2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)二數(shù)學(xué)試題（含答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若全集U=0,1,2,3,4,A=0,1,4,B=1,3，則(?UA)∪B=( )
A. 2,3B. 1,3,4C. 1,2,3D. 0,1
2.關(guān)于函數(shù)fx=lg22x?12的單調(diào)性的說(shuō)法正確的是( )
A. 在R上是增函數(shù)B. 在R上是減函數(shù)
C. 在區(qū)間(14,+∞)上是增函數(shù)D. 在區(qū)間(14,+∞)上是減函數(shù)
3.已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,3，則sin3π+α=( )
A. 3 1313B. ?3 1313C. 2 1313D. ?2 1313
4.函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，fx=lg2x，則f?4=( )
A. 12B. 2C. ?12D. ?2
5.函數(shù)y=f(x)，其中f(x)=asinx+b，(x∈0,2π)，a,b∈R，它的圖象如圖所示，則y=f(x)的解析式為( )．
A. f(x)=12sinx+1，x∈0,2πB. f(x)=sinx+12，x∈0,2π
C. f(x)=32sinx+1，x∈0,2πD. f(x)=32sinx+12，x∈0,2π
6.若a，b，l是空間中三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中真命題是( )
A. 若a//β，a?α，α∩β=l，則a//l
B. 若α⊥β，α∩β=l，a⊥l，則a⊥β
C. 若a?α，b?β，a//b，則α//β
D. 若α⊥β，a?α，b?β，則a⊥b
7.已知x3?y30B. lny?x+1>0
C. lny+x>0D. lny?x>0
8.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則“a3>a2>a1”是“數(shù)列Sn為遞增數(shù)列”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
9.光線通過(guò)一塊玻璃，強(qiáng)度要損失10%.設(shè)光線原來(lái)的強(qiáng)度為k，通過(guò)x塊這樣的玻璃以后強(qiáng)度為y，則經(jīng)過(guò)x塊這樣的玻璃后光線強(qiáng)度為：y=k?0.9x，那么至少通過(guò)( )塊這樣的玻璃，光線強(qiáng)度能減弱到原來(lái)的14以下(lg3≈0.477,lg2≈0.3)
A. 12B. 13C. 14D. 15
10.已知無(wú)窮數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，若對(duì)任意正整數(shù)k>2024都有Sk>Sk+1，則下列各項(xiàng)中可能成立的是( )
A. a1，a3，a5，…，a2n?1為等差數(shù)列，a2，a4，a6，…，a2n為等比數(shù)列
B. a1，a3，a5，…，a2n?1為等比數(shù)列，a2，a4，a6，…，a2n為等差數(shù)列
C. a1，a2，a3，…，a2024為等差數(shù)列，a2024，a2025，…，an，…為等比數(shù)列
D. a1，a2，a3，…，a2024為等比數(shù)列，a2024，a2025，…，an，…為等差數(shù)列
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a2=12,a5=4，則S3= ．
12.已知向量a=2,1，b=?2,4，則a?b=
13.已知α∈?π2,π2，且2+3sinα=cs2α，則α= ．
14.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足xy=10,lgx?lgy=?34，則lgxy= ．
15.某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力(戰(zhàn)斗單位數(shù))隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：xt=X0cs? abt? baY0sin? abtyt=Y0cs? abt? abX0sin? abt，其中正實(shí)數(shù)X0，Y0分別為紅、藍(lán)兩方初始兵力，t為戰(zhàn)斗時(shí)間；xt，yt分別為紅、藍(lán)兩方t時(shí)刻的兵力;正實(shí)數(shù)a，b分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；cs?x=ex+e?x2和sin?x=ex?e?x2分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為T(mén).給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若X0>Y0且a=b，則xt>yt0≤t≤T；
②若X0>Y0且a=b，則T=1aln X0+Y0X0?Y0；
③若X0Y0>ba，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；
④若X0Y0> ba，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．
三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
16.(本小題12分)
已知函數(shù)fx=1+ 3tanxcs2x．
(Ⅰ)若α是第二象限角，且sinα= 63，求fα的值；
(Ⅱ)求函數(shù)fx的定義域和值域．
17.(本小題12分)
在?ABC中，已知a2+b2? 2ab=c2．
(1)求角C的大?。?br>(2)若c=2 2，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得?ABC存在且唯一確定，求?ABC的面積．
條件①：sinA=45；
條件②：2acsA=ccsB+bcsC；
條件③：?ABC的周長(zhǎng)是2 6+2 2．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
18.(本小題12分)
如圖．在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求證：平面AEF⊥平面PBC；
(2)若F為線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，求平面AFE與平面AFC夾角的余弦值．
19.(本小題13分)
已知函數(shù)fx=ax2+x?1ex，a∈R．
(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線方程；
(2)當(dāng)a>0時(shí)，求fx的單調(diào)區(qū)間；
(3)在(2)的條件下，若對(duì)于任意x∈1,3，不等式12≤fx≤1+1e2成立，求a的取值范圍．
20.(本小題13分)
已知函數(shù)fx=ex?12x2，設(shè)l為曲線y=f(x)在點(diǎn)Px0,fx0處的切線，其中x0∈?1,1．
(1)求直線l在y軸上的截距的取值范圍：
(2)設(shè)直線y=a分別與曲線y=f(x)和射線y=x?1(x∈0,+∞)交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值及此時(shí)a的值．
21.(本小題13分)
已知An:a1,a2,?,ann≥3為有窮整數(shù)數(shù)列，若An滿(mǎn)足：ai+1?ai∈p,qi=1,2,?,n?1，其中p，q是兩個(gè)給定的不同非零整數(shù)，且a1=an=0，則稱(chēng)An具有性質(zhì)T．
(1)若p=?1，q=2，那么是否存在具有性質(zhì)T的A5？若存在，寫(xiě)出一個(gè)這樣的A5；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)若p=?1，q=2，且A10具有性質(zhì)T，求證：a1,a2,?,a9中必有兩項(xiàng)相同；
(3)若p+q=1，求證：存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的Ak，都有a1,a2,?,ak?1中任意兩項(xiàng)均不相同．
參考答案
1.C
2.C
3.B
4.D
5.A
6.A
7.B
8.D
9.C
10.C
11.74
12.5
13.?π2或?π6
14.±2
15.①②④
16.解：(1)因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，且sinα= 63，
所以csα=? 1?sin2α=? 33．
所以tanα=sinαcsα=? 2，
所以fα=1? 3× 2? 332=1? 63．
(2)函數(shù)fx的定義域?yàn)閤x∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z．
化簡(jiǎn)，得fx=1+ 3tanx=cs2x
=1+ 3sinxcsxcs2x
=cs2x+ 3sinxcsx
=1+cs2x2+ 32sin2x
=sin2x+π6+12，
因?yàn)閤∈R，且x≠kπ+π2，k∈Z，
所以2x+π6≠2kπ+7π6，
所以?1≤sin2x+π6≤1．
所以函數(shù)fx的值域?yàn)?12,32．
(注：或許有人會(huì)認(rèn)為“因?yàn)閤≠kπ+π2，所以fx≠0”，其實(shí)不然，因?yàn)閒?π6=0.)

17.(1)因?yàn)閍2+b2? 2ab=c2，即a2+b2?c2= 2ab，
可得csC=a2+b2?c22ab= 2ab2ab= 22，
且C∈0,π，所以C=π4．
(2)因?yàn)镃=π4，c=2 2，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=2 2 22=4，
可得a=4sinA,b=4sinB．
若選條件①：因?yàn)镃=π4，sinA=45，即sinC0a1a2=82? 2>0，可知方程a2?2 6a+82? 2=0有2個(gè)不相等的正實(shí)根，
即邊a不唯一，不合題意．
綜上，只有選條件②符合題意．

18.(1)因PA=AB，E為PB中點(diǎn)，則AE⊥PB，
又PA⊥底面ABCD，而B(niǎo)C?底面ABCD，則有PA⊥BC，
又因BC⊥AB，AB∩PA=A，AB,PA?平面PAB，于是得BC⊥平面PAB，
而AE?平面PAB，因此BC⊥AE，
又BC∩PB=B，BC,PB?平面PBC，從而得AE⊥平面PBC
AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．
(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，
不妨設(shè)PA=AB=6，則A(0,0,0),E(3,0,3),F(6,2,0),P(0,0,6)，AE=(3,0,3),AF=(6,2,0),AP=(0,0,6)，
因PA⊥底面ABCD，則平面AFC的法向量為AP=(0,0,6)，
設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，則AE?n=3x+3z=0AF?n=6x+2y=0,
令x=?1，得n=(?1,3,1)，
設(shè)平面AFE與平面AFC夾角為θ，顯然θ為銳角，
則csθ=|cs?AP,n?|=|AP?n||AP||n|=66× 11= 1111，
所以二平面AFE與平面AFC夾角的余弦值為 1111．

19.解：(1)因?yàn)閍=0，所以fx=x?1ex．
故f′x=?x+2ex．
所以f0=?1，f′0=2．
所以曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線方程為y+1=2x，
即2x?y?1=0．
(2)因?yàn)閒 (x)=ax2+x?1ex，定義域?yàn)镽，
所以f′x=?ax2?2ax+x?2ex=?ax+1x?2ex．
因?yàn)閍>0，令f′x=0，
即ax+1x?2=0，
解得x1=?1a，x2=2，
所以?1a0，
所以e2>e3?418．
綜上所述，a的取值范圍是e2,e24．

20.(1)對(duì)fx求導(dǎo)數(shù)，得f′x=ex?x，所以切線l的斜率為f′x0=ex0?x0，由此得切線l的方程為：y?ex0?12x02=ex0?x0x?x0，
即y=ex0?x0x+1?x0ex0+12x02.得直線l在y軸上的截距為1?x0ex0+12x02．
設(shè)gx=1?xex+12x2，x∈?1,1.所以g′x=x1?ex，令g′x=0，得x=0．
列表得：
所以函數(shù)gx在?1,1上單調(diào)遞減，所以gxmax=g?1=2e+12，gxmin=g1=12，
所以直線l在y軸上的截距的取值范圍是12,2e+12．
(2)過(guò)M作x軸的垂線，與射線y=x?1交于點(diǎn)Q，所以?MNQ是等腰直角三角形．
所以MN=MQ=fx?gx=ex?12x2?x+1．
設(shè)?x=ex?12x2?x+1，x∈0,+∞，所以?′x=ex?x?1．
令kx=ex?x?1，則k′x=ex?1>0(x>0)，
所以kx=?′x在0,+∞上單調(diào)遞增，
所以?′x≥?′0=0，從而?x在0,+∞上單調(diào)遞增．
所以?xmin=?0=2，此時(shí)M0,1，N2,1．
所以MN的最小值為2，此時(shí)a=1．

21.(1)不存在具有性質(zhì)T的A5，理由如下：
設(shè)A5:a1,a2,a3,a4,a5，由于a1=a5=0，ai+1?ai∈?1,2i=1,2,3,4，
設(shè)a2?a1，a3?a2，a4?a3，a5?a4中有m個(gè)?1，4?m個(gè)2，
則有a2?a1+a3?a2+a4?a3+a5?a4=a5?a1=0，
所以?1×m+24?m=0，解得m=83，與m為整數(shù)矛盾，
所以不存在具有性質(zhì)T的A5．
(2)設(shè)a1，a2，a3，?，a10中的最大值為M，則存在ak，使得ak=M或ak=?M，
若存在ak，使ak=M，下證：ak，ak+1，?，a10可以取遍0到M之間所有的整數(shù)，
假設(shè)存在正整數(shù)mmm，設(shè)i0是集合B中元素的最大值，
則有ai0>m>ai0+1，
這與ai+1?ai∈?1,2i=1,2,?,n?1矛盾，
所以ak，ak+1，?，a10可以取遍0到M之間所有的整數(shù)，
若M=1，則a1，a2，a3，?，a9的取值只能為0，±1中的數(shù)，
此時(shí)a1，a2，a3，?，a9中必有兩項(xiàng)相同，
若M=2，則a1，a2，a3，?，a9的取值只能為0，±1，±2中的數(shù)，
此時(shí)a1，a2，a3，?，a9中必有兩項(xiàng)相同，
若M≥3，則a1，a2，a3，?，ak中一定有異于0和M的正整數(shù)，
再由ak，ak+1，?，a10可以取遍0到M之間所有的整數(shù)，
所以a1，a2，a3，?，a9中必有兩項(xiàng)相同，
當(dāng)ak=?M，同理可證：a1，a2，?，ak可以取遍?M到0之間所有的整數(shù)，
從而a1，a2，a3，?，a9中必有兩項(xiàng)相同．
(3)不妨設(shè)p

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