審卷人：高一數(shù)學(xué)集備組
注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的班級、準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆書寫作答．若在試題卷上作答，答案無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列向量關(guān)系式中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量加減法的運(yùn)算規(guī)則，驗證各選項的結(jié)果.
【詳解】，A選項錯誤；
，B選項錯誤；
，C選項錯誤；
由向量加法的運(yùn)算法則，有，D選項正確.
故選：D.
2. 若用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用斜二測畫法判斷.
【詳解】解：由斜二測畫法知：平行或與x軸重合的線段長度不變，平行關(guān)系不變，
平行或與y軸重合的線段長度減半，平行關(guān)系不變，
故選：A
3. 若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“”的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【詳解】若，因為垂直于平面，則或；若，又垂直于平面，則，所以“ ”是“ 的必要不充分條件，故選B．
考點：空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系．
4. 設(shè)非零向量，滿足，，則向量在方向上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)的夾角為，求出即得解.
【詳解】解：設(shè)的夾角為，
由得.
所以向量在方向上的投影向量為.
故選：A
5. 在正四棱臺中， ，則該四棱臺的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出軸截面，過點作，結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)得高，再計算體積即可.
【詳解】解：作出軸截面如圖所示，過點作，垂足為，
因為正四棱臺中，
所以，，，即梯形為等腰梯形，
所以，，
所以，該四棱臺的體積為
故選：B
6. 如圖，點為正方形的中心，平面，，是線段的中點，則（ ）
A. ，且直線是相交直線B. ，且直線是相交直線
C. ，且直線是異面直線D. ，且直線是異面直線
【答案】A
【解析】
【分析】連接，利用正方形中心的性質(zhì)易得N為中點，所以易證明四點共面，再利用已知的空間關(guān)系就可以得證相等關(guān)系.
【詳解】如圖所示：連接，點為正方形的中心，
則經(jīng)過點，且點為中點，又因為是線段的中點，
所以在中，，所以四點共面，即直線是相交直線；
因為平面，平面，所以，
又因為，所以，
又在正方形中可得：，所以，
同理可證，所以是正三角形，即，
故選：A．
7. 已知是所在平面內(nèi)的一點，若|，則一定為（ ）
A. 以為底邊的等腰三角形
B. 為底邊的等腰三角形
C. 以為斜邊的直角三角形
D. 以為斜邊的直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，先得到，再由向量數(shù)量積的運(yùn)算，化簡整理，即可得出結(jié)果.
【詳解】由得，
則，
所以，則，
所以，則，
所以是以為斜邊的直角三角形.
故選：C.
8. 已知等邊三角形的邊長為4，D為的中點，將沿折到，使得為等邊三角形，則直線與所成的角的余弦值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)異面直線夾角的定義找到直線與所成的角為，再利用余弦定理運(yùn)算求解即可.
【詳解】分別取，，的中點E，F(xiàn)，G，連接，，，，
則，，且，，，
所以直線與所成的角為（或其補(bǔ)角），
由題意可知：，，，，平面，
所以平面，
且平面，可得，則，
在中，由余弦定理可得，
所以直線與所成的角的余弦值為．
故選：D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（ ）
A. 若，，，則B. 若，，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直線與平面的判定與性質(zhì)定理及面面平行的定義、判定定理，結(jié)合空間直線、平面的位置關(guān)系逐項判斷即可.
【詳解】對于A，若，，，則或m與n相交或是異面直線，A錯誤；
對于B，由，得在平面內(nèi)存在不同于n的直線l，使得，
由，得在平面內(nèi)存在不同于n的直線，使得，于是，
而，則，又，因此，，B正確；
對于C，若，，則或與相交，C錯誤；
對于D，若，，則或，D錯誤.
故選：ACD
10. 已知內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，，且該三角形有兩解，則
C. 若，則為等腰三角形
D. 若，則為銳角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)大邊對大角及正弦定理判斷A，根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合可判斷B，由正弦定理及三角恒等變換判斷C，由兩角和的正切公式變形可判斷D.
【詳解】因為，所以，由正弦定理，可知，故A正確；
如圖，

，，且該三角形有兩解，所以，即，
故B正確；
由正弦定理可得，，即，所以，因為，所以或，
即或，所以三角形為等腰或直角三角形，故C錯誤；
因為
，且，
所以，即為銳角，所以為銳角三角形，故D正確.
故選：ABD
11. 在棱長為2的正方體中，動點在正方形內(nèi)運(yùn)動（含邊界），則（ ）
A. 有且僅有一個點，使得
B. 有且僅有一個點，使得平面
C. 當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
D. 有且僅有兩個點，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】結(jié)合圖形根據(jù)約束條件由點的位置，逐一對個選項進(jìn)行求解即可.
【詳解】對于選項A，當(dāng)與重合或與重合時滿足，故A不正確；
對于選項B，因為A，，，平面，
所以平面，
若平面，則平面與平面重合，
此時必與重合，有且僅有一個點，使得平面，故B正確；
對于選項C，因為，平面，平面，所以面，
所以點到平面的距離等于到平面的距離，
所以為定值，故C正確；
對選項D，易知，，由，，得，
所以點的軌跡是側(cè)面內(nèi)以B為圓心，5為半徑的弧，
即有無數(shù)個點滿足題意，故D不正確．
故選：BC
第Ⅱ卷
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球O的直徑相等，則圓錐的表面積與球O的表面積的比值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用軸截面為等邊三角形去寫出圓錐底面半徑，高，母線長之間的關(guān)系，再結(jié)合圓錐的高與球的直徑相等，找到不同幾何體之間的變量關(guān)系，再應(yīng)用對應(yīng)幾何體的表面積公式即可解得.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，球O的半徑為R，
因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高，母線，
由題可知：，所以球O的半徑
所以圓錐的表面積，球O的表面積，
即，
故答案為：1．
13. 小明同學(xué)在廣場上對紀(jì)念碑的高度進(jìn)行測量，并繪制出測量方案示意圖（如圖），紀(jì)念碑的最頂端記為A點，紀(jì)念碑的最底端記為B點（B在A的正下方），在廣場內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選取C，D兩點，測得CD的長為15米，，在點C測得A的仰角為，在點D測得A的仰角為．根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，紀(jì)念碑的高度為______米．
【答案】15
【解析】
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】設(shè)米，在中，，，得，
在中，，，得，
在中，，，則由余弦定理得，
，解得，即
所以紀(jì)念碑高度為15米．
故答案為：15．
14. 已知中，，，是線段上的兩點，滿足，，，，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)角分線的向量性質(zhì)及中線的向量性質(zhì)化簡得解.
【詳解】由已知，
，則，
所以，則，
所以，
即，
即，
又點在上，所以，
所以，即，
又，
則，，
即，
聯(lián)立，得，
解得，或（舍），
所以，則，
所以，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，在中，，點是的中點，設(shè)，

（1）用表示；
（2）如果，有什么位置關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.
【答案】（1），
（2），證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解；
（2）因為，化簡，即可得到結(jié)論.
【小問1詳解】
解：因為，所以，
因為是的中點，
可得
【小問2詳解】
解：.
因，
則
以，所以.
16. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，的面積為，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，可得，即可求得答案；
（2）利用三角形面積公式求出，再由余弦定理求出答案
【小問1詳解】
因為，所以，
即，
所以．
因為，所以，所以，
又，所以．
【小問2詳解】
因為，所以
又由余弦定理得
即，解得.
17. 如圖，在三棱柱中，D在線段AC上．
（1）若DAC中點，求證：平面；
（2）若M為BC的中點，直線平面，求．
【答案】（1）證明見解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）連接交于點O，連接OD，證明，證明平面；
（2）設(shè)交于點E，連接DE，得到，利用平行即可求解.
【小問1詳解】
連接交于點O，連接OD，
∵三棱柱，∴四邊形為平行四邊形，∴O為的中點，
又∵D為AC的中點，∴
∴平面，平面，∴平面
【小問2詳解】
設(shè)交于點E，連接DE,
∵平面，平面，平面平面
∴，∴
又∵四邊形為平行四邊形，M為BC的中點
∴，∴
18. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知S為的面積且.
（1）若，求外接圓的半徑；
（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形面積公式和余弦定理化簡可得，計算可求，進(jìn)而利用正弦定理求得外接圓的半徑；
（2）由，設(shè),由題意可求，利用正切函數(shù)的性質(zhì)可求,可得,利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，,進(jìn)而可求的取值范圍.
【小問1詳解】
∵S為的面積且，,
∴,即，,∴.
∴，解得：.
【小問2詳解】
由（1）可知，，
∴
∵為銳角三角形，，∴，∴，∴，
設(shè)，則，
∴時，
19. 如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，E是的中點．
（1）證明：平面；
（2）若直線與平面所成的角和與平面所成的角相等，求四棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，證明，由線面垂直的性質(zhì)證明，由線面垂直的判定定理即可得證；
（2）思路一：由線面角相等得，由等面積法求得，再求得底面梯形面積即可求解，思路二：由線面角相等得，由等體積法得，結(jié)合梯形面積公式、棱錐體積公式即可得解.
【小問1詳解】
連接AC，
由，，，∴．
∵，E是中點，所以．
∵平面，平面，∴．
又∵，平面，∴平面．
【小問2詳解】
過點B作交于G，交于F，
則由（1）可得平面，
∴平面．
∴為直線與平面所成的角，
又∵平面，∴為直線與平面所成的角．
又∵在和中，，是公共邊，
∴，∴．
又∵，，∴四邊形是平行四邊形，
∴．∴．
在中，，，∴，
∴由得，即，
又∵梯形的面積為，
∴四棱錐的體積為；
第（2）問解法二：
因為平面，所以是在平面內(nèi)的射影，
∠PBA是與平面所成的角，
設(shè)，則．
設(shè)B到平面的距離為d，與平面所成的角為，
則，
因為與平面所成的角與與平面所成的角相等，所以．
如圖，在梯形中，
過C作于H，則，，所以，
由可得，所以．
過E作于F，則．
由，得，
即，所以，解得．
又∵梯形的面積為，
∴四棱錐的體積為．
20. 對于向量集，記向量．如果存在向量，使得，那么稱是向量集的“長向量”．
（1）設(shè)向量，．若是向量集的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）設(shè)向量，，則向量集是否存在“長向量”？給出你的結(jié)論并說明理由；
（3）已知均是向量集的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點集，其中，，且與關(guān)于點對稱，與關(guān)于點對稱，求的最小值．
【答案】（1）
（2）存在“長向量”，且“長向量”為，，理由見解析
（3）4044
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量模長的不等關(guān)系，解得的范圍即可；
（2）根據(jù)“長向量”的定義，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可；
（3）根據(jù)向量坐標(biāo)代入計算，結(jié)合向量不等式得到，再設(shè)，得到向量關(guān)系，從而求得最值.
【小問1詳解】
由題意可得：，，，
則，解得：.
【小問2詳解】
存在“長向量”，且“長向量”，，理由如下：
由題意可得，若存在“長向量”，只需使，
因為，，，，，，
所以，故只需使
，
即，即，
當(dāng)或6時，符合要求，故存在“長向量”，且“長向量”為，.
【小問3詳解】
由題意，得，，即，
即，同理，
三式相加并化簡，得：，
即，，所以，
設(shè)，由，解得，
即
設(shè)，則依題意得：，
得，
故，
，
所以，
因為
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量新定義問題.關(guān)鍵點是根據(jù)已學(xué)知識，理解題中“長向量”的定義，將向量坐標(biāo)代入計算，再結(jié)合向量不等式得到，得到向量關(guān)系，從而求得最值.

相關(guān)試卷

福建省福州市八縣一中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）：

這是一份福建省福州市八縣一中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版），文件包含福建省福州市八縣一中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題原卷版docx、福建省福州市八縣一中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共27頁， 歡迎下載使用。

福建省福州屏東中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）：

這是一份福建省福州屏東中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版），文件包含福建省福州屏東中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷原卷版docx、福建省福州屏東中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共25頁， 歡迎下載使用。

福建省福州外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）：

這是一份福建省福州外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版），文件包含福建省福州外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷原卷版docx、福建省福州外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共21頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

福建省福州第八中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

福建省福州第八中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）
福建省福州市2024屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

福建省福州市2024屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）
福建省福州市鼓山中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

福建省福州市鼓山中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）
福建省福州屏東中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

福建省福州屏東中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部