數(shù)學(xué)期中練習(xí)
出題人：崔廣平 審題人：何拓程 審核人：金永濤 考試時(shí)間90分鐘
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面向量，且，則（ ）
A. B. C. 1D. 3
3. 下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是CD中點(diǎn)，那么（ ）
A. 4B. 2C. D. 1
5. 已知是非零向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
6. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式為（ ）
A B.
C. D.
7. 若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角和頂點(diǎn)都與原點(diǎn)重合，始邊都與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn).若，則（ ）
A. B. C. D.
9. 已知向量，其中，則的最大值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
10. 一粒子在平面上運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線的一部分，在該平面上建立直角坐標(biāo)系后，該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.在時(shí)刻，粒子從點(diǎn)出發(fā)，沿著軌跡曲線運(yùn)動(dòng)到，再沿著軌跡曲線途經(jīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，之后便沿著軌跡曲線在，兩點(diǎn)之間循環(huán)往復(fù)運(yùn)動(dòng).設(shè)該粒子在時(shí)刻的位置對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則坐標(biāo)，隨時(shí)間變化的圖象可能是（ ）

A.
B.
C.
D.
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分．）
11. 已知向量滿(mǎn)足，則______．
12. 已知，且為第二象限角．則______．
13. 已知，，則______．
14. 若與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的值______．
15. 已知函數(shù)（其中）．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，則是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；
②若，函數(shù)的最小值是；
③若，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
④若，函數(shù)圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
三、解答題
16. 某同學(xué)用五點(diǎn)法作函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)作出函數(shù)的圖象；

（2）將的圖象向右平移（）個(gè)單位，得到的圖象，若的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求的最小值．
17. 已知函數(shù)
（Ⅰ）求的定義域及最小正周期
（Ⅱ）求的單調(diào)遞增區(qū)間．
18. 已知函數(shù)，其中．再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使存在，并完成下列兩個(gè)問(wèn)題．
（1）求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，若曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求取值范圍．
條件①：；
條件②：是的一個(gè)零點(diǎn)；
條件③：．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
19. 對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對(duì)任意，存在使得，則稱(chēng)具有性質(zhì)．
（1）判斷是否具有性質(zhì)；
（2）若，且具有性質(zhì)，求的值；
（3）若具有性質(zhì)，求證：且當(dāng)時(shí)，．0
0
2
0
0
2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)
數(shù)學(xué)期中練習(xí)
出題人：崔廣平 審題人：何拓程 審核人：金永濤 考試時(shí)間90分鐘
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到，從而可求解.
【詳解】由題意可得，故D正確.
故選：D.
2. 已知平面向量，且，則（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由兩向量平行坐標(biāo)間的關(guān)系可求解.
【詳解】由題意知，所以，解得，故A正確.
故選：A.
3. 下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.
【詳解】解：在區(qū)間上，，沒(méi)有單調(diào)性，故排除A.
在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，故排除B.
在區(qū)間上，單調(diào)遞增，且其最小正周期為，故C正確；
根據(jù)函數(shù)以為最小正周期，的周期為，可排除D.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
4. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是CD的中點(diǎn)，那么（ ）
A. 4B. 2C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用化簡(jiǎn)，再結(jié)合數(shù)量積的定義可求該式的值.
詳解】,
因?yàn)?，?
而為的中點(diǎn)，故，故.
故選：B.
5. 已知是非零向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則以及充分條件與必要條件的定義判斷即可.
【詳解】充分性：由題意知，，為非零向量，當(dāng)時(shí)，可得，故充分性滿(mǎn)足；
必要性：當(dāng)時(shí)，即，解得或，故必要性不滿(mǎn)足；
所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確.
故選：A.
6. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由兩相鄰最值點(diǎn)與周期關(guān)系求解，再代入最值點(diǎn)求解.
【詳解】由圖象知，，解得，
將最大值點(diǎn)代入得，，
解得，又，則，即.
故選：A
【點(diǎn)睛】已知函數(shù)圖象，確定其解析式的步驟：
（1）求，，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則.
（2）求，確定函數(shù)的周期T，則.
（3）求，將圖象上的已知點(diǎn)代入解析式，求解時(shí)注意點(diǎn)在上升區(qū)間還是下降區(qū)間. 如果已知圖象上有最值點(diǎn)，最好代入最值點(diǎn)求解.
7. 若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，可得，從而得
【詳解】由題意知在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，解得，
所以實(shí)數(shù)的最小值為，故C正確.
故選：C.
8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)都與原點(diǎn)重合，始邊都與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn).若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意并根據(jù)可得，由三角函數(shù)定義知，然后應(yīng)用差角余弦公式計(jì)算求值即可.
【詳解】由題意，設(shè)，由已知A的坐標(biāo)并結(jié)合三角函數(shù)的定義得，
則.
故選：C
9. 已知向量，其中，則的最大值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先求，然后求解，又由，從而可求解.
【詳解】由題意得，
所以
，
又因?yàn)?，所以?br>所以的最大值為，故B正確.
故選：B.
10. 一粒子在平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線的一部分，在該平面上建立直角坐標(biāo)系后，該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.在時(shí)刻，粒子從點(diǎn)出發(fā)，沿著軌跡曲線運(yùn)動(dòng)到，再沿著軌跡曲線途經(jīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，之后便沿著軌跡曲線在，兩點(diǎn)之間循環(huán)往復(fù)運(yùn)動(dòng).設(shè)該粒子在時(shí)刻的位置對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則坐標(biāo)，隨時(shí)間變化的圖象可能是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡得到周期，進(jìn)而得到和的周期，觀察圖象即可.
【詳解】由題知，粒子從為一個(gè)周期，
對(duì)應(yīng)由為一個(gè)周期，
對(duì)應(yīng)由為兩個(gè)周期，
函數(shù)的周期是函數(shù)的周期的倍.
對(duì)于A，的周期為，的周期為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，的周期為，的周期為，故B正確；
對(duì)于C，的周期為，的周期為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，的周期為，的周期為，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分．）
11. 已知向量滿(mǎn)足，則______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積公式即可求解.
【詳解】由題知，
所以.
故答案為：.
12. 已知，且為第二象限角．則______．
【答案】##
【解析】
【分析】由為第二象限角可求出，再利用正弦函數(shù)二倍角公式即可求解.
【詳解】由題意知且α為第二象限角，所以，
所以.
故答案為：.
13. 已知，，則______．
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合已知條件中的范圍，直接求解即可.
【詳解】因?yàn)?，故可得，或?br>解得或，又，故或.
故答案為：或.
14. 若與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的值______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先由關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)得出關(guān)系式，再由誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】由題意得，，由誘導(dǎo)公式知，
顯然滿(mǎn)足題意，解得
故答案為：（答案不唯一）.
15. 已知函數(shù)（其中）．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，則是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；
②若，函數(shù)的最小值是；
③若，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
④若，函數(shù)圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】當(dāng)，得，從而可對(duì)①②判斷；當(dāng)，，從而可對(duì)③判斷；由圖象向左平移可對(duì)④判斷；
【詳解】對(duì)①②：當(dāng)，，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，故②正確；
當(dāng)時(shí)，，故①正確；
對(duì)③④：當(dāng)，，
當(dāng)，，故③正確；
將圖象向左平移得，故④錯(cuò)誤.
故答案為：①②③.
三、解答題
16. 某同學(xué)用五點(diǎn)法作函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)作出函數(shù)的圖象；

（2）將的圖象向右平移（）個(gè)單位，得到的圖象，若的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求的最小值．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得，再填表以及畫(huà)圖即可；
（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)圖象變換求得的解析式，再根據(jù)其為偶函數(shù)，即可求得的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
易知，，再根據(jù)表格中已知數(shù)據(jù)可知，，故可得；
令，解得；令，解得；令，解得；
故填表如下：
根據(jù)五點(diǎn)作圖法，結(jié)合表格中數(shù)據(jù)，畫(huà)圖如下所示：
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，，根據(jù)題意可得，
由題可知，為偶函數(shù)，故，故可得，
又，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.
17. 已知函數(shù)
（Ⅰ）求的定義域及最小正周期
（Ⅱ）求的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】 單調(diào)遞增區(qū)間為和（）
【考點(diǎn)定位】本題考查三角函數(shù)知識(shí)，此類(lèi)型題在平時(shí)練習(xí)時(shí)練的較多，考生應(yīng)該覺(jué)得非常容易入手．
【解析】
【詳解】（1）只需，∴∴定義域?yàn)?br>∴最小正周期為
（2），
∴，
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和（）
18. 已知函數(shù)，其中．再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使存在，并完成下列兩個(gè)問(wèn)題．
（1）求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，若曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．
條件①：；
條件②：是的一個(gè)零點(diǎn)；
條件③：．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)選擇的條件代入計(jì)算，結(jié)合角的范圍即可利用特殊角的三角函數(shù)值求解，
（2）由和差角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，由整體法即可代入求解.
【小問(wèn)1詳解】
選條件①：無(wú)意義，所以選條件①時(shí)不存在，故不能選①，
選條件②．
由題設(shè)，所以．
因?yàn)椋?所以，所以．
所以．
選條件③，由題設(shè)．整理得．
以下同選條件②．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）
因?yàn)椋?所以．
于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．
又，即時(shí)，．
且當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，所以曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則或
的取值范圍是．
19. 對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對(duì)任意，存在使得，則稱(chēng)具有性質(zhì)．
（1）判斷是否具有性質(zhì)；
（2）若，且具有性質(zhì)，求的值；
（3）若具有性質(zhì)，求證：且當(dāng)時(shí)，．
【答案】（1）具有性質(zhì)
（2）4 （3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)集合新定義判斷即可；
（2）在中取，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出可能的，再根據(jù)求出符合條件的值即可；
（3）取，，由，化簡(jiǎn)可得，所以異號(hào)，而是中的唯一的負(fù)數(shù)，所以中之一為，另一個(gè)為1，從而得到，最后通過(guò)反證法得出時(shí)，.
小問(wèn)1詳解】
具有性質(zhì).
因?yàn)椋?br>所以，
若對(duì)任意，存在使得，
所以具有性質(zhì).
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，且具有性質(zhì)，
所以可取，
又中與垂直的元素必有形式中的一個(gè)，
當(dāng)時(shí)，由，可得，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，可得，符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，可得，不符合題意；
所以.
【小問(wèn)3詳解】
證明：取，設(shè)，滿(mǎn)足，
所以，所以異號(hào)，
因?yàn)槭侵械奈ㄒ坏呢?fù)數(shù)，
所以中之一為，另一個(gè)為1，
所以，
假設(shè)，其中，則，
選取，并設(shè)，滿(mǎn)足，
所以，則異號(hào)，從而之中恰有一個(gè)為，
若，則，顯然矛盾；
若，則，矛盾，
所以當(dāng)時(shí)，，
綜上，得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于理解集合的新定義，并用向量的數(shù)量積為零時(shí)坐標(biāo)表示出所求的參數(shù)值.
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