北京市海淀區(qū)北京理工大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
填空題
3 12. 13. 14. 2 15. ①②④
三、解答題
16．
（1）證明：連接，
∵底面是平行四邊形，且是的中點(diǎn)，
∴是的中點(diǎn)，
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
證明：
∵平面,平面,
∴AB⊥PA,
∵PA⊥AD,AB∩AD=A，AB,AD面ABCD,
∴PA⊥面ABCD,
∵EF//PA,
∴EF⊥面ABCD.
（1）證明：
∵三棱柱是直三棱柱，
∴平面，
∵平面，
∴，
又∵，為中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴．
（2）
方法1：
解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1,
∴,
∵,
∴,
∵，，
∴，
∵，
∴平面．
∵
∴AB⊥BC,
∵，，
∴平面，
連結(jié)，即為直線與平面所成角．
∵，
∴，，
.
∴與平面所成角的正弦值為．
方法2：
解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1,
∴,
∵,
∴,
∵，，
∴，
∵，
∴平面．
∵
∴BC⊥AB,
如圖所示，以B為原點(diǎn)，以BA,BC,BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,
∵A1（2,0,2）C（0,2,0）B（0，0，0），
∴（2，-2,2）（0,2,0），
∵BC⊥面ABB1A1，
∴為平面ABB1A1的一個(gè)法向量，
設(shè)與平面所成角為θ，
∴，
∴與平面所成角的正弦值為．
（3）解：設(shè)A1到平面BEF的距離為d，
∵E（1,1,0），F(xiàn)（0,2,1），A1（2,0,2）,
∴,
設(shè)為平面BEF的一個(gè)法向量，
∴即,
令x=1,則,
,
因此點(diǎn)A1到平面BEF的距離為.
（1）證明：
∵底面是正方形，
∴，
∵平面，平面,
∴平面，
又∵平面與交于點(diǎn)，平面，平面平面
∴.
（2）選條件①②
解：∵側(cè)面為等腰直角三角形，且
∴，,
∵平面平面，平面平面，平面,
∴平面，
∵為正方形，
∴.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸,軸,軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則
∵，
∴,
∴BE=,
∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴,
∴，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，
則，
令，可得，
設(shè)平面的法向量為：，則
，，
令，可得，
所以，
則兩平面所成的銳二面角為.
選條件①③
∵側(cè)面為等腰直角三角形，且
∴
∵，
∴平面，
∵平面，
∴.
又∵，
∴平面
∵平面
∴
∵，
∴為等腰三角形，
∴點(diǎn)為的中點(diǎn)
又∵，
∴為等腰直角三角形，
下面同①②
選條件②③
∵側(cè)面為等腰直角三角形，且，
∴
∵平面平面，平面平面，平面,
∴平面為正方形，
∴.
又∵，
∴平面，
∵平面
∴
∵，
∴為等腰三角形
∴點(diǎn)為的中點(diǎn).
下面同①②.
（1）證明：
∵在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，∴，，BC=DP,
∴是正三角形，四邊形為菱形，
∴，，
∵，
又∵平面ABC,
∴平面ABC,
∵平面,
∴平面⊥平面ABC.
解：
存在.
∵平面，OP⊥AC,
∴，，兩兩互相垂直，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
則，，，，
∴，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，即，令，則，，
，
設(shè)，
∵，，
∴，
設(shè)與平面所成角為，則，
即，，解得，
∴線段上存在點(diǎn)，且，使得與平面所成角的正弦值為.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
C
B
D
A
D
B
D

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