數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．設(shè)全集，集合，，則
A．B．C．D．
2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且的縱坐標(biāo)為，則
A．B．C．D．
4．在中，點(diǎn)滿足，則
A．B．
C．D．
5．某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：）分別為：，，，，，，，，則下列說法錯(cuò)誤的是
A．若該八名選手成績的第百分位數(shù)為，則
B．若該八名選手成績的眾數(shù)僅為，則
C．若該八名選手成績的極差為，則
D．若該八名選手成績的平均數(shù)為，則
6．已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，
，且，則
A． B． C． D．
7．若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，則稱函數(shù)和互為“平行函數(shù)”．已知，互為“平行函數(shù)”，則
A．B．C．D．
8．第七屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)（ICNE7）的會(huì)徽圖案是由若干三角形組成的．如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個(gè)三角形的斜邊與第一次重疊為止．則所作的所有三角形的面積和為
A．
B．
C．
D．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，則
A．B．與平面所成的角為 C．D．平面
10．已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)最大時(shí)，則
A．直線的斜率為1B．四邊形的面積為
C．D．
11．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密（Ptlemy 85-165）對三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他研究出角與弦之間的對應(yīng)關(guān)系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表．托勒密用圓的半徑的作為一個(gè)度量單位來度量弦長，將圓心角（）所對的弦長記為．例如圓
心角所對弦長等于60個(gè)度量單位，即．則
A．
B．若，則
C．
D．（）
12．已知函數(shù)，則
A．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
C．存在，使得有3個(gè)零點(diǎn)
D．存在，使得有5個(gè)零點(diǎn)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)（）在角
終邊上，且，則的值可以是 .（寫一個(gè)即可）
14．春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個(gè)敬老院做義工，每個(gè)敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個(gè)敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個(gè)交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則的離心率為 ．
16．已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為 ．
四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）
在中，，，.
（1）求的面積；
（2）如圖，，，求.
18．（12分）
記為數(shù)列的前項(xiàng)和，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，
求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19．（12分）
如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，，．
（1）證明：平面平面；
（2）是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說明理由．
20．（12分）
聊天機(jī)器人（chatterbt）是一個(gè)經(jīng)由對話或文字進(jìn)行交談的計(jì)算機(jī)程序．當(dāng)一個(gè)問題輸入給聊天機(jī)器人時(shí)，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測試時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%．
（1）求一個(gè)問題的應(yīng)答被采納的概率；
（2）在某次測試中，輸入了8個(gè)問題，每個(gè)問題的應(yīng)答是否被采納相互獨(dú)立，記這些應(yīng)答被采納的個(gè)數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時(shí)的值.
21．（12分）
已知是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在不過原點(diǎn)的直線上，交于，兩點(diǎn).當(dāng)與互補(bǔ)時(shí)，，.
（1）求的方程；
（2）證明：為定值.
22．（12分）
已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.

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