技法01 數(shù)列中不等式的證明
技法02 數(shù)列中的不等式放縮
技法03 數(shù)列中的參數(shù)求解
技法04 數(shù)列與三角函數(shù)綜合
技法01 數(shù)列中不等式的證明
數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的一部分，它不僅涉及到數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，還要求學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和靈活的解題技巧。難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).
例1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
【詳解】（1）由得，則當(dāng)時(shí)，有，
兩式相減得，
整理得，即，
因此數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）及可得，
因此．
于是，
所以
，
由于，所以，
故．
1．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且為，的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.
【答案】(1)，
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）借助與的關(guān)系與等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可得；
（2）借助裂項(xiàng)相消法可求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得證.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，?br>當(dāng)時(shí)，，②
①－②得，化簡(jiǎn)可得，，
且當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，
由題可得，故，解得，
所以，；
（2）證明：令，
所以
，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，且成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)已知等比中項(xiàng)列等式，結(jié)合與的關(guān)系可得的遞推公式，然后利用構(gòu)造法求，再根據(jù)與的關(guān)系求通項(xiàng)；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求，然后可證明.
【詳解】（1）由成等比數(shù)列，
得，
所以．
整理，得，則．
又，
所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
所以，即．
當(dāng)時(shí)，，
所以．
當(dāng)時(shí)，不符合上式．
故.
（2）由（1）可知，，
所以
，
所以，
故．
3．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，記.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）借助構(gòu)造等比數(shù)列算出，即可求出；
（2）將裂項(xiàng)后求和，再分奇偶討論即可得證.
【詳解】（1）由，得，，
則，，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，
，
.
（2），
，
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由，可知是遞增數(shù)列，
，
綜上，.
技法02 數(shù)列中的不等式放縮
放縮的基本思路是將通項(xiàng)適當(dāng)放大或縮小，向便于相消或便于求和的方向轉(zhuǎn)化.放縮的策略是通過(guò)多角度觀察通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，思前想后，找準(zhǔn)突破口，怡當(dāng)放縮，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).
（1），其中：可稱為“進(jìn)可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇。
注：對(duì)于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消特征的數(shù)列，例如：，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如：
（2），從而有：
注：對(duì)于還可放縮為：
（3）分子分母同加常數(shù)：
此結(jié)論容易記混，通常在解題時(shí)，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問(wèn)題時(shí)不妨先構(gòu)造出形式再驗(yàn)證不等關(guān)系。
（4）

可推廣為：

例2．（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，證明：．
【詳解】（1）因?yàn)椋? ①
當(dāng)時(shí)，， ②
①②，得
，所以，
又時(shí)，，
所以．
（2）由（1）結(jié)合已知條件可得：．
當(dāng)時(shí)，，，即成立．
當(dāng)時(shí)，，
所以

綜上，．
1．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由等差數(shù)列定義可得，由與的關(guān)系即可得；
（2）由與可得，即可得，由，可得，借助等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可得證.
【詳解】（1）由是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，
故，
即，
當(dāng)時(shí)，，
故
，
當(dāng)時(shí)，，符合上式，
故；
（2）由，，
故，
則
，
由，
故，
則.
2．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，滿足（）.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）時(shí)，有，變形為，可得數(shù)列為等比數(shù)列，可利用首項(xiàng)和公比求通項(xiàng)公式；
（2）利用數(shù)列求和的放縮法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值，證明不等式.
【詳解】（1）∵數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，滿足（），
時(shí)，，解得.
∴時(shí)，，化為， 變形為，
又，∴，，
數(shù)列是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列，∴.
（2）先證明左邊：即證明，
由（1）可得：，解得，
又由，解得，
又，
所以，
再證明右邊：.
∴，
下面證明，
即證明，
設(shè)，，
則，即證明，.
設(shè)，，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，
即，，
∴.
∴.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)放縮法結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式證明左邊，對(duì)右邊等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
3．（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)證明：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由題設(shè)，構(gòu)造法得到，即可證結(jié)論.
（2）由（1）及放縮法得，再應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和，即可證結(jié)論.
【詳解】（1）由題設(shè)，又，
所以是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列.
（2）由（1）知：，則，顯然時(shí)成立，
當(dāng)有，此時(shí)，
綜上，，得證.
4．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)對(duì)任意，數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．
(1)證明：?jiǎn)握{(diào)遞增，且；
(2)記，證明：存在常數(shù)，使得．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由可證明單調(diào)性，由反證法即可證明，
（2）由裂項(xiàng)求和即可求解.
【詳解】（1）證明：由于，則，
所以，即單調(diào)遞增．
假設(shè)存在，使得，則，
所以．
不妨取，即，即，則，這與任意，恒成立相矛盾，故假設(shè)不成立，所以．
（2）由（1）有，又，所以
．
于是，
故可取，即有．
5．（2022·云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，
(1)求和
(2)求證：．
【答案】(1)，
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用可得，從而可求及.
（2）利用放縮法及裂項(xiàng)相消法可證不等式成立.
【詳解】（1）時(shí)，，時(shí)，，
所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，
所以，
（2）當(dāng)時(shí)，，原式成立．
當(dāng)時(shí)，
所以．
技法03 數(shù)列中的參數(shù)求解
對(duì)于此類含參數(shù)不等式愿型,大部分可以通過(guò)分離參數(shù)等方式轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,對(duì)于求最值,需要分析單調(diào)性,函數(shù)類型可通過(guò)運(yùn)算法則或者求導(dǎo)進(jìn)行判斷,數(shù)列可通過(guò)作差法進(jìn)行判斷數(shù)列的單調(diào)性，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).
例3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由題意可得：，
當(dāng)時(shí)，可得，
則，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）可得：，則，
可得，則，
兩式相減得：，
所以，
因?yàn)?，則，
原題意等價(jià)于關(guān)于的不等式恒成立，可得，
構(gòu)建，
令，則，解得或3，
則，即當(dāng)或時(shí)，取到最大值，
可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.
1．（2023·河南·信陽(yáng)高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且為正項(xiàng)等比數(shù)列，，.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用整理化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合得到數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，計(jì)算即可得結(jié)論；
（2）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）先利用錯(cuò)位相減法求出，再將恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，計(jì)算的正負(fù)確定其單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，
所以，
整理得，①
所以，②
由①-②得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，
因?yàn)?，所以?shù)列的公差為，
所以.
設(shè)，
則，
因?yàn)椋ǔ?shù)），
所以數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列的公比為，
結(jié)合（1）及已知得，
解得，所以；
（3）由（1）（2）得，，
所以，①
又②
①-②，得，
所以，
由，解得.
設(shè)，則，
故，
因?yàn)椋?br>故恒成立，知單調(diào)遞減，
故的最大值為，則，即的取值范圍為.
2．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值．
【答案】(1)；
(2)10.
【分析】（1）根據(jù)關(guān)系及遞推式可得，結(jié)合等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式，即可得結(jié)果；
（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求，由不等式能成立及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，則，而，
所以，故是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，
所以.
（2）由，
所以，
要使，即，
由且，則.
所以使得成立的的最小值為10.
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且．
(1)若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，，設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意的，恒成立，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根據(jù)題意得到通項(xiàng)公式，根據(jù)和分類討論求數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（2）先證明是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求，最后求的取值范圍即可得到m的最小值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
顯然不適合上式．
所以，
由，得當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列從第二項(xiàng)開始構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，
則當(dāng)時(shí)，．
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）由和，得，
所以，又，
所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，
設(shè)，
則，①
所以，②
①②得，
，
所以．
設(shè)，
由于，所以，
所以數(shù)列是遞減數(shù)列，則，所以．
由題意可知，，，故m的最小值為6．
4．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列滿足.
(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，，且是等差數(shù)列，記是數(shù)列的前項(xiàng)和.對(duì)任意，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）設(shè)出公差，得到方程，求出公差，得到通項(xiàng)公式；
（2）法一：設(shè)，的公差為，代入題目條件變形后對(duì)照系數(shù)得到方程組，求出，得到，，利用放縮法和裂項(xiàng)相消求和得到，得到整數(shù)的最小值；
法二：記的公差為，由，，結(jié)合求出，進(jìn)而得到，進(jìn)而求出，進(jìn)而得到，利用放縮法和裂項(xiàng)相消求和得到，得到整數(shù)的最小值.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，得，
故或.
（2）法一：由為等差數(shù)列，可設(shè)，記的公差為，
故.
所以，顯然，，
平方得，該式對(duì)任意成立，
故，解得.
故.
因此，
一方面，，
，
故，
另一方面，
.
故整數(shù)的最小值為3.
法二：記的公差為，
則，，，
上式平方后消去可得，
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故，
將其代入中，得，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，解得，
故，
，故，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)意義，舍去，
因此，
一方面，，
，
故，
另一方面，
.
故整數(shù)的最小值為3.
【點(diǎn)睛】數(shù)列不等式問(wèn)題，常常需要進(jìn)行放縮，放縮后變形為等差數(shù)列或等比數(shù)列，在結(jié)合公式進(jìn)行證明，又或者放縮后可使用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和，常常使用作差法和數(shù)學(xué)歸納法，技巧性較強(qiáng).
技法04 數(shù)列與三角函數(shù)綜合
數(shù)列、三角是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從本質(zhì)上看它們是特殊的函數(shù)，都具有函數(shù)的某些性質(zhì)。數(shù)列也可和三角函數(shù)綜合考查，需強(qiáng)化復(fù)習(xí)
例4．（2023·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù)，記的最小值為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．若數(shù)列滿足，則
【詳解】A選項(xiàng)，，故，
由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，A正確；
B選項(xiàng)，由柯西不等式得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
依次類推，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
故
，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)，，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以，故在上恒成立，
，C正確；
D選項(xiàng)，，
，
故，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消法求和類型：
分式型：，，等；
指數(shù)型：，等，
根式型：等，
對(duì)數(shù)型：，且；
1．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前和公式即可求出，則得到其通項(xiàng)公式；
（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)討論并結(jié)合裂項(xiàng)求和即可.
【詳解】（1）由題意得是公差為2的等差數(shù)列，且，
即，又因?yàn)椋裕?br>所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）由（1）知，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，滿足，
綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，．?dāng)?shù)列滿足，其中，．已知如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，．
(1)求的通項(xiàng)公式．
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)正切的二倍角公式可推出，可知是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
（2）由于，可證，化簡(jiǎn)，由已知可得，再利用等比數(shù)列的求和公式可證，得證.
【詳解】（1）由于，則，
由于，所以，即，
又由可知，
從而是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
因此.
（2）一方面，由于，因此．
另一方面，由（1）中，可得．
由于，則，即，
因此，
，
綜上，.
3．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)a，，且．若則稱a與b關(guān)于模m同余，記作（mdm）（“|”為整除符號(hào)）．
(1)解同余方程（md3）；
(2)設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．
①若（），數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；
②若（），求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)或（）．
(2)①3036；②
【分析】（1）根據(jù)帶除的定義求解，（md3），即能被3整除，從而得出或能被3整除；
（2）①首先求出（分奇偶項(xiàng)），確定出，用并項(xiàng)求和法求和；②求出，利用兩角差的正切公式變形通項(xiàng)，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和．
【詳解】（1）由題意（md3），所以或（），即或（）．
（2）由（1）可得為，所以．
①因?yàn)椋ǎ?，所以?br>．
②（）．
因?yàn)椋?br>所以
．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的閱讀理解能力，創(chuàng)新意識(shí)，解題關(guān)鍵是正確理解新概念并能應(yīng)用解題，本題中同余問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是除以一個(gè)質(zhì)數(shù)后的余數(shù)相等，問(wèn)題轉(zhuǎn)化后可結(jié)合數(shù)列的求和方法，兩角差的正切公式等等知識(shí)才能順利求解．

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