考法一 等差等比的基本量運算
【例1-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【解析】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
【例1-2】．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【解析】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.所以.故選:C.
【變式】
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【解析】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，，所以，否則，
從而，成等比數(shù)列，
所以有，，解得：或，
當(dāng)時，，即為，
易知，，即；
當(dāng)時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
2．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？家荒＃┕畈粸?的等差數(shù)列的前項和為，若，，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件得
即則故.故選：A.
3（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，若且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的求和公式可得，
所以，，所以，，
解得，因此，.故選：D.
考法二 等差等比數(shù)列性質(zhì)
【例2-1】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在等差數(shù)列中，，可得，
因此，.
故選：A.
【例2-2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】由等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，
，，解得．故選：C.
【例2-3】（2023·遼寧沈陽·沈陽鐵路實驗中學(xué)校考二模）設(shè)，分別是兩個等差數(shù)列，的前n項和．若對一切正整數(shù)n，恒成立，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得
.故選：B
【例2-4】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？级＃┰O(shè)等比數(shù)列，，是方程的兩根，則的值是（ ）
A．或B．2或C．D．
【答案】C
【解析】因為，是方程的兩根，
所以，，且，都是負(fù)數(shù)，
又因為為等比數(shù)列，所以，所以，
且，所以.
故選：C
【例2-5】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．41B．45C．36D．43
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
因為為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，
可得仍成等比數(shù)列.
因為，所以，
所以，故.
故選：D.
【變式】
1．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？家荒＃┑炔顢?shù)列 ?中，?，則（ ）
A．60B．30C．10D．0
【答案】B
【解析】等差數(shù)列 ?中，,
即,
.
故選：B.
2．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項和為，，則（ ）
A．9B．C．12D．
【答案】A
【解析】由已知，，，即3，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
故選：A．
3．（2023·海南·校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】即，又等差數(shù)列的前項和形式滿足，
故.則，
故.
故選：A
4．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為是等差數(shù)列，所以，故，則，
因為是等比數(shù)列，所以，故，則，
所以.
故選：A
5．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）等比數(shù)列的前項和為，，，則為（ ）
A．40或B．C．40D．32
【答案】C
【解析】由題意知：，，成等比數(shù)列，
∴，解得：或，
∵，∴．故選：C
考法三 通項
【例3-1】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知數(shù)列的前項和為，若滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時，，，得，
當(dāng)時，，，，
，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，.故選：C
【例3-2】（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項均不為零，且滿足，（，），則的通項公式 ．
【答案】
【解析】，則，
設(shè)，，則，
，
而也符合該式，故，故.
故答案為：
【例3-3】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，且有，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
顯然若，則，則，，與題意矛盾，
所以，，兩邊同時取倒數(shù)，得：，
設(shè)，，，，
因為，故，故，所以為等比數(shù)列，
所以，故，所以，
故，故選：D.
【變式】
1．（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列的通項 ．
【答案】
【解析】由，而，故是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以，則，
又且，顯然也滿足上式，
所以.故答案為：
2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，寫出一個符合上述條件的數(shù)列的通項公式 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由得：，
則當(dāng)時，，，故滿足遞推關(guān)系，
又，滿足，
滿足條件的數(shù)列的一個通項公式為：.
故答案為：（答案不唯一）.
3．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為 ．
【答案】
【解析】，兩邊同除得：
，
所以，即，
化簡得，∵，∴．
故答案為：.
考法四 求和方法
【例4-1】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）等差數(shù)列的前n項和，，數(shù)列的前n項和
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，解得，
所以，
所以，
所以數(shù)列的前n項和為
.
故答案為：
【例4-2】（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前30項和為 .
【答案】465
【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；
當(dāng)為偶數(shù)時，，是首項為2，公差為3的等差數(shù)列；
故答案為：465
【例4-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【解析】由可得當(dāng)時，，
所以，滿足，故，.
令，
則，
兩式相減得：，
所以.
故答案為：
【變式】
1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，則 .
【答案】
【解析】當(dāng)時，，
∴，
又，
滿足，
∴，，
即，
∴
.
故答案為：.
2．（2023·江西鷹潭·二模）已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項和滿足，則數(shù)列的前n項和 .
【答案】
【解析】因為，，所以，
所以，
因為，所以，
兩式相減可得，，即，
又，可得，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故，
令，
，
，
兩式相減得：
.
故答案為：
3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，其前n項和為，則 ．
【答案】
【解析】因為，
所以，所以.
故答案為：.
4．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）設(shè)為數(shù)列的前項和，滿足，其中，數(shù)列的前項和為，滿足，則 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時，，
①，當(dāng)時，②，
兩式相減得，即，
所以，
且對也適合，綜上，，
故，
.
故答案為：
考法五 數(shù)列在實際生活中應(yīng)用
【例5-1】（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)該馬第天行走的里程數(shù)為，
由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
所以，該馬七天所走的里程為，解得.
故該馬第五天行走的里程數(shù)為.
故選：D.
【變式】
1．（2023·貴州遵義·校考模擬預(yù)測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（ ）
A．斗B．斗
C．斗D．斗
【答案】A
【解析】由題意記10人每人所得玉米時依次為，則時，，，即是等比數(shù)列，
由已知，，
（斗）．
故選：A．
2．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個起點出發(fā)，測試它們一日可行的路程．已知第i（）匹馬的日行路程是第匹馬日行路程的1.05倍，且第16匹馬的日行路程為315里，則這17匹馬的日行路程之和約為（?。? ）
A．7750里B．7752里
C．7754里D．7756里
【答案】B
【解析】，依題意可得，第17匹馬、第16匹馬、……、第1匹馬的日行路程里數(shù)依次成等比數(shù)列，且首項為300，公比為1.05，故這17匹馬的日行路程之和為
（里）．故選：B.
3（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
考法六 數(shù)列的單調(diào)性與最值
【例6-1】（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，若，，則下列四個命題正確個數(shù)為（ ）①為的最小值 ② ③， ④為的最小值
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】等差數(shù)列中，，則，故②正確；
又，所以，故，則，故③正確；
于是可得等差數(shù)列滿足，其為遞增數(shù)列，則，又，所以為的最小值，故①正確，④不正確；
則四個命題正確個數(shù)為.
故選：C.
【例6-2】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．的最大值為D．的最大值為
【答案】D
【解析】由可知公比，所以A錯誤；
又，且可得，即B錯誤；
由等比數(shù)列前項和公式可知，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得為單調(diào)遞增，
即無最大值，所以C錯誤；
設(shè)為數(shù)列前項積的最大值，則需滿足，可得，
又可得，即的最大值為，所以D正確.
故選：D
【變式】
1．（2023·山東煙臺·?？寄M預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知是方程的兩根，則能使成立的n的最大值為（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】A
【解析】因為 是方程 的根， ，
又 ，公差 ，
由等差中項知： ， ，
， ，即使得 的成立的最大 ；故選：A.
2．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)等差數(shù)列的公差為，共前項和為，已知，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）.
A．，B．與均為的最大值
C．D．
【答案】B
【解析】依題意，
因為，
，
所以，所以CD正確；
由，易得，
所以，即，
由，得，
所以，所以A正確；
對于B：因為，所以，
因此，與不可能同為的最大值.
故選：B.
3．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．1
C．的最大值為D．的最大值為
【答案】BD
【解析】若，則，，所以，與矛盾；
若，則因為，所以，，則，與矛盾，因此，所以A不正確．
因為，所以，因此，故B正確．
因為，所以單調(diào)遞增，即的最大值不為，故C錯誤．
因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最大值為，即D正確．故選：BD.
考法七 數(shù)列與其他知識的綜合運用
【例7-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）若為虛數(shù)單位，則計算 ．
【答案】
【解析】】設(shè)，
，
上面兩式相減可得，
，
則．
故答案為：．
【例7-2】（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，其前項和為，則 ．
【答案】/
【解析】因為，
.
故答案為：.
【變式】
1．（2023·河北滄州·?？既＃┳匀唤缰心承┥锏幕蛐褪怯纱菩叟渥拥幕蚪M合而成，這種生物在生育下一代時，成對的基因相互分離形成配子，配子隨機結(jié)合形成下一代.若某生物群體的基因型為，在該生物個體的隨機交配過程中，基因型為的子代因無法適應(yīng)自然環(huán)境，會被自然界淘汰.例如，當(dāng)親代只有基因型個體時，其子1代的基因型如下表所示：
由上表可知，子1代中，子1代產(chǎn)生的配子中占，占.以此類推，則子10代中個體所占比例為 .
【答案】
【解析】由題，設(shè)子代中占比為，則占比為.
所以，則子代的基因型如下表所示，
由表可得，表格中總份數(shù)為（其中淘汰了份），
因此子代中占比為，
化簡得，即，即，
所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以，，因此 .
故答案為：.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）離子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一個或幾個電子后達到的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，得到電子為陰離子，失去電子為陽離子，在外界作用下陰離子與陽離子之間可以相互轉(zhuǎn)化．科學(xué)家們在試驗過程中發(fā)現(xiàn)，在特定外界作用下，1個陰離子可以轉(zhuǎn)化為1個陽離子和1個陰離子，1個陽離子可以轉(zhuǎn)化為1個陰離子，如果再次施加同樣的外界作用，又能產(chǎn)生同樣的轉(zhuǎn)化．若一開始有1個陰離子和1個陽離子，則在9次該作用下，陰離子的個數(shù)為（ ）
A．87B．89C．91D．93
【答案】B
【解析】由題目知，作用后的陽離子個數(shù)是作用前陰離子個數(shù)，作用后的陰離子個數(shù)是作用前陰陽離子個數(shù)之和。
現(xiàn)在有1個陰離子和1個陽離子，經(jīng)過逐次作用后：
則在9次該作用下，陰離子的個數(shù)為.
故選：B.
考法八 新定義數(shù)列
【例8-1】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家萊昂納多．斐波那契（ Lenard Fibnacci）在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它的前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)稱為“斐波那契數(shù)列”．同時，隨著趨于無窮大，其前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割，因此又稱“黃金分割數(shù)列”，記斐波那契數(shù)列為，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因為，所以，所以
故A正確；
因為，所以，即，
所以，而，故B錯誤；
，所以
故C正確；
，故D正確
答案：ACD.
【例8-2】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”．將數(shù)列、進行“美好成長”，第一次得到數(shù)列、、；第二次得到數(shù)列、、、、；；設(shè)第次“美好成長”后得到的數(shù)列為、、、、、，并記，則（ ）
A．B．
C．D．?dāng)?shù)列的前項和為
【答案】ACD
【解析】對于A選項，，A對；
對于B選項，設(shè)第次“美好成長”后共插入項，即，共有個間隔，且，
則第次“美好成長”后再插入項，則，
可得，且，
故數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，
則，故，B錯；
對于C選項，由題意可知：
，C對；
對于D選項，因為，且，
所以，，且，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，故，
所以，，
所以，數(shù)列的前項和為，D對.
故選：ACD.
【變式】
1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列．若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個“三角垛”，共有40層，各層小球個數(shù)構(gòu)成一個二階等差數(shù)列，第一層放1個小球，第二層放3個小球，第三層放6個小球，第四層放10個小球，，則第40層放小球的個數(shù)為（ ）
A．1640B．1560C．820D．780
【答案】C
【解析】設(shè)第層放小球的個數(shù)為，由題意，，……，數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
所以．
故，
故．
故選：C．
2．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到1.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實施第次運算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（ ）
A．5或16B．5或32
C．5或16或4D．5或32或4
【答案】B
【解析】由題知，因為，則有：
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，則；
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，；
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；
若為奇數(shù)，則，可得；若為偶數(shù)，則.
綜上所述：或32.
故選：B
3．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）如果有窮數(shù)列，，，…，（m為正整數(shù)）滿足條件，，…，，即（t為常數(shù)），則稱其為“倒序等積數(shù)列”．例如，數(shù)列8，4，2，，，是“倒序等積數(shù)列”．已知是80項的“倒序等積數(shù)列”，，且，，…，是公比為2，的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則（ ）．
A．210B．445C．780D．1225
【答案】B
【解析】由題可知當(dāng)時，.
根據(jù)定義，當(dāng)時，.
則.
故
.
故選：B
4．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例,引入數(shù)列:,該數(shù)列從第三項起,每一項都等于前兩項的和,即遞推關(guān)系式為,故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列,又稱“兔子數(shù)列”.已知滿足上述遞推關(guān)系式的數(shù)列的通項公式為,其中的值可由和得到,比如兔子數(shù)列中代入解得.利用以上信息計算表示不超過的最大整數(shù)（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【解析】由題意可令,
所以將數(shù)列逐個列舉可得:
,,,,,
故,
因為,
所以,
故.
故選:B
一、單選題
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（ ）
A．3B．18C．54D．152
【答案】C
【解析】由題意可得：當(dāng)時，，即， ①
當(dāng)時，，即， ②
聯(lián)立①②可得，則.
故選：C.
2．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，解得，，故選：C.
3．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項和為，則的最大值為（ ）
A．60B．50C．D．30
【答案】D
【解析】由和，
由于為等差數(shù)列，且，所以當(dāng)時，,
故的最大值為，
故選：D
4．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）已知為等比數(shù)列，是它的前項和．若，且與的等差中項為，則等于（ ）
A．37B．35C．31D．29
【答案】C
【解析】，，解得，
與的等差中項為，解得，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，
，，故選：C．
5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）設(shè)數(shù)列滿足且是前項和，且，則（ ）
A．2024B．2023C．1012D．1011
【答案】C
【解析】由題意，，，
則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，即，則，則，
則所以，（常數(shù)），則也為等差數(shù)列.
則數(shù)列的公差為.
所以
所以.
故選：C
6．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列（）的前n項和為，公差，，則使得的最大整數(shù)n為（ ）
A．9B．10C．17D．18
【答案】C
【解析】因為，所以異號，
因為，所以，
又有，所以，即，
因為，，
所以的最大整數(shù)n為17.
故選：C
7．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．11
【答案】A
【解析】設(shè)，
則
，
所以.
故選：A
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
9．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得 ，
故 .
故選：A.
10．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
.
故選：D.
11．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測）在中，角、、所對的邊長分別為，若成等比數(shù)列，則角的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為成等比數(shù)列，可得，
則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
由于在三角形中，且在上為減函數(shù)，
所以角的取值范圍是：.
故選：B.
12．（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正項等比數(shù)列，若，則（ ）
A．16B．32C．48D．64
【答案】B
【解析】根據(jù)等比中項，，
又是正項數(shù)列，故（負(fù)值舍去）
設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，
即，解得（正項等比數(shù)列公比不可是負(fù)數(shù)，負(fù)值舍去），
故
故選：B
13．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為（ ）
A．8B．C．D．10
【答案】B
【解析】由正項等比數(shù)列可知，，成等比數(shù)列，
則，又，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故的最小值為.
故選：B.
14．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記等比數(shù)列的前項和為.若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），
則，解得：，
又，
所以，
故選：C.
15．（2023·寧夏銀川·?？寄M預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列中，前n項和為，已知，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為，且也成等比數(shù)列，
因為，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比數(shù)列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D錯誤.
故選：A.
16．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】因為等差數(shù)列的公差為，
所以，
所以，
所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，
又，所以或或，
則符合題意，此時，
所以，
所以，排除,只有符合,
故選：.
17．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【解析】依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
18．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，
則，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，
于是，又為常數(shù)，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
19．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
20．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】[方法一]:常規(guī)解法
因為，
所以，，得到，
同理，可得，
又因為，
故，；
以此類推，可得，，故A錯誤；
，故B錯誤；
，得，故C錯誤；
，得，故D正確.
[方法二]：特值法
不妨設(shè)則
故D正確.
21．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測）某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（ ）（單位：萬元）
參考數(shù)據(jù)：
A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3
【答案】C
【解析】由題意，2023年存的2萬元共存了10年，本息和為萬元，
2024年存的2萬元共存了9年，本息和為萬元，
2032年存的2萬元共存了1年，本息和為萬元，
所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的錢數(shù)約為萬元，
故選：C.
22．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）核電站只需消耗很少的核燃料，就可以產(chǎn)生大量的電能，每千瓦時電能的成本比火電站要低20%以上.核電無污染，幾乎是零排放，對于環(huán)境壓力較大的中國來說，符合能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向，2021年10月26日，國務(wù)院發(fā)布《2030年前碳達峰行動方案》，提出要積極安全有序發(fā)展核電.但核電造福人類時，核電站的核泄漏核污染也時時威脅著人類，如2011年，日本大地震導(dǎo)致福島第一核電站發(fā)生爆炸，核泄漏導(dǎo)致事故所在地被嚴(yán)重污染，主要的核污染物是鍶90，它每年的衰減率為2.47%.專家估計，要基本消除這次核事故對自然環(huán)境的影響至少需要800年，到那時，原有的鍶90大約剩（ ）（參考數(shù)據(jù)）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意，設(shè)一開始鍶90質(zhì)量為1，
則每年的剩余量構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，
則經(jīng)過800年鍶90剩余質(zhì)量為，
兩邊取常用對數(shù)可得：，
所以，
故選：B
23．（2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．問原來持金多少？”．記這個人原來持金為斤，設(shè)，則（ ）
A．B．7C．13D．26
【答案】C
【解析】由題意知：這個人原來持金為斤，
第1關(guān)收稅金為：斤；第2關(guān)收稅金為斤；
第3關(guān)收稅金為斤，
以此類推可得的，第4關(guān)收稅金為斤，第5關(guān)收稅金為斤，
所以，
即，解得，
又由，所以.
故選：C.
24．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).
若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
若，則當(dāng)時，；若，則，
由可得，取，則當(dāng)時，，
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”；
若存在正整數(shù)，當(dāng)時，，取且，，
假設(shè)，令可得，且，
當(dāng)時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”.
所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的充分必要條件.
故選：C.
25．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若方程有三個不同的實數(shù)根，且三個根從小到大依次成等比數(shù)列，則實數(shù)的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如圖，設(shè)方程的三個不同的實數(shù)根從小到大依次為，，
則，解得，
所以.
故選：A.
26．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為．若數(shù)列是等比數(shù)列；，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若是等比數(shù)列，設(shè)公比為k，則，
，
于是，
即成立；
若，
取，顯然不是等比數(shù)列，故是的充分不必要條件．
答案：A
27．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，若（），則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．B．
C．（）D．
【答案】D
【解析】對于A項，由（）得，
所以，，
又因為，所以，
所以，故A項正確；
對于B項，由A項可知，，故B項正確；
對于C項，因為，所以，
假設(shè)當(dāng)，，成立，則，
令，則，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，
所以有，
所以對于任意，，成立，故C項正確；
對于D項，由A項知，不滿足，故D項錯誤.
故選：D.
28．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）養(yǎng)過蜂的人都知道，蜂后產(chǎn)的卵若能受精則孵化為雌蜂，若不能受精則孵化為雄蜂，即雄蜂是有母無父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第代祖先數(shù)目如下圖所示：

若用表示一只雄蜂第代祖先的個數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題意得，當(dāng)時，，
A選項，，A錯誤；
B選項，，B正確；
C選項，，
故，C錯誤；
D選項，
，
故，D錯誤.
故選：B
二、多選題
29．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若正項數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（ ）
A．當(dāng)時，B．的取值范圍是
C．當(dāng)為整數(shù)時，的最大值為29D．公差d的取值范圍是
【答案】ABC
【解析】當(dāng)時，公差，，A正確．
因為是正項等差數(shù)列，所以，即，且，
所以公差的取值范圍是，D錯誤．
因為，所以的取值范圍是，B正確．
，當(dāng)為整數(shù)時，的最大值為29，C正確．
故選：
30．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項積為，則下列結(jié)論正確的是( )
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
【答案】ABC
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴．
對于A選項，，∴為等差數(shù)列，A正確；
對于B選項，令，
∴，
故數(shù)列是等差數(shù)列，B正確；
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
對于C選項，令，則，故數(shù)列是等比數(shù)列，C正確；
對于D選項，∵不一定為常數(shù)，故數(shù)列不一定是等差數(shù)列，故D錯誤；
故選：ABC．
31．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，若，，則下列說法正確的是（ ）
A．是遞增數(shù)列B．是數(shù)列中的項
C．?dāng)?shù)列中的最小項為D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
【答案】ACD
【解析】由已知，，所以，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以，.
對于A選項，因為，所以，是遞增數(shù)列，A對；
對于B選項，令，可得，B錯；
對于C選項，令可得，所以，數(shù)列中的最小項為，C對；
對于D選項，，則，
所以，，
故數(shù)列為等差數(shù)列，D對.
故選：ACD.
32．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)校考三模）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，，則是等比數(shù)列
C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列
D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列
【答案】ABC
【解析】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；
對于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；
對于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項是，
，
，
因此，則 ，成等差數(shù)列，C正確；
對于D，若等比數(shù)列的公比，則 不成等比數(shù)列，D錯誤.
故選：ABC
33．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，B為坐標(biāo)原點，點P在圓上，若對于，存在數(shù)列，，使得，則下列說法正確的是（ ）
A．為公差為2的等差數(shù)列B．為公比為的等比數(shù)列
C．D．前n項和
【答案】CD
【解析】對AB，由點P在圓上，則由參數(shù)方程得，
則，∴.
對于，存在數(shù)列，，使得，即①，②，
②①得，
令，則，則是以為首項，
公比為的等比數(shù)列.
則，AB錯；
對C，，C對；
對D，，
，
兩式相減得，
.
∴，D對.
故選：CD.
34（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足為的前項和．則下列說法正確的是（ ）
A．取最大值時，B．當(dāng)取最小值時，
C．當(dāng)取最大值時，D．的最大值為
【答案】AD
【解析】由題意知，則，因為，
所以，
令，所以，所以，所以，
即或，又，故．
當(dāng)取最大值時，，此時，則，，
故，故A正確；
當(dāng)取最小值時，，此時，則，，
故，故B不正確；
由，知，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故當(dāng)取最大值時，，
此時，故C不正確，D正確．
故選：AD
35．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A．
B．若，則的最小值為
C．取最小值時
D．設(shè)，則
【答案】AC
【解析】對于選項A：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可得：，解得，
所以，故A正確；
對于選項B：若，則，即，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
但，所以的最小值不為，故B錯誤；
對于選項C：令，解得，
又因為，可得的最后一個負(fù)項為第5項，且無零項，
所以取最小值時，故C正確；
對于選項D：因為，
則，
可得，
兩式相減得：
，
所以，故D錯誤；
故選：AC.
36．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列 滿足，，的前項和為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由，，得，而，
因此數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，，
所以，B正確；
由，A正確；
，
則有2，
兩式相減得，D錯誤；
由，C錯誤.
故選：AB
37．（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預(yù)測）若數(shù)列滿足（為正整數(shù)），為數(shù)列的前項和則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】，故A正確；
由知，，
兩式相減得，
故，故當(dāng)時，為常數(shù)列，
故，故，故，故B正確；
，故C錯誤；
，
故，故D正確.
故選：ABD.
38．（2023·江蘇揚州·儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．的最小值為D．
【答案】ABD
【解析】對于選項A：因為，即，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，故A正確；
對于選項B：因為，則，
兩邊平方整理得，故B正確；
對于選項C：因為數(shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，
所以為遞減數(shù)列，不存在最小值，故C錯誤；
對于選項D：因為，整理得，
兩邊平方得，即，
可得，
所以，
即，所以，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題
39．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為 ．
【答案】
【解析】若，
則由得，則，不合題意.
所以.
當(dāng)時，因為，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案為：
40．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則 .
【答案】
【解析】設(shè)的公比為，則，顯然，
則，即，則，因為，則，
則，則，則，
故答案為：.
41（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差 ．
【答案】2
【解析】由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.
42．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：
①的第2項小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【答案】①③④
【解析】由題意可知，，，
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，由可得，兩式作差可得，
所以，，則，整理可得，
因為，解得，①對；
假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，
所以，，可得，解得，不合乎題意，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；
當(dāng)時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；
假設(shè)對任意的，，則，
所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.
故答案為：①③④.
43．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則 .
【答案】100
【解析】當(dāng)或，時，，；
當(dāng)，時，，，
當(dāng)，時.
∴，
∴.
故答案為：100.
44．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎瑢?shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
【答案】
【解析】因為數(shù)列是正奇數(shù)列，
對于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則為偶數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則為奇數(shù)，
所以，則，
所以.
故答案為：.
45．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，，則的前n項和為 .
【答案】
【解析】設(shè)的前n項和為，則，
又，
故
，
故，
故答案為：.
46．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知各項均不為零的數(shù)列的前項和為，，，，且，則的最大值等于 .
【答案】
【解析】因為，
所以，將代入，得，
所以，，所以，
，
又因為，所以，，即，
因為，所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，
因為，所以當(dāng)時，
最大，
所以，
即時，有最大值.
故答案為：.
47．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列中，，前n項和為.若，則數(shù)列的前2023項和為 .
【答案】
【解析】在數(shù)列中，又，且，
兩式相除得，，
∴數(shù)列 是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，則，∴ ，
當(dāng)，，
當(dāng)時，，也滿足上式，
∴數(shù)列的通項公式為，
則，
數(shù)列的前2023項和為.
故答案為：
48．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和為，，則中所有元素的和為 .
【答案】2520
【解析】由，得，
所以，
所以為奇數(shù)時，故都是集合中的元素.
又，所以為偶數(shù)時，
由得，所以2，4，6，8是集合中的元素，
則集合中所有元素的和為.
故答案為：2520.
49．（2023·陜西·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前n項和，設(shè)為數(shù)列的前n項和，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時，，
當(dāng)時，滿足上式，
所以.
所以，
所以，
由，可得，即，
因為函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，有最小值為10，
所以，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
50．（2023·陜西銅川·?？家荒＃┮阎獢?shù)列中，，且，數(shù)列的前n項和為，若對任意的正整數(shù)n，總有，則t的取值范圍是 ．
【答案】.
【解析】由得，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，即．
所以．
故
，
易知數(shù)列為遞增函數(shù)，且，所以，
故，解得或．
故答案為:.
雌雄
×
雌雄
×
作用次數(shù)
陽離子個數(shù)
陰離子個數(shù)
0
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
5
4
5
8
5
8
13
6
13
21
7
21
34
8
34
55
9
55
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