北京交通大學(xué)附屬中學(xué)第二分校2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．
【詳解】A、被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式是最簡(jiǎn)二次根式，故A符合題意；
B、，被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，故B不符合題意；
C、，被開(kāi)方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故C不符合題意；
D、，被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，故D不符合題意；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．
2. 在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的直線的解析式為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上下平移時(shí)解析式的變化規(guī)律求解．
【詳解】直線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
所得的直線的解析式為
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像的平移，熟悉解析式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
3. 如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為1，，且，以原點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)所表示的數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解，進(jìn)而即可判斷．
【詳解】由已知得，
∵，且，
∴在中，，
∵以原點(diǎn)圓心，為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)，
∴，
∴點(diǎn)所表示的數(shù)為；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出的值，然后根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解．
4. 下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）
A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1，2，3D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
【詳解】解：A、12＋12≠12，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
B、22＋32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
C、1＋2＝3，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；
D、52＋122＝132，能構(gòu)成直角三角形，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
5. 下列圖象中，y是x的函數(shù)的是（）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x是自變量．根據(jù)函數(shù)的意義即可選出答案．
【詳解】解：A、C、D選項(xiàng)中對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y可能會(huì)有兩個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，
只有B選項(xiàng)對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的定義．
故選：B．
【點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)的定義，在定義中特別要注意，對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)．
6. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查解一元二次方程，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．
【詳解】解：，
，即，
故選：B．
7. 甲、乙二人約好同時(shí)出發(fā)，沿同一路線去自貢恐龍博物館參加科普活動(dòng)．下圖是甲、乙二人走的圖象，表示的是行走時(shí)間（單位：分），表示的是與學(xué)校的距離（單位：米），最后兩人都到達(dá)了目的地；根據(jù)圖中提供的信息，下面有四個(gè)推斷：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分鐘；
②甲先到達(dá)目的地；
③甲停留10分鐘之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正確的推斷的序號(hào)是（）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)和圖象的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10分鐘，說(shuō)法正確；
②甲在35分時(shí)到達(dá)，乙在40分時(shí)到達(dá)，所以甲先到達(dá)的目的地，說(shuō)法正確；
③甲在前10分鐘，走了750米，前10分鐘的速度為米/分鐘,甲在停留10分鐘之后走了分鐘，走了米，所以20~35分鐘的速度為米/分鐘，所以甲在停留10分鐘之后減慢了速度，故說(shuō)法錯(cuò)誤；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，說(shuō)法正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了從函數(shù)圖像獲取信息，掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，點(diǎn)A，B，C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)．點(diǎn)為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段，，，的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有下列結(jié)論：
①存在無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；
②存在無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是菱形；
③存在無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是矩形；
④存在無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是正方形．
其中，所有正確的有（）
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)：一般中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，對(duì)角線垂直的中點(diǎn)四邊形是矩形，對(duì)角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形，由此即可判斷．
【詳解】①與不平行時(shí)，中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，故存在無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，所以①正確；
②與相等且不平行時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，故存在無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是菱形，所以②正確；
③與互相垂直（B，D不重合）時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，故存在無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是矩形，所以③正確；
④如圖所示，當(dāng)與相等且互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形，故存在兩個(gè)中點(diǎn)四邊形是正方形，所以④錯(cuò)誤．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)四邊形，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．
9. 函數(shù)中，自變量的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)被開(kāi)方式是非負(fù)數(shù)列式求解即可.
【詳解】解：依題意，得，
解得：，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)有意義時(shí)字母的取值范圍一般從幾個(gè)方面考慮：①當(dāng)函數(shù)解析式是整式時(shí)，字母可取全體實(shí)數(shù)；②當(dāng)函數(shù)解析式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；③當(dāng)函數(shù)解析式是二次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．④對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義．
10. 一元二次方程的根是__________．
【答案】，##，
【解析】
【分析】首先把移至方程左邊，再把方程左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，即可得到答案．
【詳解】解：，
移項(xiàng)得：，
∴，
∴或，
∴，．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，本題運(yùn)用的是因式分解法．結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
11. 平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C，D的位置如圖所示，當(dāng)且時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)中，一定不在一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)為_(kāi)__________．
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可進(jìn)行判斷
【詳解】解：∵且，
∴一次函數(shù)的圖象過(guò)一、三、四象限，
∴點(diǎn)D一定不在一次函數(shù)的圖象上
故答案為：D
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
12. 如果是方程的一個(gè)根，那么代數(shù)式的值為_(kāi)________．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．先把代入方程，得到，再代入代數(shù)式，即可求出答案．
【詳解】解：把代入方程，
得到，
所以，
所以代數(shù)式；
故答案為：5．
13. 如圖，將矩形沿對(duì)角線所在直線折疊，點(diǎn)落在同一平面內(nèi)，落點(diǎn)記為，與交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查翻折變換及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，首先證明，然后根據(jù)勾股定理得到關(guān)于線段、、的方程，解方程即可解決問(wèn)題，結(jié)合全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)，靈活進(jìn)行判斷、分析、推理或解答．
【詳解】解：四邊形為矩形，
，，，
；
由題意得：，
，
設(shè)，則；
；
由勾股定理得：
，
即，
解得：，
．
故答案為：5．
14. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本題考查了根的判別式，根據(jù)方程的根的判別式且計(jì)算即可．
【詳解】∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴且，
解得且，
故答案為：且．
15. 如圖，在中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，且，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)三角形中線定理求出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)D、E分別是、的中點(diǎn)，
是的中線，
，
，
，
在中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，
，
，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線定理和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
16. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，若它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則下列結(jié)論中所有正確的序號(hào)有__________．
①直線與軸所夾銳角等于；②；③關(guān)于的不等式的解集是；④．

【答案】①②④
【解析】
【分析】結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，根據(jù)圖象觀察，得出結(jié)論．本題考查了一次函數(shù)與不等式（組的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（交點(diǎn)、原點(diǎn)等），做到數(shù)形結(jié)合．
【詳解】解：由知：直線與坐標(biāo)軸的截距相等，所以，直線與軸所夾銳角等于，故①的結(jié)論正確；
由圖知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在軸的上方，因此故②的結(jié)論正確；
由圖知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在的圖象下方，因此關(guān)于的不等式的解集是，故③的結(jié)論不正確；
由圖知：，，因此，故④的結(jié)論正確；
答案為：①②④．
三、計(jì)算題：本大題共1小題，共4分．
17. 解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【詳解】解：，
，
或，
或，
故方程的解為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵．
四、解答題：本題共9小題，共48分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
18. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)，乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可，本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式
=．
19. 已知：為銳角三角形，．
求作：菱形．
作法：如圖，
①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；
②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)E，作射線與交于點(diǎn)O；
③以點(diǎn)O為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，與射線交于點(diǎn)D，連接，；
四邊形就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）：
（2）完成下面的證明：
證明：∵平分，
∴__________．
∵，
∴四邊形是平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）．
∵，
∴四邊形是菱形（）（填推理的依據(jù)）．
【答案】（1）圖見(jiàn)解析
（2）OB，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給幾何語(yǔ)言畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形即可；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CO=OB，再根據(jù)平行四邊形和菱形的判定解答即可.
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，菱形ABDC即為所求作；
【小問(wèn)2詳解】
證明：∵，平分，
∴．
∵，
∴四邊形是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．
∵，
∴四邊形是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
故答案為：OB，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
【點(diǎn)睛】本題考查基本尺規(guī)作圖-作角平分線、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定，熟練掌握基本尺規(guī)作圖的方法步驟，熟知平行四邊形的判定和菱形的判定是解答的關(guān)鍵.
20. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的一根為負(fù)數(shù)，求m的取值范圍．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【解析】
【分析】（1）證明一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，根據(jù)判別式來(lái)判斷即可，證明，則方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）用因式分解法求出方程的兩根，，，則，，得出答案．
【詳解】（1）
∴方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）
若方程的一根為負(fù)數(shù)，
則，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；還考查了解一元二次方程的方法，有因式分解法、直接開(kāi)方法、公式法、配方法等．
21. 如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線上，且，連接．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)得，，再證，即可得出結(jié)論，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
詳解】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形．
22. 一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象平行，且過(guò)點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）畫(huà)出一次函數(shù)的圖象；
（3）結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：
①當(dāng)時(shí)，的取值范圍是___________；
②當(dāng)時(shí)，的取值范圍是___________；
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）由一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象平行，可得，由一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)可得即可；
（2）圖象如圖所示：描點(diǎn)（0，2）與（2，-4）連線得圖像如圖；
（3）①先求直線與x軸的交點(diǎn)（，0），當(dāng)時(shí)，直線位于x軸下方，可得；
②先求x=0，；x=2，即可．
【詳解】解：（1）∵一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象平行，
，
又∵一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)．
根據(jù)題意得：，
解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）圖象如圖所示：
取x=0，y=2，描點(diǎn)（0，2）與（2，-4），
連線得圖像如圖，
（3）①當(dāng)時(shí)，=，直線與x軸的交點(diǎn)（，0），
當(dāng)時(shí)，直線位于x軸下方，自變量的取值范圍在交點(diǎn)的右側(cè)，
∴；
故答案為；
②當(dāng)時(shí)，取x=0，，取x=2，，
∴，
故答案．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用圖像求范圍，掌握平行線性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用圖像求范圍是解題關(guān)鍵．
23. 如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，且，連結(jié)，．

（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，結(jié)合已知條件，即可證明四邊形是菱形；
（2）根據(jù)題意可得是等邊三角形，勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
證明：四邊形是菱形，
，，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形．
【小問(wèn)2詳解】
解：四邊形是菱形，
，
，
是等邊三角形，
，
在中，，，
，
，
四邊形是矩形，
，，
在中，，
答：的長(zhǎng)為．
24. 小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究并解決了相關(guān)問(wèn)題，請(qǐng)補(bǔ)全下面的過(guò)程．
（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是___________．
（2）下表是與的幾組對(duì)應(yīng)值：
寫出表中的值；
（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出已補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象；
（4）小明結(jié)合該函數(shù)圖象，解決了以下問(wèn)題：
①對(duì)于圖象上兩點(diǎn)，若，則_________(填“>”，“=”或“

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