2024.11
（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）
本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 設(shè)集合，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 若函數(shù)在處取得最小值，則（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
3. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增是（ ）
A B.
C. D.
4. 如圖，在中，， ，則（ ）

A. B.
C. D.
5. 已知單位向量，滿足，設(shè)向量，則向量與向量夾角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
6. 《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”.由此推算，在這5天中，織布超過1尺的天數(shù)共有（ ）
A 1天B. 2天C. 3天D. 4天
7. 已知均為第二象限角，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
8. 已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在三棱錐中，棱，，兩兩垂直，點(diǎn)在底面內(nèi)，已知點(diǎn)到，，所在直線的距離分別為1，2，2，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. 3D.
10. 數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，集合論的產(chǎn)生豐富了現(xiàn)代計(jì)數(shù)方法.記為集合的元素個(gè)數(shù)，為集合的子集個(gè)數(shù)，若集合滿足：①，；②，則的最大值是（ ）
A. 99B. C. D. 96
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 復(fù)數(shù)__________．
12. 在中，已知，則__________；________.
13. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（A，B為常數(shù)），寫出一個(gè)有序數(shù)對(duì)________，使得數(shù)列是遞增數(shù)列.
14. 某種滅活疫苗的有效保存時(shí)間（單位：）與儲(chǔ)藏的溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)，其中）.已知該疫苗在0℃時(shí)的有效保存時(shí)間是1440h，在5℃時(shí)的有效保存時(shí)間是360h，則該疫苗在10℃時(shí)的有效保存時(shí)間是________h.
15. 對(duì)于無窮數(shù)列，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有不等式成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì). 給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在公差不為的等差數(shù)列具有性質(zhì)；
②以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列具有性質(zhì)；
③若由數(shù)列的前項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列具有性質(zhì)，則數(shù)列也具有性質(zhì)；
④若數(shù)列和均具有性質(zhì)，則數(shù)列也具有性質(zhì).
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 在中，.
（1）求的值；
（2）若，，求b及的面積.
17. 如圖，在四棱錐中，平面，，，，.

（1）求證：平面PAD；
（2）求平面與平面PCD的夾角的余弦值；
（3）記平面與平面PCD交線為l.試判斷直線AB與l的位置關(guān)系，并說明理由.
18. 已知函數(shù).
（1）若，求的最小值；
（2）若存在極小值，求的取值范圍.
19. 設(shè)函數(shù).
（1）若，，求的值；
（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求ω，φ的值.
條件①：當(dāng)時(shí)，取到最小值；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
20 已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）若，其中，求證：.
21. 若有窮正整數(shù)數(shù)列A：，，，…，滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列A為T數(shù)列：①；②對(duì)任意的，都存在正整數(shù)，使得.
（1）判斷數(shù)列A：1，1，1，3，3，5和數(shù)列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否為T數(shù)列，說明理由；
（2）已知數(shù)列A：，，，…，是T數(shù)列.
（i）證明：對(duì)任意的，與不能同時(shí)成立；
（ii）若n為奇數(shù)，求的最大值.

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