1．如圖矩形與正方形的形狀有差異，我們將矩形與正方形的接近程度稱為矩形的“接近度”，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，我們將矩形的“接近度”定義為AB2BC2，若∠BOC＝60°時(shí)，則矩形的“接近度”為（ ）
A．13B．3C．13D．3
2．定義：在△ABC，D，E分別是△ABC兩邊的中點(diǎn)，如果DE上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱DE為△ABC的中內(nèi)弧.如圖1，DE是△ABC的一條中內(nèi)弧，如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn).則Rt△ABC所有中內(nèi)弧DE所組成的圖形（圖中陰影部分表示）為（ ）
A．B．
C．D．
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在直線l上，以A為圓心，OA為半徑的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，給出如下定義：若線段OE，⊙A和直線l上分別存在點(diǎn)B，點(diǎn)C和點(diǎn)D，使得四邊形ABCD是矩形（點(diǎn)A，B，C，D順時(shí)針排列），則稱矩形ABCD為直線l的“理想矩形”.例如，右圖中的矩形ABCD為直線l的“理想矩形”.若點(diǎn)A(3，4)，則直線y=kx+1(k≠0)的“理想矩形”的面積為（ ）
A．12B．314C．42D．32
4．百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形.關(guān)于凹四邊形 ABCD （如圖），以下結(jié)論：
①∠BCD=∠A+∠B+∠D ；②若 AB=AD，BC=CD ，則 AC⊥BD ；③若 ∠BCD=2∠A ，則 BC=CD ；④存在凹四邊形 ABCD ，有 AB=CD，AD=BC .其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
5．我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形，根據(jù)定義：①等邊三角形一定是奇異三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，則a：b：c＝1：3：2；③如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓ADB的中點(diǎn)，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E，使AE＝AD，CB＝CE．則△ACE是奇異三角形；④在③的條件下，當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，∠AOC＝120°，其中，說法正確的有（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
二、填空題
6．定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角．已知∠AOB=30°，把一塊含有30°角的三角板如圖1疊放，將三角板繞頂點(diǎn)O以2度1秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）．在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線OA，OB，OC，OD構(gòu)成內(nèi)半角，則旋轉(zhuǎn)時(shí)間為 秒．
7．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M和點(diǎn)P給出如下定義：Q為圖形M上任意一點(diǎn)，若P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的5倍，則稱點(diǎn)P為圖形M的“五分點(diǎn)”.已知點(diǎn)A(2，3)，B(4，6).以點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫圓，若線段AB上存在⊙O的“五分點(diǎn)”，則r的取值范圍是 .
8．定義：平面中兩條直線 l1 和 l2 相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M,若p,q分別是M到直線 l1 和 l2 的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì) (p,q) 是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 .
9．定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”.若等腰三角形ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，底邊的長(zhǎng)為3，則腰AB的長(zhǎng)為 .
10．新定義：將一個(gè)凸四邊形分成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)等腰直角三角形的對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“等腰直角線”．已知一個(gè)直角梯形的“等腰直角線”等于4，它的面積是 ．
11．定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似但不全等，我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的相似對(duì)角線，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD是它的相似對(duì)角線，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC= 度
12．定義：以直角三角形的重心為圓心，且與該直角三角形的一邊相切的圓叫做這個(gè)直角三角形的重切圓.斜邊為10，重切圓半徑為2的直角三角形的面積是 .
13．我們規(guī)定菱形與正方形接近程度稱為“接近度”，設(shè)菱形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為α°，β°，將菱形的“接近度”定義為|α?β|，于是|α?β|越小，菱形越接近正方形.
①若菱形的一個(gè)內(nèi)角為80°，則該菱形的“接近度”為 ；
②當(dāng)菱形的“接近度”等于 時(shí)，菱形是正方形.
14．定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA＝3，OC＝4，點(diǎn)M（2，0），在邊AB存在點(diǎn)P，使得△CMP為“智慧三角形”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為： ．
15．定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個(gè)斜邊長(zhǎng)為6的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為 .
三、綜合題
16．定義：有一組對(duì)角之差為90°的四邊形為美好四邊形.
（1）如圖①，△ABC中，∠A＝2∠C，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，AD＝AE，求證：四邊形DBCE為美好四邊形；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D②，圖③中分別畫一個(gè)以AB為邊且頂點(diǎn)在格點(diǎn)的美好四邊形ABCD；
（3）在（1）的條件下，若DE經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，BD＝4，CE＝7，求DE的長(zhǎng).
17．我們定義：連接凸四邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做四邊形的“準(zhǔn)中位線”.
（1）概念理解：如圖1，四邊形ABCD中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∠ADB＝90°，E是AB邊上一點(diǎn)，滿足DE＝AE，試判斷EF是否為四邊形ABCD的準(zhǔn)中位線，并說明理由.
（2）問題探究：如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度，從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F以每秒6個(gè)單位的速度，從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).D為線段AB上任意一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)CD，射線CD與點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)構(gòu)成的四邊形的兩邊分別相交于點(diǎn)M，N，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.問t為何值時(shí)，MN為點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線.
（3）應(yīng)用拓展：如圖3，EF為四邊形ABCD的準(zhǔn)中位線，AB＝CD，延長(zhǎng)FE分別與BA，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，請(qǐng)找出圖中與∠M相等的角并證明.
18．定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角和等于另兩個(gè)內(nèi)角和的一半的四邊形稱為對(duì)半四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為對(duì)半線．
（1）如圖1，在對(duì)半四邊形ABCD中，∠A+∠B＝12（∠C+∠D），求∠A與∠B的度數(shù)之和；
（2）如圖2，O為銳角△ABC的外心，過點(diǎn)O的直線交AC，BC于點(diǎn)D，E，∠OAB＝30°，求證：四邊形ABED是對(duì)半四邊形；
（3）如圖3，在△ABC中，D，E分別是AC，BC上一點(diǎn)，CD＝CE＝3，CE＝3EB，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∠AFB＝120°，當(dāng)AB為對(duì)半四邊形ABED的對(duì)半線時(shí)，求AC的長(zhǎng)．
19．定義：若圓內(nèi)接三角形是等腰三角形，我們就稱這樣的三角形為“圓等三角形”．
（1）如圖1，AB是⊙O的一條弦（非直徑），若⊙O在上找一點(diǎn)C，使得△ABC是“圓等三角形”，則這樣的點(diǎn)C能找到 個(gè)．
（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連結(jié)對(duì)角線BD，△ABD和△BCD均為“圓等三角形”，且AB=AD．
①當(dāng)∠A=140°時(shí)，求∠ADC的度數(shù)；
②如圖3，當(dāng)∠A=120°，AB=6時(shí)，求陰影部分的面積．
20．綜合與實(shí)踐
新定義：我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做積等三角形.
（1）【初步嘗試】如圖1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，P為AC上一點(diǎn)，當(dāng)AP= 時(shí)，△ABP與△CBP為積等三角形；
（2）【理解運(yùn)用】如圖2，△ABD與△ACD為積等三角形；若AB=3，AC=5，且線段AD的長(zhǎng)度為正整數(shù)，求AD的長(zhǎng)；
（3）【綜合應(yīng)用】如圖3，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AC，AB為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，求證：△AEG與△ABC為積等三角形.
21．定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如，四邊形 ABCD 中，若 ∠A+∠C=180° 或 ∠B+∠D=180° ，則四邊形 ABCD 是“對(duì)補(bǔ)四邊形”.
（1）（概念理解）
如圖1，四邊形 ABCD 是“對(duì)補(bǔ)四邊形”.
①若 ∠A：∠B：∠C=3：2：1 ，則 ∠D= ；
②若 ∠B=90° .且 AB=3，AD=2 時(shí).則 CD2?CB2= ；
（2）（拓展提升）
如圖，四邊形 ABCD 是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng) AB=CB ，且 ∠EBF=12∠ABC 時(shí)，圖中 AB，CF，EF 之間的數(shù)量關(guān)系是 ，并證明這種關(guān)系；
（3）（類比應(yīng)用）
如圖3，在四邊形 ABCD 中， AB=CB，BD 平分 ∠ADC ；
①求證：四邊形 ABCD 是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；
②如圖4，連接 AC ，當(dāng) ∠ABC=90° ，且 S△ACDS△ABC=12 時(shí)，求 tan∠ACD 的值.
22．定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱“直等補(bǔ)”四邊形．
根據(jù)以上定義，解決下列問題：
（1）判斷正方形 “直等補(bǔ)”四邊形；菱形 “直等補(bǔ)”四邊形.（填“是”或“不是”）
（2）如圖1，在所給的網(wǎng)格中，畫出符合條件的“直等補(bǔ)”四邊形AECF；
（3）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，點(diǎn)B到直線AD的距離為BE．
①求BE的長(zhǎng)；
②若M、N分別是AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求△MNC周長(zhǎng)的最小值．
23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于線段AB與直線l：y=kx+b，給出如下定義：若線段AB關(guān)于直線l的對(duì)稱線段為A'B'(A'，B'分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，則稱線段A'B'為線段AB的“[k，b]關(guān)聯(lián)線段”．
已知點(diǎn)A(1，1)，B(1，?1)．
（1）線段A'B'為線段AB的“[1，b]關(guān)聯(lián)線段”，點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(2，0)，則A'B'的長(zhǎng)為 ，b的值為 ；
（2）線段A'B'為線段AB的“[k，0]關(guān)聯(lián)線段”，直線l1經(jīng)過點(diǎn)C(0，2)，若點(diǎn)A'，B'都在直線l1上，連接OA'，求∠COA'的度數(shù)；
（3）點(diǎn)P(?3，0)，Q(?3，3)，線段A'B'為線段AB的“[k，b]關(guān)聯(lián)線段”，且當(dāng)b取某個(gè)值時(shí)，一定存在k使得線段A'B'與線段PQ有公共點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．
24．新定義：垂直于圖形的一邊且等分這個(gè)圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段.
問題探究：
（1）如圖1，等邊△ABC邊長(zhǎng)為3，垂直于BC邊的等積垂分線段長(zhǎng)度為 ；
（2）如圖2，在△ABC中，AB=8，BC=63，∠B=30°，求垂直于BC邊的等積垂分線段長(zhǎng)度；
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=BC=6，AD=3，求出它的等積垂分線段長(zhǎng).
25．在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)P到直線EF的距離等于圖形M上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)P稱為直線EF的“伴隨點(diǎn)”．
例如：如圖1，已知點(diǎn)A(1，2)，B(3，2)，P(2，2)在線段AB上，則點(diǎn)P是直線EF：x軸的“伴隨點(diǎn)”．
（1）如圖2，已知點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，P是線段AB上一點(diǎn)，直線EF過G(?1，0)，T(0，33)兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P是直線EF的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖3，x軸上方有一等邊三角形ABC，BC⊥y軸，頂點(diǎn)A在y軸上且在BC上方，OC=5，點(diǎn)P是△ABC上一點(diǎn)，且點(diǎn)P是直線EF：x軸的“伴隨點(diǎn)”．當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)；
（3）如圖4，以A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)為頂點(diǎn)的正方形ABCD上始終存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是直線EF：y=?x+b的“伴隨點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出b的取值范圍．
26．定義：對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個(gè)無縫隙、無重疊的四邊形，則這樣的四邊形稱為鑲嵌四邊形．
（1）如圖1，將△ABC紙片沿中位線EH折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的D處，再將紙片分別沿EF，HG折疊，使點(diǎn)B和點(diǎn)C都與點(diǎn)D重合，得到雙層四邊形EFGH，則雙層四邊形EFGH為 形．
（2）?ABCD紙片按圖2的方式折疊，折成雙層四邊形EFGH為矩形，若EF=5，EH=12，求AD的長(zhǎng)．
（3）如圖3，四邊形ABCD紙片滿足AD∥BC，ADb>a>0，
∴2c2>a2+b2，2a25=CF，
故不符合意.
故答案為：24.
【分析】①設(shè)圓與AC相切于點(diǎn)G，I為Rt△ABC的中線AF與BE的交點(diǎn)，連接EF，則EF∥AB，EF=12AB，由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊的延長(zhǎng)線，所截的三角形與原三角形相似得△EFI∽△BAI，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得AIAF=23，由切線的性質(zhì)得∠AGI=90°，判斷出IG∥BC，推出△AGI∽△ACF，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得IGCF=AIAF=23，據(jù)此可得CF的長(zhǎng)，在Rt△ACB中根據(jù)勾股定理算出AC，進(jìn)而根據(jù)三角形面積計(jì)算公式即可算出△ABC的面積；②設(shè)⊙I與AB相切于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CG⊥AB題意于點(diǎn)G，結(jié)合切線的性質(zhì)可判斷出ID∥CG，由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得△FID∽△FCG，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得IDCG=FIFC=13，進(jìn)而結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CG=3ID=6＞5=CF，根據(jù)垂線段最短可得此種情況不符合題意.
13．【答案】20；0
【解析】【解答】解：∵菱形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和為180°，
∴α+β=180，即80+β=180，
解得：β=100
∴該菱形的“接近度”為|α?β|=|80?100|=20；
∵四個(gè)角都為直角的菱形是正方形，
∴當(dāng)α=β=90時(shí)，菱形是正方形，
∴|α?β|=0時(shí)，菱形是正方形.
故答案為：20，0.
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合題意可得80+β=180，求出β的度數(shù)，然后求出|α-β|的值即為該菱形的“接近度”，由正方形的性質(zhì)可得當(dāng)α=β=90時(shí)，菱形為正方形，同理可求出“接近度”.
14．【答案】(3，12)或(3，1)或(3，3)
【解析】【解答】解：由題可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°
設(shè)點(diǎn)P(3，a)，則AP=a，BP=4-a
①若∠CPM=90°，在Rt△BCP中，
CP2=BP2+CB2=9+(4?a)2
在Rt△MPA中，MP2=MA2+AP2=1+a2
在Rt△MCP中，CM2=MP2+CP2=9+(4?a)2+1+a2=2a2?8a+26
又∵CM2=OM2+CO2=20
∴2a2-8a+26=20
即(a-3)(a-1)=0
解得a=3或a=1
∴P(3，3)或(3，1)
②若∠CMP=90°，在Rt△BCP中
CP2=BP2+CB2=9+(4?a)2
在Rt△MPA中，MP2=MA2+AP2=1+a2
∵CM2=OM2+CO2=20
在Rt△MCP中，CM2+MP2=CP2=20+1+a2=9+(4?a)2
即a=12
∴P(3，12)
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，12)或(3，1)或(3，3)
故答案為：(3，12)或(3，1)或(3，3).
【分析】由題可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°，設(shè)點(diǎn)P(3，a)，則AP=a，BP=4-a，進(jìn)而分類討論：①若∠CPM=90°，②若∠CMP=90°，從而運(yùn)用勾股定理結(jié)合題意即可求解。
15．【答案】6?32
【解析】【解答】解：如圖，
∵圓與三角形的三條邊都有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，
∴圓心O就是三角形的內(nèi)心，
∴當(dāng)⊙O過C時(shí)，且在等腰直角△ABC的三邊上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此時(shí)⊙O最大，
過點(diǎn)O分別作弦CG、CF、DE的垂線，垂足分別為P、N、M，連接OC、OA、OB，
∵CG＝CF＝DE，
∴OP＝OM＝ON，
∵∠C＝90°，AB＝6，AC＝BC，
∴AC＝BC＝22×6=32
∵S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，
∴12AC?OP＋12BC?ON＋12AB?OM＝S△ABC＝12AC?BC，
設(shè)OM＝x，則OP＝ON＝x，
∴32x+32x+6x=32×32，
解得：x＝32?3，
即OP＝ON＝32?3，
在Rt△CON中，OC=2ON=6?32，
故答案為：6?32.
【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，易得圓心O就是三角形的內(nèi)心，當(dāng)⊙O過C時(shí)，且在等腰直角△ABC的三邊上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此時(shí)⊙O最大，過點(diǎn)O分別作弦CG、CF、DE的垂線，垂足分別為P、N、M，連接OC、OA、OB，根據(jù)同圓中等弦的圓心距相等得OP＝OM＝ON，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC、BC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，建立方程，求出OP的長(zhǎng)，最后再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出OC的長(zhǎng)，從而問題得以解決.
16．【答案】（1）證明：設(shè)∠C=x，則∠A=2x，
∵AD=AE，故∠ADE=∠AED=90°?x，
即∠BDE=90°+x，
故∠BDE?∠C=90°，
∴四邊形DBCE為美好四邊形；
（2）解：依據(jù)題意，圖形見圖1?圖4（答案不唯一），
（3）解：過點(diǎn)A作AP⊥AD于點(diǎn)P，
∵AD=AE，故AP是∠BAC的平分線且PD=PE=12ED，
∵DE經(jīng)過ΔABC的內(nèi)心，故點(diǎn)P是ΔABC的內(nèi)心，
連接BP、CP，則BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的平分線，
設(shè)∠DAP=∠PAE=α，∠DBC=∠PBC=β，∠ECP=∠PCB=γ，
∵ΔABC的內(nèi)角和為180°，即2α+2β+2γ=180°，
而x=2γ，則α+β=90°?x，
則∠BPC=180°?α?β=90°+x=∠BDE，
∵∠BDE=180°?∠DBP?∠DPB，∠BDC=180°?∠DPB?∠EPC，
∴∠DPB=∠EPC，
∵AD=AE，故∠ADE=∠AED，則∠BDP=∠CEP，
∵ΔDBP∽ΔEPC，
∴BDEP=DPCE，即EP?PD=BD?EC=4×7=28，
而EP=PD，
故EP=PD=27=12DE，
∴DE=47.
【解析】【分析】（1）設(shè)∠C=x，則∠A=2x，由等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得∠ADE=∠AED=90°-2x，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠BED=90°+x，則∠BDE-∠C=90°，據(jù)此證明；
（2）根據(jù)“ 美好四邊形 ”的概念進(jìn)行作圖；
（3）過點(diǎn)A作AP⊥DE于點(diǎn)P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AP平分∠BAC且PD=PE，易得點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，連接BP、CP，則BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的平分線，設(shè)∠DAP=∠PAE=α，∠DBC=∠PBC=β，∠ECP=∠PCB=γ，由內(nèi)角和定理可推出∠BPC=∠BDE，∠DPB=∠EPC，證明△DBP∽△EPC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.
17．【答案】（1）解：∵DE＝AE，
∴∠EDA＝∠EAD，
∵∠EDA＋∠EDB＝90°，∠EAD＋∠ABD＝90°，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴AE＝BE，
∵F為CD的中點(diǎn)，
∴EF為四邊形ABCD的準(zhǔn)中位線
（2）解：當(dāng)MN為點(diǎn)A，B，F(xiàn)，E構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線時(shí)，
①如圖①，當(dāng)0≤t≤ 43 時(shí)，則需滿足EF∥AB且M（D）為AB的中點(diǎn)，
∴6?t6=6t8 ，
解得：t＝ 1211 ；
②當(dāng) 43 ＜t≤6時(shí)，需滿足BE∥AF且M為AF的中點(diǎn)，
∴6?t6=86t ，
解得：t＝2或t＝4，
綜上所述，當(dāng)t＝ 1211 或t＝2或t＝4時(shí)，MN為點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線；
（3）解：∠M＝∠CNF，
理由：連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，
∵E，H分別為AD，BD的中點(diǎn)，
∴EH∥AB，EH＝ 12 AB，
∴∠M＝∠HEF，
∵F，H分別為BC，BD的中點(diǎn)，
∴FH∥CD，F(xiàn)H＝ 12 CD，
∴∠CNF＝∠HFE，
∵AB＝CD，
∴HE＝HF，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴∠M＝∠CNF.
【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EDA＝∠EAD，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EDB＝∠ABD，得到AE＝BE，于是得到結(jié)論；（2）當(dāng)MN為點(diǎn)A，B，F(xiàn)，E構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線時(shí)，①如圖①，當(dāng)0≤t≤ 43 時(shí)，②當(dāng) 43 ＜t≤6時(shí)，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（3）連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥AB，EH＝ 12 AB，求得∠M＝∠HEF，又根據(jù)三角形的中位線定理得到FH∥CD，F(xiàn)H＝ 12 CD，求得∠CNF＝∠HFE，于是得到結(jié)論.
18．【答案】（1）解：由四邊形內(nèi)角和為360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
則∠A+∠B+2（∠A+∠B）＝360°，
∴∠A+∠B＝120°
（2）證明：如圖2，連接OC，由三角形外心的性質(zhì)可得，OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠OCA＝∠OAC，∠OCE＝∠OBC，
∴∠ACB＝（180°-30°-30°）÷2＝60°，
則∠CAB+∠CBA＝120°，
在四邊形ABED中，∠CAB+∠CBA＝120°，
則另兩個(gè)內(nèi)角之和為240°，
∴四邊形ABED為對(duì)半四邊形；
（3）解：若AB為對(duì)半線，則∠CAB+∠CBA＝120°，
∴∠C＝60°，
又∵CD＝CE，
∴△CDE為等邊三角形，
∵∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝3，
∴∠ADF＝∠FEB＝120°，
∵∠AFB＝120°，
∴∠DFA+∠EFB＝60°，
又∵∠DAF+∠DFA＝60°，
∴∠DAF＝∠EFB，
∴△ADF∽△FEB，
∴ADFE=DFEB
∵CE＝DE＝3，CE＝3BE，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，
∴BE＝1，DF＝EF＝32，
∴AD32＝321，
∴AD＝94，
∴CA＝CD+AD＝3+94＝214．
【解析】【分析】（1）由四邊形內(nèi)角和為360°可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，由已知條件可知∠A+∠B＝12(∠C+∠D)，則∠A+∠B+2(∠A+∠B)＝360°，化簡(jiǎn)即可；
（2）連接OC，由三角形外心的性質(zhì)可得OA＝OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OAB=∠OBA=30°，∠OCA=∠OAC，∠OCE=∠OBC，結(jié)合內(nèi)角和定理可求出∠ACB的度數(shù)，然后求出∠CAB+∠CBA的度數(shù)，結(jié)合四邊形內(nèi)角和為360°可得另兩個(gè)內(nèi)角之和為240°，據(jù)此證明；
（3）若AB為對(duì)半線，則∠CAB+∠CBA＝120°，由內(nèi)角和定理可得∠C＝60°，易得△CDE為等邊三角形，則∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝3，∠ADF＝∠FEB＝120°，由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ADF∽△FEB，由已知條件可得BE＝1，DF＝EF＝32，利用相似三角形的性質(zhì)可得AD，然后根據(jù)CA＝CD+AD進(jìn)行計(jì)算.
19．【答案】（1）4
（2）解：①∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A=140°，
∴∠C=180°?∠A=40°，
①當(dāng)BC=BD時(shí)，∠BDC=∠C=40°，
∵AB=AD，
∴∠ADB=180°?140°2=20°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°，
②當(dāng)BD=DC時(shí)，∠C=∠DBC=40°，
∴∠BDC=180°?∠DBC?∠C=100°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
③當(dāng)BC=CD時(shí)，∠BDC=180°?∠C2=70°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，
綜上所述，∠ADC的度數(shù)可能為：90°，120°，60°，
②連接OA、OB、OC，過點(diǎn)E作OE⊥BC，如下圖：
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A=120°，
∴∠BCD=180°?∠A=60°，
∵△BCD均為“圓等三角形”，
∴△BCD為等邊三角形，
∴∠BOC=2∠BDC=120°，
∵AB=AD，
∴∠AOB=12∠BOD=60°，
∵BO=AO，
∴△AOB為等邊三角形，
∴OB=AB=6，
在Rt△BOE中，OE=12OB=3，BE=3OE=33，
∴S△BOC=12×2×33×3=93，
扇形BOC的面積：120°360°×π×62=12π，
∴陰影部分的面積為：12π?93.
【解析】【解答】解：（1）圖下圖：
∴這樣的點(diǎn)C能找到4個(gè)，
故答案為：4.
【分析】（1）根據(jù)圓等三角形的定義，即可求解；
（2）①根據(jù)圓內(nèi)接四邊形和已知條件求出∠C的度數(shù)，再分三種情況討論，①當(dāng)BC=BD時(shí)，②當(dāng)BD=DC時(shí)，③當(dāng)BC=CD時(shí)，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
②連接OA、OB、OC，過點(diǎn)E作OE⊥BC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形和已知條件求出∠BCD的度數(shù)，根據(jù)圓等三角形的定義得到△BCD為等邊三角形，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC的度數(shù)，即可證明△AOB為等邊三角形，根據(jù)含30°角的直角三角形求出OE和BE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出△BOC的面積和扇形BOC的面積，即可求出陰影部分面積.
20．【答案】（1）1.5
（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵△ABD與△ACD為積等三角形，
∴BD=CD，
∵AB∥EC，
∴∠BAD=∠E，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ADB?△EDC(AAS)，
∴AD=DE，AB=EC=3，
∴AE=2AD，
∵AC=5，
∵AC?CE

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