以四邊形為菱形，
所以，，
又，平面，
，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小問2詳解】
由（1）得平面，
因為平面，
所以，
故四邊形為正方形.
不妨設(shè)正方形的邊長為2，
的中點為，連接.
因為為等邊三角形，
所以，
又平面，
又平面平面，
且平面平面，
所以平面.
以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，.
假設(shè)存在點，使得平面與平面夾角的正弦值為，
且，，
由，得，
即，
解得，，，
所以，
所以，，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，
可取.
設(shè)平面的法向量為，
則，
可取，
則，
解得或（舍去），
所以在棱上存在點，使得平面與平面夾角的正弦值為，
且
17. 2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運會.為了普及奧運知識，M大學(xué)舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽
（1）初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進入決賽.已知這6道題中小王能答對其中4道題，記小王在初賽中答對的題目個數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進入決賽的概率；
（2）大學(xué)為鼓勵大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，對進入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎勵.獎勵規(guī)則如下：已進入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元.假定每次抽獎中獎的概率均為，且每次是否中獎相互獨立.
（i）記一名進入決賽的大學(xué)生恰好中獎1次的概率為，求的極大值；
（ii）大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎金的期望值不小于1120元，試求此時的取值范圍.
【答案】（1），
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）6道題中小王能答對4道，答錯2道，結(jié)合超幾何分布計算即可，再結(jié)合條件概率計算即可.
（2）由，運用導(dǎo)數(shù)研究其極大值即可.
（3）分析每名進入決賽的大學(xué)生獲得的獎金的期望，解不等式即可.
【小問1詳解】
由題意知，的可能取值為，
則，
，
，
故的分布列為
則.
記事件：小王已經(jīng)答對一題，事件：小王未進入決賽，
則小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進入決賽的概率.
【小問2詳解】
（i）由題意知，，
則，
令，解得或（舍），
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，有極大值，且的極大值為.
（ii）由題可設(shè)每名進入決賽的大學(xué)生獲得的獎金為隨機變量，
則的可能取值為，
，
，
，
，
所以，
所以，
即，整理得，
經(jīng)觀察可知是方程的根，
故，
因為恒成立，
所以由可得，解得得，
又，所以的取值范圍為.
18. 已知的其中兩個頂點為，點為的重心，邊，上的兩條中線的長度之和為，記點的軌跡為曲線.
（1）求的方程；
（2）過點作斜率存在且不為0的直線與相交于兩點，過原點且與直線垂直的直線與相交于兩點，記四邊形的面積為S，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)重心的性質(zhì)可得重心Q到頂點距離之和為大于的定值，根據(jù)橢圓的定義即可求出曲線C的方程；
（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進行聯(lián)立，進而用弦長公式表示出，再用所設(shè)斜率k表示出M的坐標(biāo)，進而表示出，得到面積S的關(guān)系式，化簡即可得到函數(shù)關(guān)系式，求值域即可.
【小問1詳解】
因為點為的重心，
的邊上的兩條中線長度之和為，
所以，
故由橢圓的定義可知曲線是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點）.
設(shè)分別為該橢圓的長半軸長?短半軸長?半焦距，
所以，所以，
所以的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立整理得，
則，
設(shè)，則，即，
代入橢圓方程得，
所以，則，
所以.
由對稱性知，
又，
所以.
，
又，
所以的取值范圍為，
故的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了橢圓的定義和直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于用所設(shè)直線的斜率表示出求面積所需邊長，進而用斜率表示出面積，最后化簡成函數(shù)形式，求取函數(shù)值域即可。
19. 對于，，不是10的整數(shù)倍，且，則稱為級十全十美數(shù).已知數(shù)列滿足：，，.
（1）若為等比數(shù)列，求；
（2）求在，，，…，中，3級十全十美數(shù)的個數(shù).
【答案】（1）或
（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)的公比為，根據(jù)題意，列出方程組，即可求得的值；
（2）由（1）知，得到，和，兩式相減得，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，兩種情況討論，結(jié)合二項展開式的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
解：設(shè)的公比為，
則，即，
由，可得，解得或，
所以或.
【小問2詳解】
解：由（1）知，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
兩式相減得.
當(dāng)為奇數(shù)時，的個位數(shù)為1或9，的個位數(shù)不可能為0；
當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則，
要想末尾3個數(shù)字為0，需滿足被整除，
當(dāng)時，均不符合題意；
當(dāng)時，，
自，以后各項均可被125整除，
故只需考慮能否被125整除，
其中不是5的倍數(shù)，
故若原式能被整除，需為偶數(shù)且能被整除，即需是50的倍數(shù)，
在1，2，3，…，2024中，50的倍數(shù)有40個：50，100，150，…，2000，
故在，，…，中，3級十全十美數(shù)的個數(shù)為40.
【點睛】方法點睛：與數(shù)列有關(guān)的問題的求解策略：
1、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；
2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.
3、若數(shù)列中涉及到三角函數(shù)有關(guān)問題時，常利用三角函數(shù)的周期性等特征，尋找計算規(guī)律求解；
4、若數(shù)列與向量有關(guān)問題時，應(yīng)根據(jù)條件將向量式轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的代數(shù)式進行求解；
5、若數(shù)列與不等式有關(guān)問題時，一把采用放縮法進行判定證明，有時也可通過構(gòu)造函數(shù)進行證明；
6、若數(shù)列與二項式有關(guān)的問題時，可結(jié)合二項展開式的性質(zhì)，進行變換求解.
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