1. 要使二次根式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0是解題的關鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解不等式可得答案．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，
∴，
故選B．
2. 隨著新一輪人口流動浪潮的出現(xiàn)，長沙憑借優(yōu)越的地理位置、活躍的經濟動力和高品質的生活條 件，成為人才和勞動力流動的首選之地．據(jù)統(tǒng)計，截至2024年2月全市流動人口達4060000人，數(shù)據(jù)4060000用科學記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了科學記數(shù)法“將一個數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學記數(shù)法”，熟記科學記數(shù)法的定義是解題關鍵．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．根據(jù)科學記數(shù)法的定義即可得．
【詳解】解：，
故選：C．
3. 如圖的幾何體由5個完全相同的小正方體搭成，該幾何體的俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．根據(jù)俯視圖是從上邊看得到的圖形，可得答案．
【詳解】解：從上邊看，共有兩列，從左到右小正方形的個數(shù)分別為3、1．
故選：D．
4. 如圖，點在直線上，．若，則的大小為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意易得，，進而問題可求解．
【詳解】解：∵點在直線上，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故選A．
【點睛】本題主要考查垂直的定義及鄰補角的定義，熟練掌握垂直的定義及鄰補角的定義是解題的關鍵．
5. 下列計算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了冪的運算以及完全平方公式，合并同類項；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，完全平方公式，冪的乘方進行計算即可求解．
【詳解】解：A． ，故該選項不正確，不符合題意；
B． ，故該選項不正確，不符合題意；
C． ，故該選項正確，符合題意；
D． ，故該選項不正確，不符合題意；
故選：C
6. 長沙某景點今年三月接待游客25萬人次，四月接待游客30萬人次，設該景點今年三月到四月接待游客人次的增長率為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．設該景點今年三月到四月接待游客人次的增長率為，根據(jù)“今年三月接待游客25萬人次，四月接待游客30萬人次”，列出方程，即可求解．
【詳解】解：設該景點今年三月到四月接待游客人次的增長率為，根據(jù)題意得：
．
故選：D
7. 社會主義本質是解放生產力，發(fā)展生產力，消滅剝削，消除兩極分化，最終達到共同富裕．下列有關居民收入的統(tǒng)計量中，最能體現(xiàn)發(fā)展生產力，消除兩極分化的是（ ）
A. 收入平均數(shù)變小，方差變大B. 收入平均數(shù)變小，方差變小
C. 收入平均數(shù)變大，方差變大D. 收入平均數(shù)變大，方差變小
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查方差的意義和平均數(shù)的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
【詳解】解：收入平均數(shù)變大，方差變小最能體現(xiàn)發(fā)展生產力，消除兩極分化，
故選D．
8. 如圖，為的切線，點A為切點，交于點C，點D在上，連接、、，若，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查切線的性質、圓周角定理、直角三角形的性質，利用數(shù)形結合的思想解答問題是解答本題的關鍵．根據(jù)圓周角和圓心角的關系，可以得到的度數(shù)，然后根據(jù)為的切線和直角三角形的兩個銳角互余，即可求得的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴，
∵為的切線，點A為切點，
∴，
∴，
故選：B．
9. 約在兩千五百年前，如圖1，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗，并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”，如圖2所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形性質的應用，解題的關鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根據(jù)小孔成像的性質及相似三角形的性質求解即可．
【詳解】解：根據(jù)小孔成像的性質及相似三角形的性質可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設蠟燭火焰的高度為，則
，
解得：，
即蠟燭火焰的高度為．
故選：B．
10. 如圖，在中，，．點是邊上的中點，連接，將繞點逆時針旋轉，得到，延長交于點，連接，過點作，交于點．現(xiàn)有如下四個結論：①；②；③；④中正確的個數(shù)為（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意條件可證得，結合全等三角形的性質得到是等腰直角三角形，則，故①正確；過點A作，垂足為點H，通過條件證得，，再通過條件證得，結合對應邊相等可得到，從而說明②③正確；通過邊長的等量關系能推出，最后說明，故能說明④錯誤．
【詳解】解：∵由題可知，，，
∴，，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在與中，
∵，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
即，故①正確；
如圖，過點A作，垂足為點H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵點是邊上的中點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，故②正確；
∴，故③正確；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
則，故④錯誤；
故選C
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、旋轉的性質、等腰直角三角形性質與判定，銳角三角函數(shù)的應用等知識，綜合運用相關知識，采用數(shù)形結合的方法是解題關鍵．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）
11. 的倒數(shù)是________.
【答案】-3
【解析】
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．
【詳解】解：的倒數(shù)是-3．
故答案為-3．
【點睛】本題考查倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．
12. 在平面直角坐標系中，點關于x軸對稱的點的坐標為___．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了關于軸、軸對稱的點的坐標．根據(jù)“關于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)”可得結果．
【詳解】解：在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點是．
故答案為：．
13. 不等式組的解集為______________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是解一元一次不等式組．分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定不等式組的解集．
【詳解】解：由，得：，
由，得：，
不等式組的解集為．
故答案為：．
14. 折扇是我國傳統(tǒng)日用品，也是工藝品，我國關于折扇的記載最早出現(xiàn)于公元五世紀的南北朝代南朝梁的建康（今南京市），如圖為用韌紙做扇面的折扇，折扇完全打開后，外側兩竹條和的夾角為，的長為，貼韌紙部分的長為，制作這樣的一把折扇，需要貼韌紙的面積為__（結果保留π）．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查扇形的面積計算，熟練掌握扇形的面積公式是解答此題的關鍵．根據(jù)題意先求出，進而分別求出兩個扇形的面積作差即可求出答案．
【詳解】解：∵的長為，貼韌紙部分的長為，
∴，
∴需要貼韌紙的面積為：
．
故答案為：．
15. 袋子里裝有紅、黃、白三種顏色的小球，除了顏色之外小球的形狀、大小、材質完全相同，攪拌均勻后從袋中隨機摸出一個球是紅球的概率為，如果袋中紅球有3個，則袋中的黃球和白球共有___個．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查是已知概率求數(shù)量，設袋中的黃球和白球共有個，再建立方程求解即可．
【詳解】解：設袋中的黃球和白球共有個，則
，
解得；，經檢驗符合題意；
∴袋中的黃球和白球共有個；
故答案：
16. 如圖，菱形中，，，，垂足分別為B，D，若，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質，含直角三角形的性質，及三角函數(shù)等知識，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．根據(jù)菱形的性質，含直角三角形的性質，及三角函數(shù)即可得出結果．
【詳解】解：在菱形中，，
，
，
，
，
在中，，
同理，，
，
，
在中，
．
故答案：．
三、解答題（本大題共9個小題第17、18、19題，每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、 23題每小題9分，第24、25題每小題10分，滿分72分）
17. 計算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】此題主要考查了實數(shù)的運算．首先計算特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪、開平方和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【詳解】解：
．
18. 先化簡，在求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡求值．先通分括號內的式子，再算括號外的除法，再將的值代入化簡后的式子計算即可．
【詳解】解：
，
當時，原式．
19. 如圖，，以點圓心，小于長為半徑作圓弧，分別交，于，兩點，再分別以，為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點，作射線，交于點．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，垂足為，求證：．
【答案】（1）；
（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查作圖基本作圖，全等三角形的判定，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）利用平行線的性質求出，再利用角平分線的定義求出；
（2）根據(jù)證明三角形全等即可．
【小問1詳解】
解：∵，
，
，
，
由題意平分，
；
【小問2詳解】
證明：平分，
，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
．
20. 某大型活動的主辦方為使參與服務的志愿者隊伍整齊，隨機抽取了部分志愿者，對其身高進行調查，將身高（單位：cm）數(shù)據(jù)分A、B、C、D、E五組制成了如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（不完整）：
根據(jù)信息回答：
（1）這次被調查身高的志愿者有 人，表中的 ，扇形統(tǒng)計圖中A 組所占的圓心角的度數(shù)是 ；
（2）本次被調查的志愿者的身高的眾數(shù)在 組，中位數(shù)在 組；
（3）若E 組的4人中，男女各有2人，以抽簽方式從中隨機抽取兩人擔任組長，請列表或畫樹狀圖，求剛好抽中兩名女志愿者的概率．
【答案】（1）40；8；
（2）；
（3）剛好抽中兩名女志愿者的概率為．
【解析】
【分析】（1）用統(tǒng)計表中的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中的百分比可得這次被調查身高的志愿者人數(shù)；用這次被調查身高的志愿者人數(shù)分別減去，，，組的人數(shù)，可得的值；用乘以組的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．
（2）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義可得答案．
（3）列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及剛好抽中兩名女志愿者的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【小問1詳解】
解：這次被調查身高的志愿者有（人．
．
扇形統(tǒng)計圖中組所占的圓心角的度數(shù)是．
故答案為：40；8；；
【小問2詳解】
解：由統(tǒng)計表可知，本次被調查的志愿者的身高的眾數(shù)在組．
將這次被調查的40名志愿者的身高按照從小到大的順序排列，排在第20和21名的身高都落在組，
中位數(shù)在組．
故答案為：；．
【小問3詳解】
解：列表如下：
共有12種等可能的結果，其中剛好抽中兩名女志愿者的結果有2種，
剛好抽中兩名女志愿者的概率為．
【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法、頻數(shù)（率）分布表、扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、眾數(shù)，能夠讀懂統(tǒng)計圖表，掌握列表法與樹狀圖法、中位數(shù)、眾數(shù)的定義是解答本題的關鍵．
21. 如圖是某款籃球架的示意圖，已知底座米，底座與支架所成的角，支架的長為米，籃板頂端點到籃框的距離米，籃板底部支架與支架所成的角．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
（1）求支架的頂端到地面的距離的高度．（精確到米）；
（2）求籃框D到地面的距離（精確到米）．
【答案】（1）的高度為米
（2）籃框到地面的距離約為米
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形并解直角三角形是解題的關鍵．
（1）直接根據(jù)即可求解；
（2）延長交射線于點，過點作于點，則四邊形是矩形，解，求得，進而根據(jù)，即可求解．
【小問1詳解】
解：由題意得：在中，，
（米），
∴的高度為米；
【小問2詳解】
如圖，延長交射線于點，過點作于點．
∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴（米）．
∵，則，
∴．
在中，（米），
∴（米），
∴籃框到地面的距離約為米
22. 綜合與實踐：如何稱量一個空礦泉水瓶的重量？
器材：如圖1所示的一架自制天平，支點固定不變，左側托盤固定在點處，右側托盤的點可以在橫梁段滑動．已知，，一個的砝碼．
鏈接：根據(jù)杠桿原理，平衡時：左盤物體重量右盤物體重量（不計托盤與橫梁重量）．
（1）左側托盤放置砝碼，右側托盤放置物體，設右側托盤放置物體的重量為，長．當天平平衡時，求關于的函數(shù)表達式，并求的取值范圍；
（2）由于一個空的礦泉水瓶太輕無法稱量，小組進行如下操作：左側托盤放置砝碼，右側托盤放置礦泉水瓶，如圖2．滑動點至點，空瓶中加入適量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，發(fā)現(xiàn)點移動到長為時，天平平衡．求這個空礦泉水瓶的重量．
【答案】（1），．
（2）空礦泉水瓶的重量為．
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)的實際應用．
（1）根據(jù)天平的杠桿原理，可以列出可以列出與之間的關系式：．即可得到反比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍；
（2）根據(jù)題意列出方程組，求解即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)鏈接中給的杠桿原理，可以列出與之間的關系式：．
將其化為關于的函數(shù)表達式：，
由于．
，即為．
的取值范圍為．
【小問2詳解】
解：根據(jù)素材2，設第一次加入水的質量為，空礦泉水瓶的質量為．
第一次稱量時，，，
根據(jù)杠桿原理列出方程：．
第二次稱量時，，，
根據(jù)杠桿原理列出方程： ．
可得方程組，
解得，
因此可得，空礦泉水瓶的重量為．
23. 如圖，在矩形中，，點E在上，，F(xiàn)為的中點，連結，分別交于點G，H，連結．
（1）求證：．
（2）當時，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）4
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形判定與性質、矩形的性質以及三角形的中位線定理：
（1）根據(jù)矩形的性質得出，，結合直角三角形的性質、等腰三角形的判定求出，則，即可求出是的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質求解即可；
（2）結合（1）求出，根據(jù)矩形的性質求出，，由，，即可判定，，根據(jù)相似三角形的性質求出，根據(jù)線段的和差求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵F為的中點，
∴是的中位線，
∴；
【小問2詳解】
解：由（1）知，，
∵，
∴，
∵，，F(xiàn)為的中點，
∴，，
在矩形中，，
∴
∴，，
∴，，
∴，
∴．
24. 新定義：如果實數(shù)m，n滿足時，則稱為“立足點”，稱為“制高點”，例如，是“立足點”，是“制高點”．
（1）求正比例函數(shù)圖象上“制高點”的坐標；
（2）若點A是反比例函數(shù)圖象上唯一的“立足點”，點B，C是反比例函數(shù)圖象上的“制高點”，點M是反比例函數(shù)圖象上的動點，求當面積與的面積相等時點M的坐標；
（3）已知點，是拋物線上的“制高點”，若，且，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）點M的坐標為或或；
（3）．
【解析】
【分析】（1）設正比例函數(shù)圖象上“制高點”的坐標為，得到，據(jù)此計算即可求解；
（2）設點A的坐標為，根據(jù)題意得，由題意，解得，得到反比例函數(shù)的解析式為，點A的坐標為，設點是反比例函數(shù)圖象上的“制高點”，求得點B，C的坐標分別為，，由面積與的面積相等，得到，分兩種情況討論即可求解；
（3）利用根與系數(shù)的關系求得，根據(jù)題意求得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可．
【小問1詳解】
解：設正比例函數(shù)圖象上“制高點”的坐標為，
根據(jù)題意得，
解得，
∴正比例函數(shù)圖象上“制高點”的坐標為；
【小問2詳解】
解：設點A的坐標為，
根據(jù)題意得，整理得，
∵點A是反比例函數(shù)圖象上唯一的“立足點”，
∴，
解得，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
當時，，
解得，，
∴點A的坐標為，
設點是反比例函數(shù)圖象上的“制高點”，
根據(jù)題意得，
消去并整理得，
解得，，
∴，，
∴點B，C的坐標分別為，，
設直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
∵面積與的面積相等，
∴，
可設直線的解析式為，
將代入得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得或，
∴，
在中，令，則，
將直線向上平移4個單位的直線，
直線與雙曲線的交點為，
此時也滿足面積與的面積相等，
聯(lián)立得，
解得或，
將或分別代入，
得或，
∴或，
綜上，點M的坐標為或或；
【小問3詳解】
解：∵，且，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
由，得；
由，得；
∴，
設函數(shù)，
∴當時，
函數(shù)的值隨自變量的增大而減少，
當，；
當，；
∴，
∴．
【點睛】此題重點考查一次函數(shù)的圖象與性質、反比例函數(shù)的圖象與性質、二次函數(shù)的圖象與性質、一元二次方程根與系數(shù)的關系、新定義問題的求解等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．
25. 如圖，的半徑為5，是的直徑，弦于點F，，P是上一點，連接交于點E，連接交于點G，的延長線與的延長線交于點Q．
（1）如果，求證：；
（2）在（1）的條件下，求線段的長；
（3）如果，求的面積．
【答案】（1）見解析 （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）連接，利用垂徑定理和圓周角定理證明四邊形是菱形，再利用圓周角定理即可證明，得到；
（2）連接，利用垂徑定理求得，，利用余弦函數(shù)求得，代入數(shù)據(jù)求解即可；
（3）連接，利用勾股定理求得的長，證明，利用相似三角形的性質列式求得，，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
證明：連接，
∵是的直徑，弦于點F，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：連接，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
解得；
【小問3詳解】
解：連接，
∵，，
∴，
∵四邊形是圓內接四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，菱形的判定和性質．正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．
組別
身高范圍
人數(shù)
6
12
10
4
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）

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2024年湖南省長沙市芙蓉區(qū)中考一模數(shù)學試題（原卷版+解析版）：

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