福建省福州第三中學2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

命題：高二數(shù)學集備組審卷：高二數(shù)學集備組
第I卷
一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 將5封不同的電子郵件發(fā)送到4個電子信箱中，則不同的發(fā)送方法共有（）
A. 種B. 種C. 9種D. 20種
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理分析運算.
【詳解】將5封不同的電子郵件發(fā)送到4個電子信箱中，共有種發(fā)送方法.
故選：B
2. 設、，向量，，且，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標表示求出、的值，求出向量的坐標，利用空間向量的模長公式可求得結(jié)果.
【詳解】因為，則，解得，則，
因為，則，解得，即，
所以，，因此，.
故選：D.
3. 隨機變量的分布列如下：
若，則（）
A. 0B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分布列概率之和為1以及期望值列方程組，解方程組求得a、b的值，進而求得方差.
【詳解】由題意可知，，
所以.
故選：
4. 某大學的2名男生和3名女生利用周末到社區(qū)進行志愿服務，當天活動結(jié)束后，這5名同學排成一排合影留念，則下列說法正確的是（）
A. 若要求3名女生排在一起，則這5名同學共有48種排法
B. 若要求2名男生不相鄰，則這5名同學共有36種排法
C. 若要求女生從左到右是從高到矮排列，則這5名同學共有20種排法
D. 若要求男生甲不站在最左邊，女生乙不站最右邊，則這5名同學共有72種方法
【答案】C
【解析】
【分析】利用捆綁法判斷A；利用插空法判斷B；利用定序法判斷C，利用間接法可判斷D.
【詳解】對于，先將3名女生看成一個整體，與2名男生全排列即可，有種排法，錯誤；
對于B，若2名男生不相鄰，可以先排女生，然后男生插空，有種排法，B錯誤；
對于C，女生從左到右是從高到矮排列，即女生定序，有種排法，C正確；
對于D，男生甲不站在最左邊，女生乙不站最右邊，有種排法，D錯誤．
故選：C
5. 已知雙曲線：（，）的上、下頂點分別為，，點在雙曲線上（異于頂點），直線，的斜率乘積為，則雙曲線的漸近線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
設點由直線，的斜率乘積為得到，則漸近線可求.
【詳解】設點，又，，則，
所以，又因為點在雙曲線上得，
所以，故，所以
則雙曲線的漸近線方程為.
故選：B
6. 現(xiàn)有語文?數(shù)學?英語?物理各1本書，把這4本書分別放入3個不同的抽屜里，要求每個抽屜至少放一本書且語文和數(shù)學不在同一個抽屜里，則放法數(shù)為（）
A. 18B. 24C. 30D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，用間接法求解，先由分步計數(shù)原理計算4本書放入三個不同抽屜的放法數(shù)目，再計算語文與數(shù)學在同一抽屜的放法數(shù)目，相減即可得到結(jié)果.
【詳解】4本書放入三個不同的抽屜，
先在4本書中任取2本作為一組，再將其與其他2本書對應三個抽屜，
共有種情況，
若語文與數(shù)學放入同一個抽屜，則其他兩本放入其余抽屜，
有種情況，
則語文與數(shù)學不在同一個抽屜的放法種數(shù)為：種；
故選：C.
【點睛】解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時標準應統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏．解組合應用題時，應注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義．
7. 設，則等于（）
A. 1B. C. 63D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】利用賦值法求得正確答案.
【詳解】依題意，
令得，
令得，
所以.
故選：C
8. 已知是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】構造函數(shù)，結(jié)合題意討論單調(diào)性即可求解.
【詳解】當時，令
所以，
所以在時單調(diào)遞增，
對于A，由以上結(jié)論得即
即，故A正確；
對于B，由以上結(jié)論得即
即，故B錯誤；
對于C，因為，
故只用判斷，
由A選項知，
但無法判斷是否成立，故C錯誤；
對于D，只用判斷是否成立，
根據(jù)題設條件，無法判斷是否成立，故D錯誤.
故選:A.
二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，把它們都選出來．
9. 下列說法中正確的是（）
A. “與是互斥事件”是“與互為對立事件”的必要不充分條件
B. 已知隨機變量的方差為，則
C. 已知隨機變量服從二項分布，則
D. 已知隨機變量服從正態(tài)分布且，則
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的關系可判斷A，利用方差的性質(zhì)可判斷B，利用二項分布的期望公式可判斷C，結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性可判斷D.
【詳解】對于A:“與是互斥事件”不能推出“與互為對立事件”，“與互為對立事件”能推出“與是互斥事件”，故“與是互斥事件”是“與互為對立事件”的必要不充分條件，故A正確；
對于B：隨機變量的方差為，則，故B錯誤；
對于C：隨機變量服從二項分布，則，故C錯誤；
對于D：因為隨機變量服從正態(tài)分布且，根據(jù)對稱性可知，，
所以，故D正確．
故選：AD．
10. 等差數(shù)列的前項和為，若，公差，則（）
A. 若，則B. 若，則是中最大的項
C. 若，則D. 若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A和B選項，然后根據(jù)題意判斷出，得，判斷的正負，即可可判斷C和D選項.
【詳解】等差數(shù)列的前項和，又，，可得，所以是關于的開口向下的二次函數(shù)，若，則的對稱軸，所以根據(jù)對稱性可知；若，則對稱軸為，所以是最大項；若，則，又，所以可得，故；不能判斷正負，所以與不能比較大小.
故選：BC.
【點睛】關于等差數(shù)列前項和的最值問題，一般有兩種求解方法：
（1）利用的公式判斷得是關于的二次函數(shù)，計算對稱軸，即可求出最值；
（2）利用的正負判斷，當時，則在處取最大值，當時，則在處取最小值.
11. 已知函數(shù)的圖象關于直線對稱,則（）
A. 的最小正周期為
B. 在上單調(diào)遞增
C. 的圖象關于點對稱
D. 若,且在上無極值點,則的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由解得,求出,由可判斷A;求出的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B;計算可判斷C;，可得或，可得的最小值為可判斷D.
【詳解】因為函數(shù)的圖象關于直線對稱,
所以,即,解得,
,
且,
對于A,,故A正確;
對于B,,所以,
因為在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故B錯誤;
對于C,,故C正確;
對于D,根據(jù)題意,且函數(shù)在上單調(diào).
若,則,
可得或者,,
即,,
當時,的最小值為.
因為函數(shù)在上單調(diào),即在上無零點,
因為的半周期為,在上無零點,則的最小值為滿足題意,故D正確.
故選:ACD.
12. 對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若滿足：，且，都有，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，若為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，且，，又當時，恒成立，下列命題中正確的有（）
A. B. ，
C. D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用已知條件和函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一判斷即可得正確答案.
【詳解】A.因為，所以令得，所以，故A正確；
B.由當，恒成立，令，則，由為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，則，所以，則，，故B錯誤；
C.，，而，
所以，，
由，，，則，則，故C正確；
當時，，，
令，則，，
則，即，故D正確.
故選：ACD
第II卷
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在相應橫線上．
13. 從3男4女共7名醫(yī)生中，抽取3名醫(yī)生參加社區(qū)核酸檢測工作，則至少有1名女醫(yī)生的選法有__________種．（用數(shù)字作答）
【答案】34
【解析】
【分析】首先不考慮性別利用組合數(shù)求出總數(shù)，再減去全是男醫(yī)生的情況即可.
【詳解】由題意從3男4女共7名醫(yī)生中，抽取3名醫(yī)生參加社區(qū)核酸檢測工作，共有種選法，
如果全是男醫(yī)生參加，有種選法，所以共有種選法．
故答案為：
14. 在的展開式中，項的系數(shù)為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項公式，
令可得，，
則項的系數(shù)為.
故答案為：60.
15. 已知在8個電子元件中，有3個次品，5個合格品，每次任取一個測試，測試完后不再放回，直到3個次品都找到為止，則經(jīng)過4次測試恰好將3個次品全部找出的概率為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用獨立事件的乘法公式可求答案.
【詳解】由題意可得，前3次抽到了2個次品，一個正品，且第4次抽到第3個次品，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式，
所求概率．
故答案為：
16. 若過點有3條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】設切點坐標為，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，進而將有3條切線轉(zhuǎn)化為方程有三個不等實數(shù)根，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像有三個交點問題，利用導數(shù)作出的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.
【詳解】由題意可得，
設切點坐標為，則切線斜率，
所以切線方程為，
將代入得.
因為存在三條切線，即方程有三個不等實數(shù)根，
則方程有三個不等實數(shù)根等價于函數(shù)的圖像有三個交點，
設，則，
當時，單調(diào)遞增；
在和上，單調(diào)遞減，，
當或時，，
畫出的圖象如圖，
要使函數(shù)的圖像有三個交點，需，
即，即的取值范圍是，
故答案為：
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)的幾何意義表示出切線方程，根據(jù)切線條數(shù)可得有三個不等實數(shù)根，解答此類問題常用方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性或求得極值，進而作出圖像，數(shù)形結(jié)合，解決問題.
四?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
17. 袋子中有9個大小、材質(zhì)都相同的小球，其中6個白球，3個紅球．每次從袋子中隨機摸出1個球摸出的球不再放回，求：
（1）在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；
（2）第二次摸到白球的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用條件概率的計算公式求解即可；
（2）第二次摸到白球的情況分為兩種，分別求出這兩種情況的概率，進而可求得答案.
【小問1詳解】
設第一次摸到紅球的事件為，第二次摸到紅球的事件為，
則，，
所以在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率.
【小問2詳解】
第二次摸到白球的情況分為兩種：
第一種情況：第一次摸到紅球，第二次摸到白球，此時的概率，
第二種情況：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此時的概率，
所以第二次摸到白球的概率.
18. 在中，角的對邊分別為，且．
（1）求角的大??；
（2）若的面積，求的周長．
【答案】（1）；
（2）6
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦求解即得.
（2）由（1）的結(jié)論，利用三角形面積求出，再利用余弦定理求解即可.
【小問1詳解】
在中，由，得，
由正弦定理得，即，
又，即，于是，
由，得，因此，又，
所以．
【小問2詳解】
由的面積，得，得，
又，由余弦定理，得，則，
于是，解得，
所以周長為．
19. 如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．
（1）證明：；
（2）點F滿足，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；
（2）由題可證平面，所以以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，再求出平面的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關系即可解出．
【小問1詳解】
連接，因為E為BC中點，，所以①，
因為，，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
【小問2詳解】
不妨設，，．
，，又，平面平面．
以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設，
設平面與平面的一個法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．
20. 為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能，從設備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100個零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：
經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值．
（1）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判（表示相應事件的頻率）；
①；②；③．
評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級．
（2）將直徑小于或等于或直徑大于的零件認為是次品．
①從設備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2個零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望；
②從樣本中隨意抽取2個零件，計算其中次品個數(shù)的分布列．（答案用分數(shù)表示，要畫表格）
【答案】（1）性能等級為丙
（2）① ；②分布列見解析
【解析】
【分析】(1)根據(jù)原則，分別求得其對應的概率，進而判斷出M的性能級別．
(2)通過題意可知，樣本中共有6件次品，可知M生產(chǎn)的次品率為0.06．通過二項分布的概率分布即可求得次品的數(shù)學期望．
【小問1詳解】
，
所以由圖表知：
，
因為設備的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙．
【小問2詳解】
樣本中次品共6件，可估計設備生產(chǎn)零件的次品率為0.06，
直徑小于或等于零件有2件，大于的零件有4件，共計6件
①從設備M的生產(chǎn)流水線上任取一件，取到次品的概率為，
依題意得，；
②由題意可知服從超幾何分布，的可能值為：，
，，
所以Z的分布列為：
21. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當時，．
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求導，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可得解；
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構造函數(shù)，利用導數(shù)證得即可.
方法二：構造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.
【小問1詳解】
因為，定義域為，所以，
當時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當時，令，解得，
當時，，則在上單調(diào)遞減；
當時，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當時，；當時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當且僅當時，等號成立，
因為，
當且僅當，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當時，恒成立，證畢.
22. 設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于兩點，過作的平行線交于點.

（1）寫出點的軌跡方程；
（2）設點的軌跡為曲線，過且與平行的直線與曲線交于兩點，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得圓的圓心和半徑，運用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得，再由圓的定義和橢圓的定義，可得的軌跡為以，為焦點的橢圓，求得，，，即可得到所求軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線與圓，以及直線與橢圓方程，可得跟與系數(shù)的關系，結(jié)合向量的坐標運算，即可根據(jù)數(shù)量積的坐標運算得，進而利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
圓的標準方程為，故半徑
因為，，故，
所以，故，
因此，
由題設得，，，
由橢圓定義可得點的軌跡方程為：．
【小問2詳解】
設直線的方程為，則直線的方程為,
聯(lián)立直線與圓的方程，消元得，
則
則，
聯(lián)立直線與圓的方程，消元得，
由于點在橢圓內(nèi)，故該方程一定有兩個不相等的實數(shù)根，
不妨設，則，
，
，
，
，
所以，
令，則，
令，則，
由于函數(shù)的對稱軸為，故在單調(diào)遞減，
故當時，取最小值，故，
所以
【點睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；
（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.1
2
直徑
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合計
件數(shù)
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
0
1
2

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