注意事項：
1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘。答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.選擇題的作答；每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3.非選擇題的作答；用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.數(shù)據(jù)24，61，46，37，52，16，28，15，53，24，45，39的第75百分位數(shù)是（ ）
A.34.5B.46C.49D.52
2.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，，則“”是“與共線”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
4.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的值為（ ）
A.B.C.D.
5.將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前30項的和為（ ）
A.3255B.5250C.5430D.6235
6.已知函數(shù)圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為，且，則函數(shù)在下列區(qū)間單調遞增的是（ ）
A.B.
C.D.
7.已知A，B為橢圓：上兩個不同的點（直線與y軸不平行），F(xiàn)為C的右焦點，且，若線段的垂直平分線交x軸于點P，則（ ）
A.B.C.D.
8.已知直線與函數(shù)的圖象相切，則函數(shù)的圖象在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.已知非零復數(shù)，在復平面內對應的點分別為，，O為坐標原點，則下列說法正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則存在實數(shù)，使得
10.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，，，點P是棱的中點，點M是側面內的一點，則下列說法正確的是（ ）
A.直線與直線所成角的余弦值為
B.存在點，使得
C.若點是棱上的一點，則點M到直線的距離的最小值為
D.若點到平面的距離與到點的距離相等，則點M的軌跡是拋物線的一部分
11.已知函數(shù)滿足：對，都有，且，則下列說法正確的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.某節(jié)體育課上，胡老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學生不同的排法共有__________種.
13.已知雙曲線C：的左焦點為F，過坐標原點O的直線與C交于A，B兩點，且，，則C的離心率為_________.
14.已知正三棱臺的所有頂點都在表面積為的球O的球面上，且，則正三棱臺的體積為___________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（本小題滿分13分）
已知等比數(shù)列的前項和為，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
（1）求的通項公式；
（2）若，數(shù)列的前n項和為，求證：.
16.（本小題滿分15分）
羽毛球是一項隔著球網(wǎng)，使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打平口端扎有一圈羽毛的半球狀軟木的室內運動，某學校為了解學生對羽毛球的喜愛情況，隨機調查了200名學生，統(tǒng)計得到如下2×2列聯(lián)表：
（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“是否喜歡羽毛球”與性別有關聯(lián)?
（2）為了增強學生學習羽毛球的積極性，從調查結果為“喜歡”的學生中按性別用分層抽樣的方法抽取6人參加羽毛球集訓，再從這6人中隨機抽取3人參加羽毛球比賽，記隨機變量X為這3人中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.
附：，其中.
17.（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，，，，，E是棱的中點，且平面，點F是棱上的一點.
（1）求證：平面平面；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長
18.（本小題滿分17分）
已知拋物線E：的焦點為F，點P是x軸下方的一點，過點P作E的兩條切線，，且，分別交x軸于M，N兩點.
（1）求證：F，P，M，N四點共圓；
（2）過點F作y軸的垂線，分別交于A，B兩點，求的面積的最小值。
19.（本小題滿分17分）
定義：如果函數(shù)和的圖象上分別存在點M和N關于x軸對稱，則稱函數(shù)和具有C關系.
（1）判斷函數(shù)和是否具有C關系；
（2）若函數(shù)和不具有C關系，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)和在區(qū)間上具有C關系，求m的取值范圍.
數(shù)學答案
1.C先按照從小到大排序：15，16，24，24，28，37，39，45，46，52，53，61，共12個數(shù)據(jù)，12×75%=9.第9，10個數(shù)據(jù)分別為46，52，則第75百分位數(shù)為.故選C.
2.D由題意可得，，故，故選D.
3.A向量，，若與共線，則.解得或，所以“”是“與共線”的充分不必要條件，故選A.
4.C因為，由正弦定理得，所以，又，由余弦定理得，又，所以，所以，所以.
故選C，
5.C顯然數(shù)列和數(shù)列均為等差數(shù)列，令，其中，可得，則，則數(shù)列為等差數(shù)列，且，公差為，所以的前30項的和為.故選C.
6.B由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，
所以，
則，所以，，
故，解得，
所以.
對于A選項，當時，，
故函數(shù)在區(qū)間上不單調，故A錯誤；
對于B選項，當時，，
故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故B正確；
對于C選項，當時，，
故函數(shù)在區(qū)間上不單調，故C錯誤；
對于D選項，當時，，
故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，故D錯誤.
故選B.
7.A由題意知，設，，
根據(jù)點A，B在C上，則，，
所以，
同理可得，所以，
所以，
所以線段的中點為，，
則垂直平分線的斜率為，
又，，
作差化簡得，
則線段垂直平分線的方程為，
令，得：，
解得，
所以.
故選A.
8.B設切點為，又，所以
解得，，.
令，，所以，
令，解得，
令，解得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以.
函數(shù)的圖象在處的切線方程為，
即，
令，得；令，得，
所以函數(shù)的圖象在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積，
即函數(shù)的圖象在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值為.
故選B.
9.BD取，，此時，但是，故A錯誤；
設，，
所以，，
又，所以，
整理得，所以，故B正確；
取，，此時，但是，故C錯誤；
因為，所以，
整理得，所以，
所以存在實數(shù)，使得，故D正確.
故選BD.
10.ACD以點A為坐標原點，分別以、、所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.
所以，，，，，，
所以，，
所以，，
所以直線與直線所成角的余弦值為，故A正確；
由題意，設，
則，又，
若，則，解得，
所以不存在點M，使得，故B錯誤；
設，所以，
所以點到直線的距離
，
所以，此時，
所以點M到直線的距離的最小值為，故C正確；
設，
則點M到平面的距離為z，點M到點的距離為.
因為點M到平面的距離與到點的距離相等，所以，
整理得（其中，），
即點M的軌跡方程為，是拋物線的一部分，故D正確.
故選ACD.
11.ACD令，則，
令，則，所以，
因為，所以，
令，，則，故A正確；
結合選項A可得，所以或.
若，則，所以，
此時與矛盾，舍去；
若，則，解得，
因為，所以，故B錯誤；
令，則，
因為，，所以，所以為偶函數(shù)，
令，則，
所以，
令，則，即故C正確；
由為偶函數(shù)，所以，
則，則，
即，所以是周期為4的周期函數(shù)，
又，
所以，故D正確.故選ACD.
12.72 讓2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有種，讓2名女生相鄰，不同的排法共有種，所以符合題設的不同的排法共有120-48=72種.
13. 記C的右焦點為，連接，，如圖所示.
過坐標原點O的直線與C交于A，B兩點，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為，，
所以，.
因為，所以.
在中，由余弦定理可得，
因為，所以，
即，即C的離心率為.
14.或 設點，分別是，
的外接圓的圓心，球O的半徑為R，則，解得，且，，O三點共線，
正三棱臺的高為，
在等邊中，，
由正弦定理可得：，得.
在等邊中，，
由正定理可，得.
在中，，
即，得，
在中，，
即，得，
如果三棱臺的上下底面在球心O的同側，如圖1所示，
則正三棱臺的高為，
所以正三棱臺的體積
.
如果三棱臺的上下底面在球心O的兩側，如圖2所示，
則正三棱臺的高為，
此時正三棱臺的體積
.
綜上，正三棱臺的體積為或.
15.（1）解：因為數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，
又，所以.
當時，由，得，兩式相減得，
又是等比數(shù)列，所以，所以，解得，
所以.
（2）證明：由（1）知，
所以
又，所以.
16.解：（1）零假設為：“是否喜歡羽毛球”與性別無關聯(lián)
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經計算得到，
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為“是否喜歡羽毛球”與性別有關聯(lián).
（2）依題意，抽取的6人中，男生人數(shù)為：人，女生人數(shù)為人
X的所有可能取值為1，2，3，
所以，，，
X的分布列為：
.
17.（1）證明：取的中點O，連接，，，
因為E是棱的中點，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，所以.
在中，，，
又O是的中點，所以，，
又易得，，所以，
所以，所以，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：因為，點O是的中點，所以，
所以，，兩兩垂直，
以為坐標原點，，，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標
系，如圖所示.
所以，，，，，
設，
所以，.
設平面的一個法向量，
所以
令，解得，，
所以平面的一個法向量，
又，設直線與平面所成角的大小為，
所以，
解得或，所以或.
18.（1）證明：設，分別與E切于，，
由，得，所以，
所以直線的斜率為，直線的方程為，
即，令，解得，所以.
直線的斜率為，直線的方程為，
即，令，解得，所以.
由，解得，，即.
所以，
，
所以，，所以M，N在以為直徑的圓上，
即F，P，M，N四點共圓.
（2）解：易得直線的方程為，
又直線的方程為，令，解得，
即，
直線的方程為，
令，解得，即.
所以，
又，所以P到的距離為，
所以.
設，，，
由，
，當且僅當時等號成立.
所以.
令，所以，
所以當時，.
當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，即的面積的最小值是.
19.解：（1）與具有C關系，理由如下：
根據(jù)定義，若與具有C關系，則在與的定義域的交集上存在x，使得，
又，，所以，
即，解得，所以與具有C關系.
（2）因為，，
令，
因為與不具有C關系，又在上的圖象連續(xù)不斷，所以在上恒為負或恒為正.
若在上恒成立，則，即，
又當時，，
令，所以，令，所以，
令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
所以，所以不存在使得在上恒成立.
若在上恒成立，即，
令，所以，
又在上單調遞減，
所以當時，，
所以，當時，，
所以，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
所以，即的取值范圍是.
（3）因為，，
令，則，
因為 與在上具有C關系，所以在上存在零點，
因為，
當且時，
因為，，所以，
所以在上單調遞增，則，此時在上不存在零點，不滿足題意；
當時，顯然當時，，
當時，因為在上單調遞增，且，，
故在上存在唯一零點，設為，則，
所以當，；
當，；又當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上存在唯一極小值點，
因為，所以，
又因為，所以在上存在唯一零點，
所以函數(shù)與在上具有C關系.
綜上，的取值范圍是.喜歡
不喜歡
總計
男生
40
60
100
女生
80
20
100
總計
120
80
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
1
2
3

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