數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．設(shè)全集，集合，，則
A．B．C．D．
2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且的縱坐標(biāo)為，則
A．B．C．D．
4．在中，點(diǎn)滿足，則
A．B．
C．D．
5．某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)男子100m決賽中，八名選手的成績(jī)（單位：）分別為：，，，，，，，，則下列說法錯(cuò)誤的是
A．若該八名選手成績(jī)的第百分位數(shù)為，則
B．若該八名選手成績(jī)的眾數(shù)僅為，則
C．若該八名選手成績(jī)的極差為，則
D．若該八名選手成績(jī)的平均數(shù)為，則
6．已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，
，且，則
A． B． C． D．
7．若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，則稱函數(shù)和互為“平行函數(shù)”．已知，互為“平行函數(shù)”，則
A．B．C．D．
8．第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（ICNE7）的會(huì)徽?qǐng)D案是由若干三角形組成的．如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個(gè)三角形的斜邊與第一次重疊為止．則所作的所有三角形的面積和為
A．
B．
C．
D．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，則
A．B．與平面所成的角為 C．D．平面
10．已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)最大時(shí)，則
A．直線的斜率為1B．四邊形的面積為
C．D．
11．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密（Ptlemy 85-165）對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他研究出角與弦之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表．托勒密用圓的半徑的作為一個(gè)度量單位來度量弦長(zhǎng)，將圓心角（）所對(duì)的弦長(zhǎng)記為．例如圓
心角所對(duì)弦長(zhǎng)等于60個(gè)度量單位，即．則
A．
B．若，則
C．
D．（）
12．已知函數(shù)，則
A．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
C．存在，使得有3個(gè)零點(diǎn)
D．存在，使得有5個(gè)零點(diǎn)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)（）在角
終邊上，且，則的值可以是 .（寫一個(gè)即可）
14．春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個(gè)敬老院做義工，每個(gè)敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個(gè)敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個(gè)交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則的離心率為 ．
16．已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為 ．
四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）
在中，，，.
（1）求的面積；
（2）如圖，，，求.
18．（12分）
記為數(shù)列的前項(xiàng)和，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，
求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19．（12分）
如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，，．
（1）證明：平面平面；
（2）是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說明理由．
20．（12分）
聊天機(jī)器人（chatterbt）是一個(gè)經(jīng)由對(duì)話或文字進(jìn)行交談的計(jì)算機(jī)程序．當(dāng)一個(gè)問題輸入給聊天機(jī)器人時(shí)，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對(duì)某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測(cè)試時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%．
（1）求一個(gè)問題的應(yīng)答被采納的概率；
（2）在某次測(cè)試中，輸入了8個(gè)問題，每個(gè)問題的應(yīng)答是否被采納相互獨(dú)立，記這些應(yīng)答被采納的個(gè)數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時(shí)的值.
21．（12分）
已知是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在不過原點(diǎn)的直線上，交于，兩點(diǎn).當(dāng)與互補(bǔ)時(shí)，，.
（1）求的方程；
（2）證明：為定值.
22．（12分）
已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.
昆明市2024屆高三“三診一?！泵自\斷測(cè)試
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、單選題；二、多選題
三. 填空題
13. （,,均可） 14. 15. 16.
17．解：（1）因?yàn)?，所?，
因?yàn)?，所以?br>在中，由正弦定理可得，解得.
又因?yàn)椋?br>所以. ………………………5分
（2）由（1）可知，，因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，即，故?br>所以，，
在中，由余弦定理可得，
解得. ………………………10分
18．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
即. ……………………6分
（2）由題意，，則，
記數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以. …………………12分
19．解：（1）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，
在中，，，所以，
在中，，，所以，得，
又平面，平面，所以，
又，，所以平面，
由平面得，
又，所以平面，
由平面得，平面平面． ………………………………6分
（2）存在點(diǎn)滿足條件，
以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
設(shè)，則，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則令得，
所以平面的一個(gè)法向量為，
易知平面的一個(gè)法向量為，
由已知得，即，解得，即，
所以存在點(diǎn)使平面與平面的夾角為，此時(shí)． …………12分
20．解：（1）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件， “一次應(yīng)答被采納”為事件，
由題意，，，則
，
. ……6分
（2）依題意，，，
當(dāng)最大時(shí)，有
即解得：，，
故當(dāng)最大時(shí)，. ……………………………12分
21．解：（1）因?yàn)榕c互補(bǔ)，所以與關(guān)于軸對(duì)稱，
所以軸，又因?yàn)橹本€過，故的方程為.
設(shè)在第一象限，因?yàn)?，則，
設(shè)為的左焦點(diǎn)，則，故，即,
因?yàn)樵谏?，，解得?br>所以的方程為. ……………………………6分
（2）設(shè)，，直線，
聯(lián)立得，
，，
所以， …………………………9分
故，
所以為定值. …………………………12分
22．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>.
①當(dāng)時(shí)，令，得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí)，令，得或.
?。┊?dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
ⅱ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
ⅲ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以 在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ……………………6分
（2）當(dāng)時(shí)，令，則，時(shí)，，則，故，則，故當(dāng)時(shí)，.
所以當(dāng)時(shí)，，解得，
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上的極小值為，
由題，則有，解得.
當(dāng)，解得，
= 1 \* GB3 ①當(dāng)時(shí)，，，符合題意；
= 2 \* GB3 ②當(dāng)時(shí)，，，符合題意.
綜上，當(dāng)時(shí)，恒成立. ………………………12分
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
C
A
B
B
D
AB
AC
BCD
BCD

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