數(shù) 學
注意事項：
1．答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置點好條形碼。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結束后，將本試卷和答題卡交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．如圖，已知集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A．Ｂ． Ｃ．Ｄ．
2．已知點在拋物線的圖象上，為的焦點，則（ ）
A．Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．
3．已知中，，則的面積等于
A．3Ｂ．Ｃ．5Ｄ．
4．某學校邀請五個班的班干部座談，其中班有甲、乙兩位班干部到會，其余班級各有一位班干部到會，會上共選3位班干部進行發(fā)言，則A班至少選到一位班干部的不同的選法種數(shù)為（ ）
A．10Ｂ．12Ｃ．16Ｄ．20
5．已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列說法錯誤的是
A．若，則“”是“”的必要條件
Ｂ．若，則是“”的充分條件
Ｃ．若，則“”是“”的充要條件
Ｄ．若，：“”是“”的既不充分也不必要條件
6．在定點投籃練習中，小明第一次投籃命中的概率為，第二次投籃命中的概率為，若小明在第一次命中的條件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的條件下第二次命中的概率是，則（ ）
A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
7．某藝術吊燈如圖1所示，圖2是其幾何結構圖。底座是邊長為的正方形，垂直于底座且長度為6的四根吊掛線一頭連著底座端點，另一頭都連在球的表面上（底座厚度忽略不計），若該藝術吊燈總高度為14，則球的體積為（ ）
A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
8．函數(shù)在上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且與軸有且僅有一個交點，對任意，則下列說法正確的是（ ）
A．Ｂ．為奇函數(shù)
Ｃ．在單調遞減Ｄ．若，則
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．在一個有限樣本空間中，事件發(fā)生的概率滿足，，與互斥，則下列說法正確的是（ ）
A．Ｂ．與相互獨立
Ｃ．Ｄ．
10．已知函數(shù)的最小正周期大于，若曲線關于點中心對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．Ｂ．是偶函數(shù)
Ｃ．是函數(shù)的一個極值點Ｄ．在單調遞增
11．已知分別是雙曲線的左、右焦點，是左支上一點，且在在上方，過作角平分線的垂線。垂足為是坐標原點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則直線的斜率為
Ｂ．若，則
Ｃ．若，則
Ｄ．若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知復數(shù)滿足，則______．
13．過點可以向曲線作條切線，寫出滿足條件的一組有序實數(shù)對______．
14．以表示數(shù)集中最大的數(shù)。已知，則的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解等應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
甲、乙兩位同學組成學習小組進行項目式互助學習，在共同完成某個內容的互助學習后，甲、乙都參加了若干次測試，現(xiàn)從甲的測試成績里隨機抽取了7次成績，從乙的測試成績里隨機抽取了9次成績，數(shù)據如下：
甲：93958172808292
Z：858277809486928485
經計算得出甲、乙兩人的測試成績的平均數(shù)均為85。
（1）求甲乙兩位同學測試成績的方差；
（2）為檢驗兩組數(shù)據的差異性是否顯著，可以計算統(tǒng)計量，其中個數(shù)據的方差為個數(shù)據的方差為，且，若，則認為兩組數(shù)據有顯著性差異，否則不能認為兩組數(shù)據有顯著性差異。
若的臨界值采用下表中的數(shù)據：
例如：為5.41．
請根據以上資料判斷甲、乙兩位同學進行項目式互助學習的效果是否有顯著性差異。
16．（15分）
正項數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，，
（1）求數(shù)列的通項公式：
（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
17．（15分）
如圖，在三棱臺中，上、下底面是邊長分別為2和4的正三角形，平面，設平面平面，點分別在直線和直線上，且滿足，．
（1）證明：平面；
（2）若直線和平面所成角的正弦值為，求該三棱臺的高。
18．（17分）
已知函數(shù)；
（1）當時，證明：對任意；
（2）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值。
19．（17分）
已知曲線由半圓和半橢圓組成，點在半橢圓上，．
（1）求的值；
（2）在曲線上，若（是原點）．
（i）求的取值范圍；
（ii）如圖，點在半圓上時，將軸左側半圓沿軸折起，使點到，使點到，且滿足，求的最大值。
昆明市2024屆“三診一?！备呖寄M考試
數(shù)學參考答案及評分標準
一、二、選擇題
三、填空題
12．
13．（e,1）（當；當時，或；當時，或；當時，（作答其中任意一種情況即可））
14．2
四、解答題
15．解：（1）依題意：，
所以，，
，
（2）由于，則，
則，
查表得對應的臨界值為3.58，則，
所以甲、乙兩位同學進行項目式互助學習的效果沒有顯著性差異．
16．解：（1）當時，，即，
所以，同理．
當時，，化簡得：
，因為，所以，
即，故，又，所以．
同理，或，
因為是等比數(shù)列，所以，即，所以
（2）由（1）知，
所以當為奇數(shù)時，
同理當為偶數(shù)時，．
所以
17．（1）證明：由三棱臺知，平面，
因為平面，且平面平面，所以，
又，所以即為平面與平面的交線。
因為，所以，
又，，
所以平面．
（2）以為原點建立空間立角坐標系如圖，設二棱臺的高為，
則，
設平面的法向量為，則
可取平面的一個法向量，
易得平面的一個法向量，
設與平面夾角為，由（1）知，
所以由已知得，
解得，所以三棱臺的高為．
18．解：（1）當時，，
當時，，則；
當時，，故，所以在單調遞增，
因為，所以，所以，
所以，所以，故；
綜上，對任意．
（2），因為是的極值點，
所以，即．
當時，，令，則，由（1）可知，對任意，故在單調遞增，又，故當時，，即，當時，，即，故在單調遞減，在單調遞增，滿足是的極值點，
綜上，實數(shù)的值為1．
19．（1）由題意知，是橢圓的左、右焦點，
由橢圓的定義知：．
（2）由題意知，，
當為半橢圓右頂點時，，
當不為半橢圓右頂點時，設直線方程為，聯(lián)立，
解得，故，
（1）若點在半圓上，則，
所以，
所以，所以，
（2）若點在半橢圓上，因為，
設直線的方程為，同理可得，
所以，令，
則，
因為，故，所以，所以，
綜上所述，所以．
（3）過作垂直軸，垂足為，設，則，
，所以，
即，所以
令，
當且僅當時，取得最大值。
綜上所述的最大值為．1
2
3
4
5
6
7
8
1
161
200
216
225
230
234
237
239
2
18.5
19.0
19.2
19.2
19.3
19.3
19.4
19.4
3
10.1
9.55
9.28
9.12
9.01
8.94
8.89
8.85
4
7.71
6.94
6.59
6.39
6.26
6.16
6.09
6.04
5
6.61
5.79
5.41
6.19
5.05
4.95
4.88
4.82
6
5.99
5.14
4.76
4.53
4.39
4.28
4.21
4.15
7
5.59
4.74
4.35
4.12
3.97
3.87
3.79
3.73
8
5.32
4.46
4.07
3.84
3.69
3.58
3.50
3.44
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
B
C
A
B
C
D
ABD
ABC
AC

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