廣東省佛山市南海區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

說明：本試卷共4頁，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．
一．選擇題（每題只有唯一答案，每小題3分，共30分）
1. 下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；
C．從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．從左到右的變形因式分解不徹底，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
2. 不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示即可．
【詳解】解：
系數(shù)化為1得：，
在數(shù)軸上表示為：
故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查求不等式的解集及在數(shù)軸上表示，熟練掌握解集在數(shù)軸上的表示方法是解題關(guān)鍵．
3. 已知實(shí)數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】A、兩邊同減去2得，此項(xiàng)正確
B、兩邊同減去1得，此項(xiàng)正確
C、先兩邊同減去2得，再兩邊同乘以得，此項(xiàng)正確
D、先兩邊同減去2得，再兩邊同乘以2得，但與的大小關(guān)系不能確定，此項(xiàng)錯(cuò)誤
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4. 在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長度后的坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了坐標(biāo)系中的點(diǎn)的平移，坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移遵循：上加下減，左減右加的規(guī)律，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長度后的坐標(biāo)是，即，
故選A．
5. 下列不等式變形正確的是（）
A. 由4x﹣1≥0得4x＞1B. 由5x＞3得x＞15
C. 由﹣2x＜4得x＜﹣2D. 由＞0得y＞0
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)，不等式不改變方向；兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)正數(shù)不等式不改變方向；兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式改變方向，對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、由4x﹣1≥0得4x≥1，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、由5x＞3得，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、由﹣2x＜4得x＞﹣2，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、由得y＞0，原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 下列圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查中心對稱圖形的概念．如果一個(gè)圖形繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與原來圖形完全重合，則這個(gè)圖形叫中心對稱圖形，這點(diǎn)叫對稱中心．
根據(jù)中心對稱圖形的概念逐項(xiàng)判定即可．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
7. 下列命題是假命題的是（）
A. 對頂角相等B. 直角三角形的兩個(gè)銳角互余
C. 同位角相等D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查真假命題的判定，熟練掌握對頂角性質(zhì)、直角三角形現(xiàn)銳角互余的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等式的性質(zhì)是銀題的關(guān)鍵．
根據(jù)對頂角性質(zhì)判定A；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判定B，根據(jù)兩直線平行，同位角相等．沒有平行這個(gè)條件，同位角相等是不成立的，判定C；根據(jù)等式性質(zhì)判定D．
【詳解】解：A、對頂角相等是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、直角三角形的兩個(gè)銳角互余是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、因?yàn)閮芍本€平行，同位角相等，所以同位角相等是假命題，故此選項(xiàng)符合題意；
D、如果，那么是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
8. 如圖，平分于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值（）
A. 大于3B. 等于3C. 小于3D. 無法確定
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，垂線段最短，關(guān)鍵是由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，由垂線段最短得到當(dāng)時(shí)，的值最小，由角平分線的性質(zhì)得到．
由角平分線定義得到，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，的值最小，由角平分線的性質(zhì)得到，于是得到的最小值是3．
【詳解】解：平分，，
，
于點(diǎn)，
，
，
當(dāng)時(shí)，的值最小，
平分，，
，
的最小值是3．
故選：B．
9. 如圖將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，若，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，進(jìn)而可求解，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，且，
，，
，
故選B．
10. 如圖是由若干個(gè)相同的小正三角形組成的圖形，小明在該圖形中建立了平面直角坐標(biāo)系，并測得點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，由此可知、點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題考查了點(diǎn)的平移、正三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，求出等邊三角形的邊長，再根據(jù)平移方式即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【詳解】解：由點(diǎn)B的坐標(biāo)是可知，每個(gè)小正三角的高是3，如圖，小正三角形邊長為a，
在中，，
∴，
∴，即，
解得，
即每個(gè)小正三角形的邊長為，
∵點(diǎn)C是由點(diǎn)A向右平移個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是，
故選：A
二．填空題（每小題3分，共15分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了公式法分解因式，正確運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵．
直接利用平方差公式：，分解因式即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
12. 命題“對頂角相等”的逆命題是 _____________．
【答案】相等的角為對頂角
【解析】
【分析】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．也考查了逆命題．
所以此題可根據(jù)交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得到其逆命題．
【詳解】解：命題“對頂角相等”的逆命題是“相等的角為對頂角”．
故答案為：相等角為對頂角．
13. 如果，，那么代數(shù)式的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了提公因式法的運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
故答案為：．
14. 等腰三角形有一個(gè)角是，則這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角為_____________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】未指明已知的角是頂角還是底角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而求解．
【詳解】解：①當(dāng)這個(gè)角是頂角時(shí)，底角= ；
②當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)，另一個(gè)底角為，因?yàn)椋环先切蝺?nèi)角和定理．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是能夠進(jìn)行分類討論．
15. 如圖，四邊形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，使得，則的最大值為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】將沿翻折得到，將沿翻折得到，連接，證明是等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可得，即可求出最大值．
【詳解】解：將沿翻折得到，將沿翻折得到，連接，
由翻折可知：，，
，，
∵E是中點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
當(dāng)D，M，N，C共線時(shí)，取得最大值為，
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，折疊問題，兩點(diǎn)之間線段最短，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（一）（第16題~第20題，每小題5分，共25分）
16. 解不等式組
【答案】
【解析】
【分析】首先解每一個(gè)不等式，可求得每一個(gè)不等式的解集，據(jù)此再求得不等式組的解集即可．
【詳解】解：
由①得，
解得，
由②得，
解得，
所以，原不等式組的解集為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握和運(yùn)用一元一次不等式組的解法是解決本題的關(guān)鍵．
17. 已知二次三項(xiàng)式可以分解為為常數(shù)，求m、n的值．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查根據(jù)因式分解的結(jié)果求參，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．
先計(jì)算，再比較即可得到答案
【詳解】解：∵
∴
解得：．
18. 如圖，在中，是的角平分線，，垂足為．求的長是多少厘米？
【答案】厘米
【解析】
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得厘米，從而得到，進(jìn)而得到厘米，再由勾股定理可得厘米，即可求解．
【詳解】解：，
，
是角平分線，，
厘米，，
，
厘米，
在中，由勾股定理得：厘米，
，
厘米．
答：的長是厘米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖，在中，，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，問當(dāng)為何值時(shí)，為等邊三角形．
【答案】當(dāng)為2時(shí)，為等邊三角形
【解析】
【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握30度角的直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列出方程求出的值．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，，
，
，
，為等邊三角形，
，
，
，
當(dāng)為2時(shí)，為等邊三角形．
20. 如圖①所示，在的正方形網(wǎng)格中，選取14個(gè)格點(diǎn)，以其中三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出了，
（1）直接寫出的面積______；
（2）請你以選取的格點(diǎn)為頂點(diǎn)再畫出一個(gè)三角形，且分別滿足下列條件：
I．圖②中所畫的三角形與組成的圖形是軸對稱圖形；
II．圖③中所畫的三角形與組成的圖形是中心對稱圖形．
【答案】（1）3 （2）見解析
【解析】
【分析】此題主要考查了作軸對稱圖形，作中心對稱圖形，三角形面積．
（1）根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．
（2）I．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可；
Ⅱ．根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)作圖即可．
【小問1詳解】
解：；
【小問2詳解】
解：Ⅰ．如圖②所示，即為所求；
Ⅱ．如圖③所示，即為所求．
四、解答題（二）（第21題、第22題每小題8分，第23題10分，共26分）
21. 如圖所示，在同一個(gè)坐標(biāo)系中一次函數(shù)和的圖象，分別與軸交于點(diǎn)，兩直線交于點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，觀察圖象并回答下列問題：
（1）關(guān)于的方程的解是______；關(guān)于的不等式的解集是______；
（2）直接寫出關(guān)于不等式組解集是______；
（3）若點(diǎn)坐標(biāo)為，關(guān)于的不等式的解集是______．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查一次函數(shù)與一元一次不等式、一次函數(shù)與一元一次方程，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
（1）利用直線與軸的交點(diǎn)即為時(shí)，對應(yīng)的的值，進(jìn)而得出答案；
（2）利用兩直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可得出答案；
（3）利用圖象即可求出答案．
【小問1詳解】
解：一次函數(shù)和的圖象，分別與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，
關(guān)于的方程的解是，
關(guān)于的不等式的解集是；
【小問2詳解】
解：根據(jù)圖象可得關(guān)于的不等式組解集為；
【小問3詳解】
解：點(diǎn)，
結(jié)合圖象可知，不等式的解集是．
22. 已知：在中，．
（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)D，連接；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）求證：．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】（1）分別以點(diǎn)，為圓心，大于為半徑畫弧，過兩弧的兩個(gè)交點(diǎn)作直線即可得出結(jié)論；
（2）先利用等腰三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求出，即可求出，結(jié)論得證．
【小問1詳解】
解：如圖，
是線段的垂直平分線，
【小問2詳解】
證明：，，
，
是的垂直平分線，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出．
23. 小明用練習(xí)本可以到甲、乙兩家商店購買，已知兩家商店的標(biāo)價(jià)都是每本1元，甲商店的優(yōu)惠條件是，購買10本以內(nèi)（包括10本）按標(biāo)價(jià)出售，購買10本以上，從第11本開始按標(biāo)價(jià)的出售；乙商店的優(yōu)惠條件是，從第一本起按標(biāo)價(jià)的出售．
（1）若設(shè)小明重購買本練習(xí)本，則當(dāng)小明到甲商店購買時(shí)，需付款______元，當(dāng)小明到乙商店購買時(shí)，需付款______元；
（2）小明在甲、乙兩家商店中任意選一家購買練習(xí)本，為了節(jié)約開支，應(yīng)怎樣選擇更劃算？
【答案】（1）；
（2）買30本練習(xí)本時(shí)，兩家商店付款相同；買少于30本練習(xí)本時(shí)去乙商店買更劃算；買多于30本練習(xí)本去甲商店買更劃算
【解析】
【分析】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量與不等量關(guān)系列出方程與不等式，再求解．
（1）根據(jù)題中的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)表示出到甲乙兩商店的費(fèi)用即可；
（2）根據(jù)小明所購買的練習(xí)本的本數(shù)分類討論即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得，當(dāng)小明到甲商店購買時(shí)，須付款：，
當(dāng)?shù)揭疑痰曩徺I時(shí)，須付款：．
故答案為：；.
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，解得：，則買30本練習(xí)本時(shí)，兩家商店付款相同；
當(dāng)時(shí)，解得：，買少于30本練習(xí)本時(shí)去乙商店買更劃算；
當(dāng)時(shí)，解得：，買多于30本練習(xí)本去甲商店買更劃算．
答：買30本練習(xí)本時(shí)，兩家商店付款相同；買少于30本練習(xí)本時(shí)去乙商店買更劃算；買多于30本練習(xí)本去甲商店買更劃算．
五、解答題（三）（每小題12分，共24分）
24. 解答下列問題．
（1）問題提出：將一塊等腰直角三角板放置在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)A在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)A坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為．
（2）問題探究：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知，，若，點(diǎn)在第一象限，且，試求出點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）問題解決：如圖，直線分別于軸軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，，的頂點(diǎn)，分別在線段，上，且，，試求出的面積．
【答案】（1）
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為
（3）
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)B作軸，根據(jù)題意得出，結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)、點(diǎn)分別作軸的平行線、分別交過點(diǎn)A與軸的垂線于點(diǎn)，D，利用（1）中方法得出，結(jié)合圖形確定線段長度即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)分別作軸、軸的垂線，交于點(diǎn)，H，，交于點(diǎn)，同理得出，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出點(diǎn)，結(jié)合圖形利用求解即可．
【小問1詳解】
解：過點(diǎn)B作軸，如圖所示：
∴，
∴，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，
∴,
∵等腰直角三角板，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
過點(diǎn)、點(diǎn)分別作軸的平行線、分別交過點(diǎn)A與軸的垂線于點(diǎn)，D，
同理，
，，，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
【小問3詳解】
過點(diǎn)分別作軸、軸的垂線，交于點(diǎn)，H，，交于點(diǎn)，
同理，
，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
即：，則：，
解得：，則點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
．
【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形等，理解題意，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
25. （1）如圖①，△ABC是等邊三角形，M為邊BC的中點(diǎn)，連接AM，將線段AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段AD，連接BD；點(diǎn)N在BC的延長線上，且CN＝MC，連接AN．求證：BD＝AN．
（2）若將問題（1）中的條件“M為邊BC的中點(diǎn)”改為“M為邊BC上的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？若成立，請畫出圖形并給出證明；若不成立，請舉反例．
【答案】（1）證明過程見解析；（2）成立，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)中點(diǎn)得到，，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明，即可得解；
（2）當(dāng)，過點(diǎn)A、點(diǎn)D作，，再證明，得到，，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，證明即可得解；當(dāng)，根據(jù)相同的方法證明即可；
【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴，，
又∵M(jìn)為邊BC的中點(diǎn)，
∴，，，
∵AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AD，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）結(jié)論成立，理由如下：
如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A、點(diǎn)D作，，
∴，
∵，，
∴，
∵AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AD，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵△ABC是等邊三角形，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∵，，，
在和中，
，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A、點(diǎn)D作，，
∴，
∵，，
∴，
∵AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AD，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵△ABC是等邊三角形，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∵，，，
在和中，
，
∴，
∴；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．

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