河北省部分高中2023屆高三數(shù)學三模試題（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

2022－2023學年高三下學期第三次模擬考試數(shù)學本卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可分別求得集合，由交集定義可得結果.【詳解】由得：，又，；由得：，，.故選：B.2. 已知復數(shù)的共軛復數(shù)為，若的實部為1，且滿足，則的虛部為（）A. B. C. －1 D. 1【答案】D【解析】【分析】設，，由此即可得出，則可求出的值，即可選出答案.【詳解】設復數(shù)，，則，，，，解得，所以，所以的虛部為1.故選：D3. 已知下列各選項是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則是函數(shù)的極小值點的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由極小值點的定義，導函數(shù)與原函數(shù)的關系，即可選出答案.【詳解】當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，要使是函數(shù)的極小值點，則需，，對于AB選項，不是函數(shù)的極值點；對于C選項，是函數(shù)的極小值點，正確；對于D選項，是函數(shù)的極大值點.故選：C4. 對于平面內(nèi)個起點相同的單位向量，若每個向量與其相鄰向量的夾角均為，則與的位置關系為（）A. 垂直 B. 反向平行 C. 同向平行 D. 無法確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量加法的運算法則即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，所以，所以與的位置關系為反向平行.故選：B.5. 已知雙曲線（其中），若，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先將雙曲線方程化為標準方程，再根據(jù)離心率的定義，用表示出離心率，進而可得其取值范圍.【詳解】由雙曲線（其中），得，則雙曲線離心率，因為，所以，則，所以，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為.故選：A.6. 在銳角中，“”是“不是最小內(nèi)角”的（）A. 充要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】舉例即可判斷充分性，若不是最小內(nèi)角，假設，利用反證法即可判斷必要性，即可得解.【詳解】當時，，此時是最小內(nèi)角，故充分性不成立；若不是最小內(nèi)角，不妨設為最大角，則，假設，由，可得，則，此時，與題意矛盾，所以，若銳角的最大角小于或等于，則三角形的內(nèi)角和小于或等于，這與三角形的內(nèi)角和等于矛盾，所以若不是最小內(nèi)角，則，故必要性成立，綜上所述“”是“不是最小內(nèi)角”的必要不充分條件.故選：C.7. 拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點的弦的兩個端點的切線相交于點，則下列說法正確的是（）A. 點必在直線上，且以為直徑的圓過點B. 點必在直線上，但以為直徑的圓不過點C. 點必在直線上，但以為直徑的圓不過點D. 點必在直線上，且以為直徑的圓過點【答案】D【解析】【分析】結合導數(shù)幾何意義可證得過拋物線上一點的切線方程為，由此可確定在處的切線方程，進而結合點坐標得到直線方程，代入可知點必過直線；結合韋達定理可得，知，由此可得結論.【詳解】設為拋物線上一點，當時，由得：，在處的切線方程為：，即，；同理可得：當時，在處的切線方程切線方程為；經(jīng)檢驗，當，時，切線方程為，滿足，過拋物線上一點的切線方程為：；設，則拋物線在處的切線方程為和，，點滿足直線方程：，又直線過焦點，，解得：，點必在直線上；AC錯誤；由題意知：，，，，；設直線方程為：，由得：，，，即，以為直徑的圓過點；B錯誤，D正確.故選：D.8. 在我國古代，楊輝三角是解決很多數(shù)學問題的有力工具，像開方問題、數(shù)列問題、網(wǎng)格路徑問題等．某一城市街道如圖1所示，分別以東西向、南北向各五條路組成方格網(wǎng)，行人在街道上行走（方向規(guī)定只能由西向東、由北向南前行）．若從這個城市的最西北角處前往最東南角處，則有70種走法，如圖2．現(xiàn)在由平面擴展到空間，即立體交通方格網(wǎng)的路徑問題，如圖3，則從點到點的最短距離走法種數(shù)為（） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由西向東、由南向北前行共有種不同的走法，再由6個位置能向上走一步，得到種不同的走法，結合分步計數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由西向東、由南向北前行中，最近的走法為5步，其中由西向東3步，由南向北2步，所以共有種不同的走法，又由在每種走法中，其中由6個位置能向上走一步，所以有種不同走法，根據(jù)分步計數(shù)原理得，從點到點的最短距離走法種數(shù)共有種.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 下列不等式一定成立的是（）A. B. 若，則C. D. 【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷B，舉反例排除AD,根據(jù)絕對值不等式判斷C.【詳解】對于A，取，滿足，故A錯誤；對于B，若，則，若，則，，故B正確；對于C，根據(jù)絕對值三角不等式，C選項正確.對于D，，，故D錯誤．故選：BC.10. 在不透明的罐中裝入大小相同的紅、黑兩種小球，其中紅球個，黑球個，每次隨機取出一個球，記錄顏色后放回．每次取球記錄顏色后再放入個與記錄顏色同色的小球和個異色小球（說明：放入的球只能是紅球或黑球），記表示事件“第次取出的是黑球”，表示事件“第次取出的是紅球”．則下列說法正確的是（）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式和概率的乘法公式即可求解.【詳解】選項A：，共有8個球，，故A錯誤；選項B：，，，所以，故B錯誤；選項C：，，故C正確；選項D：，，由于，所以，故D正確.故選：CD.11. 在棱長為1的正方體的側(cè)面內(nèi)（包含邊界）有一點，則下列說法正確的是（）A. 若點到直線與到直線距離之比為，則點的軌跡為雙曲線的一部分B. 若點到直線與到直線距離之比為，則點軌跡為拋物線的一部分C. 過點三點作正方體的截面，則截面圖形是平行四邊形D. 三棱錐體積的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對A：如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設點，由點到直線與到直線距離之比為求得點的軌跡；對B：根據(jù)拋物線的定義得點的軌跡；對C：過點作分別交于，則過點三點的截面為平行四邊形；對D：當點在上時，三棱錐體積最大.【詳解】如圖，以為坐標原點，以分別為建立空間直角坐標系，則，設側(cè)面內(nèi)（包含邊界）點，對于A：點到直線的距離為，由正方體知面，又面，所以，所以點到直線距離為，故，整理得，所以點的軌跡為橢圓的一部分，故A錯誤；對于B：點到直線與到直線距離之比為，即到直線與到定點的距離相等，根據(jù)拋物線定義知點的軌跡為拋物線的一部分，故B正確；對于C：過點作分別交于，連接，則且，所以四邊形是平行四邊形，則平行四邊形為過點三點的截面，故C正確；對于D：當點在上時，點到面的距離最大為1，此時三棱錐體積，故D正確；故選：BCD12. 已知，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】先利用三角函數(shù)線得到，進而得到，作差法得到，得到；再構造函數(shù)，與，，證明出.【詳解】設為銳角，作出單位圓，與軸交于點，則，過點作垂直于軸，交射線于點，連接，過點作⊥軸于點，由三角函數(shù)定義可知，，設扇形的面積為，則，即，故，所以，，因為，所以，故，綜上：，A正確，B錯誤；令，，則，當時，，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，令，，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故，故，故，C正確，D錯誤；故選：AC【點睛】方法點睛：我們經(jīng)常使用不等式放縮來比較大小或證明不等式，常用的不等式有，，，，等.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若數(shù)列為等比數(shù)列，則_______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程，求出，從而計算出答案.【詳解】由題意得，，解得，，故.故答案為：414. 已知四面體中，，則該四面體體積的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】取的中點，連接，易得，則可得當平面時，該四面體體積取得最大值，進而可得出答案.【詳解】取的中點，連接，因為，所以，，當平面時，該四面體體積取得最大值，最大值為.故答案為：. 15. 函數(shù)的值域是_______．【答案】【解析】【分析】函數(shù)的幾何意義是在直角坐標平面內(nèi)定點與動點連線的斜率，由此轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點的問題，即可求出答案.【詳解】函數(shù)的幾何意義是在直角坐標平面內(nèi)定點與動點連線的斜率，易知動點在以為圓心，1為半徑的圓除以外的點上，易知直線的斜率存在，設為，則直線為即，則，解得，即值域為.故答案為：16. 已知分別是函數(shù)圖象上動點，則的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】由題意易知兩函數(shù)關于對稱，由此即可將問題轉(zhuǎn)化為點到直線距離的最小值的2倍，再由當曲線在點出的切線與平行時，點到直線的距離有最小值，由此即可求出答案.【詳解】因為反解得，所以與互為反函數(shù)，關于對稱，所以的最小值為點到直線的距離的最小值的2倍，當曲線在點處的切線與平行時，點到直線的距離有最小值，
，令，解得，所以，則點到直線的距離,所以的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 在中，角的對邊分別為，且．（1）判斷的形狀；（2）若，點分別在邊上，且，求的面積．【答案】（1）是直角三角形（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，整理即可得出結論；（2）根據(jù)求解即可.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，化簡得，所以是直角三角形；【小問2詳解】由（1）得，因為，所以，則，因為，所以，,,，，所以.18. 已知等差數(shù)列，首項，其前項和為，點在斜率為1的直線上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若為數(shù)列的前項和，求證：．【答案】（1）（2）證明詳見解析.【解析】【分析】（1）求出，再根據(jù)與的關系求出即可；（2）根據(jù)裂項相消法求和再求最值即可.【小問1詳解】設斜率為1的直線為，則，當時，，所以，因為，所以，所以，當時，，所以，經(jīng)檢驗，也成立.所以.【小問2詳解】證明：由（1）可得，，則，因為，所以數(shù)列是一個單調(diào)遞增數(shù)列，又因為，且當時，.所以.19. 如圖，四棱錐的底面是菱形，其對角線交于點，且平面是的中點，是線段上一動點．（1）當平面平面時，試確定點的位置，并說明理由；（2）在（1）的前提下，點在直線上，以為直徑的球的表面積為．以為原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，求點的坐標．【答案】（1）是的中點（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明，即可得解；（2）先根據(jù)球的體積求出，然后根據(jù)空間中兩點間的距離公式即可得解.【小問1詳解】因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，因為是的中點，所以是的中點；【小問2詳解】由題意，解得，設，由題意，，則，則，則，解得或，當時，，則，當時，，設，則，所以，解得，則，綜上所述點的坐標為，. 20. 郵件管理是一類非常常見的二元分類問題．如果將“非垃圾郵件”歸類為正類郵件，“垃圾郵件”歸類為負類郵件，試回答以下問題：（1）若在郵件中正類郵件與負類郵件的占比分別為和，由于歸類模型的誤差，歸類判斷可能出錯的概率均為0.05．若某個郵件歸類為正類郵件，求它原本是正類郵件的概率；（2）在機器學習中，利用算法進行歸類，常用分別表示將正類郵件歸類為正類郵件的個數(shù)，將負類郵件歸類為負類郵件的個數(shù)，將負類郵件歸類為正類郵件的個數(shù)，將正類郵件歸類為負類郵件的個數(shù)．統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，收到郵件的種類可能與是否在工作日有關．為了驗證此現(xiàn)象，在一段時間內(nèi)，從數(shù)據(jù)庫中隨機抽取若干郵件，包含有正類郵件和負類郵件，按照機器學習的方法進行分類后，得到以下數(shù)據(jù)：．并給出了下表，試回答以下問題：時間郵件工作日休息日合計正類70 負類 18 合計（ⅰ）求（充分大）封郵件歸類正確的概率；（ⅱ）補充上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析收到郵件的種類與是否在工作日有關？附：．0.100.050.0010.0052.7063.8416.6357.879 【答案】（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）認為收到郵件的種類與是否在工作日有關，此推斷犯錯誤的概率不大于.【解析】【分析】（1）由條件概率和全概率公式求解即可；（2）（ⅰ）由古典概率的公式即可求出（充分大）封郵件歸類正確的概率；（?、?/span>）補全列聯(lián)表，計算并對照卡方表完成檢驗.【小問1詳解】設事件“該郵件為正類郵件”，“該郵件歸類為正類郵件”，所以,所以【小問2詳解】（ⅰ）因為表示將郵件歸類正確，所以郵件歸類正確的概率為，所以（充分大）封郵件歸類正確的概率是.（?、?/span>）補全列聯(lián)表如下：時間郵件工作日休息日合計正類70575負類71825合計7723100零假設為：收到郵件的種類與是否在工作日無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算可得：，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為收到郵件種類與是否在工作日有關，此推斷犯錯誤的概率不大于.21. 已知橢圓，其焦距為，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為6．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點，過點作斜率不為0的直線交橢圓于不同兩點，求證：直線與直線所成的較小角相等．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，進而解方程求解即可；（2）設直線的方程為，，設，，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理得到、，轉(zhuǎn)化直線與直線所成的較小角相等為，進而求證即可.【小問1詳解】由題意得，，解得，，，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】證明：由題意，直線的斜率一定存在，設直線的方程為，，設，，聯(lián)立，整理得，所以，即，且，，，因為直線平行于軸，所以要證直線與直線所成的較小角相等，即證直線的傾斜角互補，即證，下面進行證明：，所以直線與直線所成的較小角相等. 22. 已知函數(shù)．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若為函數(shù)的導函數(shù)，有兩個零點．（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞減（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義求出的解析式，再通過其導函數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出，把零點問題轉(zhuǎn)化成方程的根，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的交點，根據(jù)圖象即可求出的范圍；把代入，通過兩個等式構造，結合的范圍即可證明.【小問1詳解】因為，令，則，所以（），故（）.當時，，，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立.所以當時，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】（ⅰ）有兩個零點等價于有兩個不同的根.而（），所以有兩個不同的根，等價于有兩個不同的根，等價于與有兩個不同的交點.因為，（），當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，而當趨向正無窮時，趨向0，趨向0時，趨向負無窮，為使與有兩個不同的交點，所以.（ⅱ）有兩個零點，則，.即，.所以，即，得，所以.因為，所以.【點睛】方法點睛：判斷函數(shù)單調(diào)性時主要考慮其導函數(shù)的正負；零點問題常?？赊D(zhuǎn)化為方程的根；關于雙變量問題通常需要通過等式構造，找出其等式關系.

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