2024.5
（考試時間120分鐘 滿分150分）
本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分
第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 已知集合則（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函數中，既是奇函數又在其定義域上是增函數的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 設等差數列的前n項和為，若，，則 （ ）
A. 60B. 80C. 90D. 100
4. 已知拋物線的焦點為F，點P為C上一點.若，則點 P的橫坐標為（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
5. 已知函數，存在最小值，則實數a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知是兩個互相垂直的平面，是兩條直線，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
7. 在平面直角坐標系中，銳角以為頂點，為始邊.將的終邊繞逆時針旋轉后與單位圓交于點，若，則（ ）
A. B. C. D.
8. 假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力滿足公式 ，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風面積，是該飛行器相對于空氣的速度， 是空氣阻力系數（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率. 當不變，比原來提高時，下列說法正確的是（ ）
A. 若不變，則比原來提高不超過
B. 若不變，則比原來提高超過
C. 為使不變，則比原來降低不超過
D. 為使不變，則比原來降低超過
9. 已知雙曲線的右焦點為F，c是雙曲線C的半焦距，點A是圓上一點，線段FA與雙曲線C的右支交于點B.若 ，則雙曲線C的離心率為（ ）
A. B.
C. D.
10. 北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中記載了“隙積術”，提出長方臺形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積的第一層有個小球，第二層有個小球，第三層有個小球……依此類推，最底層有 個小球，共有層，由“隙積術”可得 這 些 小 球 的 總 個 數 為 若由小球堆成的某個長方臺形垛積共8層，小球總個數為240，則該垛積的第一層的小球個數為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
第二部分（非選擇題 共110 分）
二、填空題共5 小題，每小題5分，共25分.
11. 復數滿足，則的虛部是__________．
12. 已知向量，，且，則實數k=______.
13. 在的展開式中，若二項式系數的和等于，則________，此時的系數是_______.（用數字作答）
14. 若直線與曲線 有兩個不同的交點，則實數的一個取值為_______.
15. 設為正整數，已知函數，，. 當時，記，其中. 給出下列四個結論：
①，；
②，；
③若，則；
④若，則.
其中所有正確結論的序號是________.
三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 在中，為銳角，且
（1）求的值;
（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求.
條件①:
條件②:;
條件③:.
注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.
17. 科技發(fā)展日新月異，電動汽車受到越來越多消費者的青睞.據統(tǒng)計，2023 年1月至12月 A，B兩地區(qū)電動汽車市場各月的銷售量數據如下：
月銷量比是指：該月 A 地區(qū)電動汽車市場的銷售量與B 地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數）.
（1）在2023年2月至12月中隨機抽取1個月，求 A 地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的概率；
（2）從2023 年1月至12月中隨機抽取3個月，求在這3個月中恰有1個月的月銷量比超過8且至少有1個月的月銷量比低于5的概率；
（3）記2023年1月至12月 A，B 兩地區(qū)電動汽車市場各月銷售量數據的方差分別為，，試判斷與的大小.（結論不要求證明）
18. 如圖，六面體是直四棱柱 被過點 的平面所截得到的幾何體，底面，底面是邊長為2的正方形，

（1）求證: ；
（2）求平面. 與平面 的夾角的余弦值；
（3）在線段 DG上是否存在一點 P，使得 若存在，求出 的值；若不存在，說明理由.
19. 已知橢圓E的兩個頂點分別為，，焦點在x軸上，且橢圓E過點.
（1）求橢圓E的方程；
（2）設O為原點，不經過橢圓E的頂點的直線l與橢圓E交于兩點，直線BP與直線OC交于點H，點M與點Q關于原點對稱.
（i）求點H的坐標（用，表示）；
（ii）若A，H，M三點共線，求證：直線l經過定點.
20 已知函數
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）若恒成立，求a的值；
（3）若有兩個不同的零點，且，求a的取值范圍.
21. 設為正整數，集合對于，設集合.
（1）若，寫出集合；
（2）若，且滿足令 ，求證： ；
（3）若，且 ，求證： .

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
A 地區(qū)
（單位：萬輛）
29.4
39.7
54.3
49.4
56.2
65.4
61.1
68.2
70.2
71.9
771
89.2
B 地區(qū)
（單位：萬輛）
7.8
8.8
8.1
8.3
9.2
10.0
97
9.9
10.4
9.4
8.9
101
月銷量比
3.8
4.5
6.7
6.0
6.1
6.5
6.3
6.9
6.8
7.6
8.7
8.8

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