命題：張艷 審核：陳達(dá)輝 校對(duì)：王成
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，然后求得，由此求得.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
所以，故，故．
故選：A
2. 已知為兩條不同的直線(xiàn)，為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列四個(gè)命題：
①；②；
③；④．
其中正確命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)線(xiàn)、面位置關(guān)系結(jié)合線(xiàn)、面平行的判定定理分析判斷.
【詳解】對(duì)于①：因?yàn)槊婷嫫叫械呐卸ǘɡ硪笙嘟唬魶](méi)有，則可能相交，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：因?yàn)榫€(xiàn)面平行的判定定理要求，若沒(méi)有，則可能，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：根據(jù)線(xiàn)、面位置關(guān)系可知：//，或異面，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：根據(jù)線(xiàn)、面位置關(guān)系可知：//，或異面，故④錯(cuò)誤；
故選：A.
3. 已知平面向量，則向量在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合投影向量的公式計(jì)算.
【詳解】平面向量，，，
所以向量在上的投影向量為.
故選：D
4. 一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為的直棱柱的底面用斜二測(cè)畫(huà)法所畫(huà)出的水平放置的直觀(guān)圖為如圖所示的菱形，其中，則該直棱柱外接球的表面積為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法確定直棱柱的底面為矩形，再確定其長(zhǎng)和寬，再求直棱柱的體對(duì)角線(xiàn)，由此可求其外接球的半徑，再由球的表面積公式求結(jié)論.
【詳解】由已知，
根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)可得，
該直棱柱的底面，
所以該直棱柱的底面為長(zhǎng)為4寬 2的矩形，
其對(duì)角線(xiàn)，
所以該直棱柱外接球的半徑，
則該直棱柱外接球的表面積，
故選：C.
5. 1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫(xiě)出以下公式，其中e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)公式可判斷A,B，由可得，兩式聯(lián)立可判斷C,D.
【詳解】對(duì)于A，不一定等于0，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>所以，即，②
聯(lián)立①②可得，，故C正確，D錯(cuò)誤，
故選：C.
6. 中，分別是角的對(duì)邊，且，則的形狀為（ ）
A. 直角三角形B. 鈍角三角形
C. 直角或鈍角三角形D. 銳角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式、正弦定理和和差公式化簡(jiǎn)可得，然后根據(jù)角的范圍判斷三角形形狀即可.
【詳解】由得，
即，
因?yàn)?，所以，則，
，
，
，
，
又，所以，，所以角為鈍角，為鈍角三角形.
故選：B.
7. 如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三點(diǎn)共線(xiàn)，結(jié)合向量的線(xiàn)性運(yùn)算將用表示，根據(jù)共線(xiàn)的條件得出參數(shù)值，然后對(duì)等式兩邊同時(shí)平方即可.
【詳解】，又，即，
由三點(diǎn)共線(xiàn)可知，，即，故.
由題知，，.
將上式兩邊平方可得，，即
故選：B
8. 點(diǎn)分別是棱長(zhǎng)為2的正方體中棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若面，則的長(zhǎng)度范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)F，連結(jié)，，，取EF中點(diǎn)O，連結(jié)，證明平面平面，從而得到P的軌跡是線(xiàn)段，從而得出長(zhǎng)度范圍.
【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)F，連結(jié)，，，取EF中點(diǎn)O，連結(jié)，,
∵點(diǎn)M，N分別是棱長(zhǎng)為2的正方體中棱BC，的中點(diǎn)，
，,
，四邊形為平行四邊形，
，而在平面中，易證，
∵平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面，∴平面平面，
∵動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面AMN，
∴點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段EF，
，，∴，
∴當(dāng)P與O重合時(shí)，的長(zhǎng)度取最小值，
為等腰三角形，∴在點(diǎn)或者點(diǎn)處時(shí)，此時(shí)最大，最大值為.
即的長(zhǎng)度范圍為
故選：B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知、都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（ ）
A 若，則B.
C. 若，則D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)的定義注意判斷即可.
【詳解】設(shè)，
對(duì)于A，若，則，
當(dāng)時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
故，
，
所以，故B正確；
對(duì)于C，，
若，則且，
所以，故C正確；
對(duì)于D，由B選項(xiàng)可得，
，
所以，故D正確.
故選：BCD.
10. 某班級(jí)到一工廠(chǎng)參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面ABCD中，，且，下列說(shuō)法正確的有（ ）

A. B. 該圓臺(tái)軸截面ABCD面積為
C. 該圓臺(tái)的體積為D. 沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出圓臺(tái)的高，由梯形特征可判斷選項(xiàng)A；將圓臺(tái)軸截面，可判斷選項(xiàng)B；由臺(tái)體的體積公式可判斷選項(xiàng)C；將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，側(cè)面展開(kāi)，取AD的中點(diǎn)為E，連接CE，可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】A：由已知及題圖知：且，故，錯(cuò)誤；
B：由A易知：圓臺(tái)高為，所以圓臺(tái)軸截面ABCD面積，正確；
C：圓臺(tái)的體積，正確；
D：將圓臺(tái)一半側(cè)面展開(kāi)，如下圖中且為中點(diǎn)，
而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐體側(cè)面展開(kāi)為且，又，
所以在△中，即C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，正確.

故選：BCD.
11. 已知對(duì)任意角，均有公式.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足.面積S滿(mǎn)足.記a，b，c分別為A，B，C所對(duì)的邊，則下列式子一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】結(jié)合已知對(duì)進(jìn)行變形化簡(jiǎn)即可得的值，從而判斷A；根據(jù)正弦定理和三角形面積，借助于△ABC外接圓半徑R可求的范圍，從而判斷B；根據(jù)的值，結(jié)合△ABC外接圓半徑R即可求abc的范圍，從而判斷C；利用三角形兩邊之和大于第三邊可得，從而判斷D﹒
【詳解】∵△ABC的內(nèi)角A、B、C滿(mǎn)足，
∴，即，
∴，
由題可知，，
∴，
∴
∴，
∴有，故A錯(cuò)誤；
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，
由正弦定理可知，，
∴，
∴，∴，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
，故D正確．
故選：CD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 平面向量與夾角為，，，則等于________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：，求向量的模.
【詳解】因?yàn)椋海?br>又平面向量與的夾角為，所以.
又，
所以.
故答案為：.
13. 中國(guó)古典神話(huà)故事《白蛇傳》中“水漫金山寺”中的金山寺位于鎮(zhèn)江金山公園內(nèi)，唐宋時(shí)期，寺里有南北相向的兩座寶塔，一名薦慈塔，一名薦壽塔，后雙塔毀于火，明代重建該塔，當(dāng)年值逢慈禧60大壽，地方官員以此塔作為賀禮進(jìn)貢，故取名慈壽塔.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組為了實(shí)地測(cè)量該塔的高度，選取與塔底中心在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，在點(diǎn)測(cè)得：塔頂?shù)难鼋菫椋诘谋逼珫|處，在的正東方向41米處，且在點(diǎn)測(cè)得與的張角為，則慈壽塔的高度約為_(kāi)_________米（四舍五入，保留整數(shù)）.

【答案】
【解析】
【分析】在中利用正弦定理求出，依題意為等腰直角三角形，即可得到.
【詳解】由題意可得在中，，，米，
所以，
在中利用正弦定理可得，
所有
，
因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，所以米?br>故答案為：．
14. 在中，，，，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_______
【答案】
【解析】
【分析】由已知條件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)?，且?br>所以，
由正弦定理可得，②
又，所以，③
由①，②，③解得，
由余弦定理，所以，
，
因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是由已知條件求出后，再由三點(diǎn)共線(xiàn)，得，是解決本題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟
15. 已知z是復(fù)數(shù)，與均為實(shí)數(shù).
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的特征，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，計(jì)算復(fù)數(shù)的平方，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，,所以，

由條件得，且，
所以，所以，
【小問(wèn)2詳解】
，
由條件得，
解得，所以所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
16. 如圖所示，已知圓是的外接圓，圓的直徑.設(shè)，，，在下面給出條件中選一個(gè)條件解答后面的問(wèn)題，
①；
②；
③的面積為.選擇條件______.
（1）求的值；
（2）求的周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若選①利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合兩角和的余弦公式及誘導(dǎo)公式求出，在利用正弦定理計(jì)算可得；若選②，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、和差角公式及誘導(dǎo)公式求出，在利用正弦定理計(jì)算可得；若選③，利用面積公式及余弦定理求出，在利用正弦定理計(jì)算可得；
（2）由題知，設(shè)，，利用正弦定理得到，，再根據(jù)三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
若選①，因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
顯然，所以，
即，所以，所以，又，所以，
因?yàn)橥饨訄A的半徑，所以.
若選②，因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以，
所以，所以，又，所以，
因?yàn)橥饨訄A的半徑，所以.
若選③，的面積為，則，
由余弦定理可得，所以，所以，又，所以，
因?yàn)橥饨訄A的半徑，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由題知，設(shè)，，
由正弦定理，
所以，，
所以
，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以.
17. 如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）求證：平面；
（3）若M是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析 （3）存在，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）由中位線(xiàn)、線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定即可證明；
（3）根據(jù)線(xiàn)面、面面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可判斷存在性.
【小問(wèn)1詳解】
在四棱錐中，平面，平面，平面，
平面平面，所以；
【小問(wèn)2詳解】
如下圖，取為中點(diǎn)，連接，由E是PD的中點(diǎn)，
所以且，由（1）知，又，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，
而平面，平面，則平面.
【小問(wèn)3詳解】
取中點(diǎn)N，連接，，
因?yàn)镋，N分別為，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>線(xiàn)段存在點(diǎn)N，使得平面，理由如下：
由（2）知：平面，又，平面，平面，
所以平面平面，又M是上的動(dòng)點(diǎn)，平面，
所以平面，所以線(xiàn)段存在點(diǎn)N，使得平面.
18. 已知的面積為，且且.
（1）求角的大??；
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，且，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度.
（3）在滿(mǎn)足（2）的條件下，若的平分線(xiàn)交于，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，，相除可求，再結(jié)合角的范圍即可求解；
（2）結(jié)合向量中點(diǎn)公式可得，由（1）可得，求，利用余弦定理求；
（3）結(jié)合面積公式證明，由此可求，利用余弦定理求．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>∴，
又，∴.
【小問(wèn)2詳解】
如下圖所示：
在中，中線(xiàn)，∴，
∴
而，∴.
由（1）知：，
所以，
又， ∴，，
由余弦定理可得：，
所以，
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋?br>，
又，
∴，又，
所以
又，∴，
在中，有：
，
所以.
19. 已知正的邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓圓心為，點(diǎn)滿(mǎn)足.
（1）求證：為定值；
（2）把三個(gè)實(shí)數(shù)，，的最小值記為，若，求的取值范圍；
（3）若，，求的最大值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，定值為51
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，依題意點(diǎn)在圓上，設(shè)，即可表示，，，根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)表示及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；
（2）由（1）知，同理可得，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，考查時(shí)的情況，分與兩種情況討論，分別求出，，的取值范圍，即可得解；
（3）根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得到，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，得到，，兩邊同除，
令，，將原式化為，再根據(jù)求出的取值范圍，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，
由正弦定理得外接圓半徑，
則，進(jìn)而可得，，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓上，故設(shè)，
則，，
，
所以
；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，
同理可得，，
由對(duì)稱(chēng)性下面考查時(shí)的情況，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，，，
所以，，
，此時(shí)最?。?br>當(dāng)時(shí)，，，
所以，，，
此時(shí)，，
，
此時(shí)最?。?br>綜上可得的取值范圍是；
【小問(wèn)3詳解】
，
所以，
代入整理得，，
兩邊同時(shí)除以，
得，
令，，則，
即，
所以，即，
解得，
所以的最大值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)和不等式問(wèn)題.

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