注意事項：
1．本試卷共6頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘．
2．本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項的要求直接把答案填寫在答題卡上．答在試卷上的答案無效．
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．
1．下列各式是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式化簡后能與合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．一直角三角形的兩直角邊長分別為6和8，則第三邊的長為（ ）．
A．10B．C．D．10或
4．下列關(guān)于正方形的說法錯誤的是（ ）
A．正方形的四條邊都相等，四個角都是直角
B．正方形有四條對稱軸
C．正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等
D．正方形一條對角線上的點到另一條對角線兩端點的距離不一定相等
5．如圖，在中，，，是斜邊的垂直平分線，分別交于點．若，則的長為（ ）
A．8B．4C．D．
6．已知三角形的三邊長，則的值為（ ）
A．7B．C．D．
7．已知，，，則代數(shù)式的值為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，圓柱的底面直徑為，高為，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點A爬到點B的最短路徑是（注：取3）（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，Rt△ABC中，AB=6，BC=4，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為（ ）
A．B．C．D．5
10．如圖，在矩形中，O為中點，過O點且分別交于F，交于E，點G是中點且，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）

（1）；（2）；（3）是等邊三角形；（4）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．寫出一組常見的勾股數(shù)
12．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是
13．如圖，是的邊的中點，點在軸上兩點的橫坐標分別是，則點的坐標是
14．如圖，將面積為的半圓與兩個正方形拼接成如圖所示的圖形，則這兩個正方形的面積之和為
15．如圖，依次連接一個邊長為5、一條對角線長為6的菱形各邊的中點，得到第2個四邊形，再依次連接第2個四邊形各邊的中點，得到第3個四邊形，按此方法繼續(xù)下去，則第7個四邊形的面積是

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）：
16．計算：
(1)；
(2)．
17．先化簡，再求值：，其中，．
18．如圖，在平行四邊形中，點在對角線上，請你添加一個條件使與全等，并寫出證明過程．（溫馨提示：證明時角的表示最好用阿拉伯?dāng)?shù)字，以下同）
19．下面是小銘設(shè)計的尺規(guī)作圖．
已知：矩形ABCD．
作法：
①分別以A，B為圓心，以大于長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，分別交于點E，F(xiàn)；
②作直線EF；
③以點A為圓心，AB為半徑作弧，交直線EF于點G，連接AG，BG；
根據(jù)小銘設(shè)計的尺規(guī)作圖，解決下列問題：
(1)求的度數(shù)；
(2)過點D作DH//AG，交直線EF于點H．
①求證：四邊形AGHD為平行四邊形．
②用等式表示平行四邊形AGHD的面積和矩形ABCD的面積的數(shù)量關(guān)系為________．
20．如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是，點，在格點上每個小正方形的頂點稱為格點按要求回答問題：

(1)直接寫出的長；
(2)在網(wǎng)格中找到一格點，使得，，并通過計算判斷的形狀．
21．交通安全是社會關(guān)注的熱點問題，安全隱患主要是超速、超載、不按規(guī)定行駛．某中學(xué)八年級數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)進行了測試汽車速度的實驗．如圖，先在筆直的公路l旁選取一點P，在公路l上確定點，使得，米，．這時，一輛轎車在公路l上由B向A勻速駛來，測得此車從B處行駛到A處所用的時間為3秒，并測得．此路段限速每小時80千米，試判斷此車是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：）．
22．如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC＝8cm，射線AG∥BC，點E從點A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運動，設(shè)運動時間為t（s）．
（1）連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點D時，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形ACFE是菱形時，求t的值.
（3）當(dāng)△ACE的面積是△ACF的面積的2倍時，求t的值.

23．在正方形中，是直線上一點，連接，交射線于點F，點G與點F關(guān)于直線對稱，連接．
① ② ③
【問題解決】
（1）如圖①，當(dāng)點E在邊上時，求證：；
【類比探究】
（2）如圖②，當(dāng)點E在的延長線上時，線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由：
（3）如圖③，當(dāng)點E在的延長線上時，線段之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需要證明．
參考答案與解析
1．A
【分析】本題考查最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的定義進行求解即可：被開方數(shù)不含能開的盡的因數(shù)或因式；被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式是二次根式叫做最簡二次根式．
【解答】A、是最簡二次根式，符合題意；
B、被開方數(shù)是小數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；
C、，不是最簡二次根式，不符合題意；
D、被開方數(shù)是分數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；
故選：A．
2．B
【分析】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式，熟記定義并應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各選項的二次根式化簡，再根據(jù)能同類二次根式的定義解答即可．
【解答】解：A、不能與合并，故本選項不符合題意；
B、，能與合并，故本選項符合題意；
C、，不能與合并，故本選項不符合題意；
D、，不能與合并，故本選項不符合題意；
故選：B．
3．A
【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．
【解答】∵一直角三角形的兩直角邊長分別為6和8，
∴第三邊的長為，
故選：A．
【點撥】本題考查的是勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．
4．D
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解正方形的性質(zhì)．利用正方形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：A：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，故A正確，不符合題意；
B：正方形有四條對稱軸，故B正確，不符合題意；
C：正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等，故C正確，不符合題意；
D：由于正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等，所以正方形一條對角線上的點到另一條對角線兩端點的距離一定相等，故D錯誤，符合題意；
5．C
【分析】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理等知識，掌握在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的值，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求出，進而可得，然后根據(jù)勾股定理、直角三角形的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：∵，，，
∴，
∵是斜邊的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
∴．
故選：C．
6．A
【分析】本題主要考查了三角形和非負數(shù)．熟練掌握三角形三邊關(guān)系，二次根式性質(zhì)和絕對值性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．
根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得到，得到，，根據(jù)二次根式性質(zhì)和絕對值性質(zhì)即得 ．
【解答】∵三角形的三條邊長分別為3、7、a，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴．
故選：A．
7．D
【分析】此題考查二次根式的化簡求值，把，，代入后計算即可．
【解答】∵，，，
∴，
故選：D．
8．B
【分析】此題考查的是平面展開-最短路徑問題，此題最直接的解法就是將圓柱側(cè)面進行展開，然后利用兩點之間線段最短，再根據(jù)勾股定理計算即可．
【解答】在側(cè)面展開圖中，
的長等于底面圓周長的一半，即，
∵
根據(jù)勾股定理得：，
∴從點A爬到點B的最短路徑長，
故選：B．
9．C
【解答】解：設(shè)NB=x，則AN=6?x，
由翻折的性質(zhì)可知：ND=AN=6?x，
∵點D是BC的中點，
∴BD=BC=×4=2，
在Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND2=NB2+DB2，即(6?x) 2=x2+22，
解得：x=，
∴BN=，
故選C
10．C
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，從而判斷出是等邊三角形，判斷出（3）正確；設(shè)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，從而判斷出（1）正確，（2）錯誤；再根據(jù)三角形的面積和矩形的面積列式求出判斷出（4）正確．
【解答】解：∵，點G是中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，故（3）正確；
設(shè)則，
由勾股定理得，，
∵O為中點，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，故（1）正確；
∵，
∴，故（2）錯誤；
∵，，
∴，故（4）正確；
綜上所述，結(jié)論正確的是（1）（3）（4）．
故選：C．
【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，設(shè)出然后用a表示出相關(guān)的邊是解題的關(guān)鍵．
11．（答案不唯一）
【分析】解答此題要用到勾股數(shù)的定義，已知的三邊滿足， 則是直角三角形，欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．
【解答】解：∵，
∵是勾股數(shù)，
故答案為：（答案不唯一）．
12．且
【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為零列出不等式組，解不等式組得到答案．
【解答】由題意得：且，
解得：且，
故答案為：且．
13．
【分析】本題主要考查了中位線定義和性質(zhì)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由點的橫坐標求出線段的長度．由的橫坐標求出線段的長度，結(jié)合中位線的定義和性質(zhì)，得出的長度，從而得到B點的橫坐標．
【解答】解： 是的邊的中點，
是的中位線，
，，
兩點的橫坐標分別是，
，
，
點的坐標是．
故答案為：．
14．32
【分析】此題考查的知識點是勾股定理，關(guān)鍵是由面積為的半圓求出半圓的直徑，再根據(jù)勾股定理求出這兩個正方形面積的和．首先由面積為的半圓求出半圓的直徑，即直角三角形的斜邊，再根據(jù)勾股定理求出兩直角邊的平方和，即是這兩個正方形面積的和．
【解答】解： 半圓的面積為，設(shè)圓的半徑為，
則，
，
則圖中直角三角形的斜邊長為，
設(shè)圖中兩個正方形邊長分別為，則
，
兩個正方形的面積之和為：．
故答案為：32．
15．
【分析】本題考查了菱形、矩形得性質(zhì)與判定，三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是先求出菱形的面積，再求出矩形的面積，以此類推，找出規(guī)律計算即可．
【解答】解：如下圖，

由題意可知：，
在菱形中，，
，
，
所以第一個圖形的面積是，
是菱形四條邊的中點，
，
，
同理，
四邊形為矩形，
，
所以第二個圖形的面積是，即，
以此類推，
所以第七個圖形的面積是，
故答案為：．
16．(1)
(2)
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握其運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵．
（1）先將二次根式進行化簡，再合并同類二次根式即可求解；
（2）先將括號進行展開化簡，再合并同類二次根式即可求解；
【解答】（1）
（2）
17．；
【分析】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握其運算法則，利用完全平方公式，平方差公式化簡是解題的關(guān)鍵．對括號內(nèi)的分式進行通分，再利用完全平方公式，平方差公式化簡代數(shù)式，再將值代入即可求解．
【解答】解：
，
，，
原式
18．（答案不唯一），證明見解析
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，由平行四邊形的性質(zhì)可得與全等的條件有，，再添加一組角相等或者即可證明全等．
【解答】由題意添加條件為：（答案不唯一）．
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
19．(1)
(2)①見解析；②
【分析】（1）如圖：連接BG，由題意可得EF是線段AB的垂直平分線，即；再結(jié)合作圖可得，進而說明△ABG是等邊三角形即可解答；
（2）①先根據(jù)矩形和垂直平分線的性質(zhì)可得，再結(jié)合即可證明結(jié)論；②設(shè)EF與AB交于M，根據(jù)矩形和平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】（1）解：如圖：連接BG，
由作圖知，EF是線段AB的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∴△ABG是等邊三角形，
∴；
（2）解：①證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形AGHD是平行四邊形；
②解：設(shè)EF與AB交于M，
∵S2=AD?AB，S1=HG?AM=AD?AB=AD?AB，
∴S2=2S1，
故答案為：S2=2S1．
【點撥】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，正確的識別圖形并發(fā)現(xiàn)有用條件是解答本題的關(guān)鍵．
20．(1)
(2)圖見解析，是直角三角形
【分析】（1）利用勾股定理求出的長即可；
（2）根據(jù)勾股定理畫出線段，，并根據(jù)勾股定理的逆定理判斷的形狀．
【解答】（1）解：；
（2）解：如圖：點即為所求的格點，

，
是直角三角形．
【點撥】本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相關(guān)知識是解答此題的關(guān)鍵．
21．此車超速，理由見解析.
【分析】本題主要考查勾股定理與實際問題；根據(jù)，米，，可知的長，，在中，可求出的長，從而確定的長度，根據(jù)速度等于路程除以時間可以算出汽車的速度，再與此路段限速每小時千米比較，由此即可求解．
【解答】此車超速．
理由：，，
是等腰直角三角形．
米．
在中，，
．
米．
由勾股定理得米，
米．
汽車的速度（米/秒）千米/小時千米/小時．
答：此車超速．
22．（1）見解析；（2）8；（3）t=秒或秒
【分析】（1）判斷出△ADE≌△CDF得出AE=CF，即可得出結(jié)論；
（2）先求出AC=BC=8，進而判斷出AE=CF=AC=8，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出△ACE和△ACF的邊AE和CF上的高相等，進而判斷出AE=2CF，再分兩種情況，建立方程求解即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，

∵AG∥BC，
∴∠EAC=∠FCA，∠AED=∠CFD，
∵EF經(jīng)過AC邊的中點D，
∴AD=CD，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∵AE∥FC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）如圖2，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=8，
∵四邊形ACFE是菱形，
∴AE=CF=AC=BC=8，且點F在BC延長線上，
由運動知，AE=t，BF=2t，
∴CF=2t-8，t=8，
將t=8代入CF=2t-8中，得CF=8=AC=AE，符合題意，
即：t=8秒時，四邊形ACFE是菱形，
故答案為8；
（3）設(shè)平行線AG與BC的距離為h，
∴△ACE邊AE上的高為h，△ACF的邊CF上的高為h，
∵△ACE的面積是△ACF的面積的2倍，
∴AE=2CF，
當(dāng)點F在線段BC上時（0＜t＜4），CF=8-2t，AE=t，
∴t=2（8-2t），
∴t=；
當(dāng)點F在BC的延長線上時（t＞4），CF=2t-8，AE=t，
∴t=2（2t-8），
∴t=，
即：t=秒或秒時，△ACE的面積是△ACF的面積的2倍，
【點撥】此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
23．（1）證明見解析；
（2），理由見解析；
（3）
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，由點與點關(guān)于直線對稱，可得，，四邊形是正方形，證明，可得到，由此可證得；
（2）連接，由點與點關(guān)于直線對稱，可得，，四邊形是正方形，證明，可得到，由此可證得；
（3）連接，，類比前兩問，由點與點關(guān)于直線對稱，可得，，再證，可得到，由此可證得．
【解答】（1）如圖，連接．
點與點關(guān)于直線對稱，
，．
四邊形是正方形，
，．
又，

．
．
，即．
（2）．理由如下：
如圖，連接．
點與點關(guān)于直線對稱，
，．
四邊形是正方形，
，．
又，
．
，
．
，即．
（3），如圖所示．
連接，，
點與點關(guān)于直線對稱，
，．
四邊形是正方形，
，．
又，
．
，
．
，即．

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