1.在2024年春晚舞臺上中國傳統(tǒng)紋樣創(chuàng)演秀《年錦》驚艷全網(wǎng)，紋樣濃縮了民間美學與數(shù)學原理．下列紋樣是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列調(diào)查中，最適合采用普查的是( )
A. 對旅客上飛機前的安檢B. 檢測某市的空氣質(zhì)量
C. 了解一批節(jié)能燈泡的使用壽命D. 對五一節(jié)假日期間居民出行方式的調(diào)查
3.下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是
( )
A. y=2xB. y=x+3C. y=1xD. y=x2
4.下列事件是必然事件的是( )
A. 四邊形內(nèi)角和是360°
B. 拋擲一枚硬幣，正面朝上
C. 隨手翻開蘇科版八下數(shù)學課本，剛好翻到第60頁
D. 打開電視，正在播放神舟十七號載人飛船發(fā)射實況
5.下列是最簡二次根式的是( )
A. 13B. 9C. 1 5D. 2
6.菱形不具有的性質(zhì)是( )
A. 對角相等B. 對邊平行C. 對角線互相垂直D. 對角線相等
7.下列分式與aa+2相等的是
( )
A. a+2aB. a+2a+4C. 2a2a+2D. 2a2a+4
8.我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記P=a+b+c2，那么其面積S= P(P?a)(P?b)(P?c).若某個三角形的三邊長分別為2，3，3，其面積S介于哪兩個整數(shù)之間
( )
A. 1與2B. 2與3C. 3與4D. 4與5
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
9.若二次根式 x?2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．
10.點A(m,2)在反比例函數(shù)y=4x的圖像上，則m的值為_______．
11.若分式x?1x+2的值為0，則x的值為___．
12.某校籃球隊進行籃球訓練，某隊員投籃的統(tǒng)計結(jié)果如下表．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知該隊員一次投籃命中的概率的估計值是_______.(精確到0.01)
13.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠D=120°，則∠A的度數(shù)等于_______．
14.如圖，要測量B，C兩地的距離，小明想出一個方法：在池塘外取點A，得到線段AB、AC，并取AB、AC的中點D、E，連接DE.小明測得DE的長為10米，則B、C兩地的距離為_______米．
15.已知1a?1b=3，則abb?a的值為_______．
16.如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AD所在直線上，連接BE，以BE為邊，作正方形BEFG(點B，E，F(xiàn)，G按逆時針排列).當正方形BEFG中的某一頂點落在直線AC上時(不與點A重合)，則正方形BEFG的邊長為_______．
三、計算題：本大題共2小題，共12分。
17.計算：
(1) 18? 6÷ 3；
(2) 3?22．
18.解分式方程：1x?2+3=1?x2?x．
四、解答題：本題共7小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.(本小題8分)
先化簡：1?xx+1÷x2?1x2+2x+1，再從?1，1，2，3中選取一個適合x的數(shù)代入求值．
20.(本小題8分)
在“用關(guān)心去教，為成長而學”的教育理念下，我校開設(shè)了鹿鳴“博·約”成長課程，課程教學處為了了解學生們對四類成長課程：A“點點油彩”、B“心晴驛站”、C“鹿鳴籃球”、D“創(chuàng)E編程機器人”的喜愛程度，從八年級學生中隨機抽取了部分學生進行了調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如下統(tǒng)計圖(不完整)：
請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)本次抽樣調(diào)查的學生人數(shù)是________名；
(2)扇形統(tǒng)計圖中表示A的扇形圓心角的度數(shù)是________度；
(3)把條形統(tǒng)計圖補充完整；
(4)我校八年級共有學生約1600名，如果全部參加這次調(diào)查，估計選擇“創(chuàng)E編程機器人”成長課的學生人數(shù)為________人．
21.(本小題8分)
如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE/?/AC，CE/?/BD．
(1)求證：四邊形OCED是菱形；
(2)若BC=6，DC=4，求四邊形OCED的面積．
22.(本小題8分)
某汽車網(wǎng)站對兩款價格相同，續(xù)航里程相同的汽車做了一次評測，一款為燃油車，另一款為純電新能源車．得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：(續(xù)航里程是指在最大的能源儲備下可連續(xù)行駛的總里程.)
(1)設(shè)兩款車的續(xù)航里程均為a千米，則燃油車的每千米行駛費用是________元，純電新能源車的每千米行駛費用是________元；(請用含a的代數(shù)式表示)
(2)若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.5元，則續(xù)航里程a的值為多少？
23.(本小題8分)
定義：我們將 a+ b與 a? b稱為一對“對偶式”．
因為 a+ b a? b= a2? b2=a?b，可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決．
例如： 15?x+ 3?x 15?x? 3?x= 15?x2? 3?x2=15?x?3?x=12，所以 15?x+ 3?x與 15?x? 3?x互為“對偶式”．
(1) 7? 2的“對偶式”是________， 21?x? 5?x的“對偶式”是________．
(2)已知 21?x? 5?x=2，其中x≤5．
① 21?x? 5?x的“對偶式”的值是________．
②利用“對偶式”的相關(guān)知識，求方程 21?x? 5?x=2中x的值．
24.(本小題8分)
【生活觀察】數(shù)學來源于生活，眾所周知“糖水加糖會變甜”.人們常用糖水中糖與糖水的比表示糖水的甜度．
(1)若a克糖水中含b克糖(a>b>0)，則該糖水的甜度為ba，若再加入m克(m>0)糖，此時糖水的甜度為________，充分攪勻后，感覺糖水更甜了．
由此我們可以得到一個不等式________________；(請用含a、b、m的式子表示)
請用分式的相關(guān)知識驗證所得不等式；
【數(shù)學思考】(2)若b>a>0，m>0，(1)中的不等式是否依然成立？若不成立，請寫出正確的式子．
【知識遷移】(3)已知甲、乙兩船同時從A港出發(fā)航行，設(shè)甲、乙兩船在靜水中的速度分別為v1、v2，水流速度為v0v1>v2>v0>0，兩船同向航行1小時后立即返航，甲、乙兩船返航所用時間分別為t1、t2，請利用(1)(2)中探究的結(jié)論，比較t1、t2的大小，判斷哪條船先返回A港？并說明理由．
25.(本小題8分)
【教材回顧】下圖是蘇科版八年級上冊數(shù)學教材第86頁“探索三角形中位線定理”的部分內(nèi)容：
(1)在上述操作中，四邊形BCFD是平行四邊形嗎？證明你的結(jié)論；
【類比操作】怎樣將一張三角形紙片剪成三部分，使這三部分能拼成一個平行四邊形？
(注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊)
(2)若?ABC為等邊三角形，AB=8，則小慧拼成的四邊形周長的最小值為________，最大值為________；
【拓展操作】怎樣將一張三角形紙片剪成四部分，使這四部分能拼成一個矩形？
小聰受小慧同學的啟發(fā)，進行了如下操作：
①剪一張三角形紙片，記為?ABC，分別取AB、AC的中點D、E；
②在BC上任取一點P，并在BC上作PQ=DE，連接EP，過點D、Q分別作DF⊥EP、QG⊥EP，垂足分別為點F、G．
③沿EP、DF、QG將?ABC剪成四塊，即可拼成一個矩形．
(3)若保留其中一塊不動，請你借助無刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中畫出小聰拼成的矩形；
(不寫作法，保留作圖痕跡，畫出一種即可)
【深度思考】
(4)如圖3，一張等腰直角三角形紙片ABC，AB=AC=8，仿照小聰?shù)淖龇▽?ABC剪拼成矩形，當BP的長為________時，拼成的矩形是正方形．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本題考查中心對稱圖形，正確掌握中心對稱圖形的定義：繞一個點旋轉(zhuǎn)，與原圖形重合的圖形叫做中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；
B、是中心對稱圖形，本選項正確；
C、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；
D、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；
故選：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查，全面調(diào)查收集的到數(shù)據(jù)全面、準確，但一般花費多、耗時長，而且某些調(diào)查不宜用全面調(diào)查．抽樣調(diào)查具有花費少、省時的特點，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系到對總體估計的準確程度．據(jù)此逐一判斷即可．
【詳解】A.對旅客上飛機前的安檢，采用全面調(diào)查；
B. 檢測某市的空氣質(zhì)量，采用抽樣調(diào)查；
C. 了解一批節(jié)能燈泡的使用壽命，采用抽樣調(diào)查；
D. 對五一節(jié)假日期間居民出行方式的調(diào)查，采用抽樣調(diào)查；
故選A．
3.【答案】C
【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的定義，根據(jù)反比例函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx(k≠0)的函數(shù)是反比例函數(shù)．進行判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，可得y=1x是反比例函數(shù)．
故選：C
4.【答案】A
【解析】【分析】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．
【詳解】解：A、四邊形內(nèi)角和是360°，是必然事件，故 A符合題意；
B、擲一枚硬幣時，正面朝上，是隨機事件，故B不符合題意；
C、隨手翻開蘇科版八下數(shù)學課本，剛好翻到第60頁，是隨機事件，故C不符合題意；
D、打開電視，正在播放神舟十六號載人飛船發(fā)射實況，是隨機事件，故D不符合題意；
故選：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足下列兩個條件的二次根式叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A.因為 13= 33，所以 13不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B.因為 9=3，所以 9不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
C.因為1 5= 55，所以1 5不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D. 2是最簡二次根式，故本選項符合題意；
故選：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，菱形是特殊的平行四邊形，具有對角相等、對邊平行、四條邊相等、對角線互相垂直的性質(zhì)．
【詳解】菱形是特殊的平行四邊形，具有對角相等、對邊平行、四條邊相等、對角線互相垂直的性質(zhì)．
故選：D
7.【答案】D
【解析】【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式值不變．根據(jù)分式的基本性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵2a2a+2=aa+1≠aa+2，
2a2a+4=aa+2，
而a+2a≠aa+2，a+2a+4≠aa+2，
∴選項D正確；其它的選項不符合題意．
故選D．
8.【答案】B
【解析】【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的含義以及無理數(shù)的估算，化為最簡二次根式，掌握無理數(shù)的估算方法是解本題的關(guān)鍵．首先計算三角形的面積為2 2，再估算2 2的范圍可得20，
∴a?b>0，ma?b>0，aa+m>0，
∴ma?baa+m>0，
∴b+ma+m>ba，
∴由此我們可以得到一個不等式b+ma+m>ba，
故答案為：ba，b+ma+m>ba；
(2)(1)中的不等式不成立，正確式子為：b+ma+ma>0，m>0，
∴a?b0，
∴v1?v0>0,v2?v0>0，
由(2)得v1+v0v2+v0v1v2，
∴v1+v0v2+v00，
∴v1?v0>0,v2?v0>0，
由(1)得v2+v0v1+v0>v2v1，v2?v0v1?v0v2?v0v1?v0，
∴v1?v0v1+v0>v2?v0v2+v0，
∵t1=v1?v0v1+v0，t2=v2?v0v2+v0，
∴t1>t2，乙船先返回A港，
綜上，當甲、乙兩船返航時為逆流航行時，t1t2，乙船先返回A港．

【解析】【分析】(1)用糖水中糖與糖水的比表示即可；再利用作差法比較b+ma+m與ba的大小即可；
(2)利用作差法比較b+ma+m與ba的大小即可；
(3)分甲、乙兩船返航時為逆流航行和甲、乙兩船返航時為逆流航行兩種情況討論求解即可．
本題考查的是列代數(shù)式，分式的加減運算，分式的值的大小比較，理解題意，選擇合適的方法解題是關(guān)鍵．
25.【答案】解：(1)、四邊形BCFD是平行四邊形，理由如下：
如圖，
∵D，E分別為AB、AC的中點，
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE//BC，DE=12BC，
由旋轉(zhuǎn)可得：DE=EF，∠CEF=∠AED，
∴EF=12BC，∠CEF+∠CED=∠AED+∠CED=180°，
∴D,E,F共線，
∴DE+EF=DF=BC，
∴四邊形BDFC是平行四邊形；
(2)、如圖，
由旋轉(zhuǎn)可得：AQ′=BQ，AQ′′=CQ，P′Q′=PQ=P′′Q′′，
∴Q′Q′′=AQ′+AQ′′=BQ+CQ=BC，
∴C?P′P′′Q′Q′′=2P′Q′+Q′Q′′=2PQ+BC，
如圖，當?ABC為邊長為8的等邊三角形，
∴AB=BC=AC=8，∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
∴拼成的平行四邊形的周長為2PQ+BC=2PQ+8，
∴PQ最小，平行四邊形周長最小，PQ最大，平行四邊形周長最大，
∴當PQ⊥BC時，PQ最小，過A作AQ1⊥BC與DE交于P1，
∴BQ1=CQ1=12BC=4，
∴AQ1= 82?42=4 3，
∵D,E分別為AB,AC中點，
∴DE//BC，S?ADE=S?CDE，
∴AP1=P1Q1=2 3，
此時平行四邊形周長最小值為：22 3+8=4 3+16；
當P,D重合，Q,C重合時，PQ最大，如圖中的P2Q2，
此時P2Q2=CD，
同理可得：CD=4 3，
∴P2Q2=4 3，
∴此時平行四邊形周長的最大值為：24 3+8=8 3+16；
(3)如圖，延長FD至F′，使DF′=DF，延長GE至G′，使GE=G′E，以F′為圓心FG′為半徑畫弧，以G′為圓心，F(xiàn)F′為半徑畫弧，兩弧交于點K，連接F′K，G′K，
∴FF′=G′K，F(xiàn)G′=F′K，
∴四邊形F′FG′K為平行四邊形，
∵∠DFE=90°，
∴四邊形F′FG′K為矩形，
以F′為圓心，F(xiàn)P為半徑畫弧，交F′K于P′，以G′為圓心，GQ為半徑畫弧交G′K于Q′，連接P′D，PD，Q′E，QE，AP′，AQ′，
由F′P=FP，∠P′F′D=90°=∠PFD，DF′=DF，
∴?DP′F′≌?DFP，
∴∠P′DF′=∠PDF，P′D=PD，
∴P′,D,P共線，
同理可得：?ADP′≌?BDP，
∴四邊形BPFD≌四邊形AP′F′D；∠DAP′=∠DBP，
∴P′A//PQ//DE，
同理可得：四邊形CQGE≌四邊形AQ′G′E，AQ′//DE//PQ，
∴P′,A,Q′共線，
同理可得：?KP′Q′≌?GPQ，
∴矩形F′FG′K即為所求作的矩形；
(4)∵AB=AC=8，∠BAC=90°，
∴BC=8 2，S?ABC=12×AB×AC=32，
由中位線的性質(zhì)可得：DE=12BC=4 2，
如圖，當四邊形F′FG′K為正方形，
∴FF′2=32，
∴FF′=4 2=FG′，
結(jié)合(3)可得：FD=F′D=2 2，
∴FE= DE2?DF2=2 6，
由(3)可得：
?DPF≌?QEG≌?Q′EG′，
∴PF=GE=G′E，
∴PE=FG′=4 2，
∴PF=4 2?2 6，
∴PD= PF2+DF2= 64?32 3=4 3?4，
取DE的中點M，連接FM，
∴FM=DM=ME=2 2，而FD=2 2，
∴?DFM為等邊三角形，
∴∠MDF=60°，
∴∠DEF=30°，
∵DE=PE=4 2，
∴∠EDP=∠EPD=75°，
過P作PT⊥BD于T，而AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠TPB=45°，
∴BT=PT，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B=45°，
∴∠BDP=180°?45°?75°=60°，
∴∠DPT=30°，
∴DT=12PD=124 3?4=2 3?2，
∴BT=BD?DT=4?2 3?2=6?2 3，
∴BP= 2BT= 26?2 3=6 2?2 6．

【解析】【分析】(1)、證明AD=BD，AE=CE，可得DE//BC，DE=12BC，證明EF=12BC，∠CEF+∠CED=∠AED+∠CED=180°，可得D,E,F共線，可得DE+EF=DF=BC，從而可得結(jié)論；
(2)先證明C?P′P′′Q′Q′′=2P′Q′+Q′Q′′=2PQ+BC，可得拼成的平行四邊形的周長為2PQ+BC=2PQ+8，PQ最小，平行四邊形周長最小，PQ最大，平行四邊形周長最大，再進一步求解可得答案；
(3)如圖，延長FD至F′，使DF′=DF，延長GE至G′，使GE=G′E，以F′為圓心FG′為半徑畫弧，以G′為圓心，F(xiàn)F′為半徑畫弧，兩弧交于點K，連接F′K，G′K，可得四邊形F′FG′K為所求作的矩形；
(4)求解BC=8 2，S△ABC=32，可得：DE=12BC=4 2，如圖，當四邊形F′FG′K為正方形，可得FF′=4 2=FG′，求解FE=2 6，證明PE=FG′=4 2，可得PF=4 2?2 6，求解PD= PF2+DF2=4 3?4，取DE的中點M，連接FM，證明∠MDF=60°，可得∠EDP=∠EPD=75°，過P作PT⊥BD于T，證明∠DPT=30°，再進一步可得答案．
本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，全等三角形的綜合問題，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次根式的混合運算，本題難度很大，計算量大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
投籃次數(shù)
10
50
100
150
200
500
1000
2000
命中次數(shù)
9
41
76
114
151
381
762
1522
命中率
0.9
0.820
0.760
0.760
0.755
0.762
0.762
0.761
燃油車
新能源車
油箱容積：50升
電池電量：90千瓦時
油價：8元/升
電價：0.6元/千瓦時
怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使這兩部分能拼成一個平行四邊形？
(1)剪一張三角形紙片，記為?ABC；
(2)分別取AB、AC的中點D、E，連接DE；
(3)沿DE將?ABC剪成兩部分，并將?ADE繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到?CFE的位置(如圖9?31)．
小慧同學做了如下操作：
①剪一張三角形紙片，記為?ABC；
②分別取AB、AC的中點D、E，連接DE；
③在DE、BC上分別任取一點P、Q，連接PQ；
④將四邊形BDPQ和四邊形CEPQ剪下，分別繞點D、
點E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADP′Q′和四邊形AEP′′Q′′的位置．
如圖1，四邊形P′Q′Q′′P′′即是平行四邊形．

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江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學2022-2023學年八年級下學期數(shù)學期中試卷

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