（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，若這個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，則，
這四個(gè)數(shù)為極差為，中位數(shù)為，
因?yàn)檫@個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則，解得，
所以，這四個(gè)數(shù)由小到大依次為、、、，
因?yàn)椋蔬@個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.
故選：B.
2．已知，設(shè)橢圓：與雙曲線：的離心率分別為，.若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，結(jié)合離心率公式可得，解得，
所以雙曲線的漸近線方程為.
故選：A.
3．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，且，，則（ ）
A．30B．80C．240D．242
【答案】D
【解析】由題意設(shè)公比為，所以，解得，所以.
故選：D.
4．已知直線、m、n與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，，則
【答案】B
【解析】A選項(xiàng)，如圖1，滿足，，但不垂直，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，如圖2，因?yàn)椋?br>所以作平面，使得，且，
則，
因?yàn)?，則，又，故，B正確；
C選項(xiàng)，如圖3，滿足，，但不平行，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，如圖4，滿足，，，但不平行，D錯(cuò)誤.
故選：B
5．如圖，小明從街道的處出發(fā)，到處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，若中途共轉(zhuǎn)向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數(shù)是（ ）

A．8B．12C．16D．24
【答案】D
【解析】中途共三次轉(zhuǎn)向可以分為兩類:
第一類，第一次向右轉(zhuǎn)，第二次向上轉(zhuǎn)，第三次向右轉(zhuǎn)，此時(shí)有種方法，
第二類，第一次向上轉(zhuǎn)，第二次右轉(zhuǎn)，最后向上轉(zhuǎn)，此時(shí)共有種方法.
故總的方法有24種，
故選：D.
6．若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由曲線，可得，
又由直線，可化為，直線恒過定點(diǎn)，
作出半圓與直線的圖象，如圖所示，
結(jié)合圖象，可得，所以，
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，可得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
7．已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，兩邊平方得?br>即，可得，
因?yàn)槭侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角，且，所以，
所以，得，
又因?yàn)?，?br>聯(lián)立解得：，，故有：，
從而有．
故選：B．
8．已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上除頂點(diǎn)外的一點(diǎn)，，且，則的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
設(shè)，顯然，
則，
所以的離心率．由于，
所以，所以的取值范圍是；
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)為偶函數(shù)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．函數(shù)在上的最小值為
【答案】ACD
【解析】由函數(shù)的圖象可得，由，解得，從而A正確；
再根據(jù)五點(diǎn)法可得，
又因?yàn)?，解得?br>從而，所以，
即函數(shù)為奇函數(shù)，從而B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以是最值，所以C正確；
因?yàn)闀r(shí)，，
因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，從而D正確.
故選：ACD
10．已知復(fù)數(shù)，（，）（為虛數(shù)單位），為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的虛部為
B．
C．
D．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)形成的圖形的面積為
【答案】CD
【解析】由題意可得，所以的虛部為，A錯(cuò)誤，
，故，B錯(cuò)誤，
，C正確，
表示點(diǎn)到的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的圖形，故為以為圓心，以1為半徑的圓以及內(nèi)部，故面積為，D正確，
故選：CD
11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，且，則（ ）
A．為奇函數(shù)B．在處的切線斜率為7
C．D．對
【答案】ACD
【解析】由題意定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足
令，則，
令，則，即，
故為奇函數(shù)，A正確；
由于，故，即，
則為偶函數(shù)，由可得，
由，令得，
故，令，則，B錯(cuò)誤；
又，
則，
令，則，
由柯西方程知，，故，
則，由于，故，
即，則，C正確；
對
,
故，D正確，
故選：ACD
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．集合,，則
【答案】1或0
【解析】,
,或，
故或.
故答案為：1或0
13．在四面體中，，，且滿足，，．若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積為 ．
【答案】
【解析】如圖，依題意將四面體放在長方體中，設(shè)長方體的高為.
根據(jù)錐體的體積，解得，
所以長方體的長寬高分別為，和4，
所以長方體的外接球直徑即為對角線，解得.
所以四面體外接球的體積為．
故答案為：.
14．對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，
，
則，
則恒成立可化為恒成立，
即恒成立，故，
設(shè)，
易知在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，
所以，
而顯然在時(shí)單調(diào)遞增，所以，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
已知函數(shù)．
(1)，求函數(shù)的最小值；
(2)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
令，則有，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，則有，
因此當(dāng)時(shí)，則有，
當(dāng)時(shí)， 顯然，
于是有當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以；
（2）由，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以在上恒成立，
由，
設(shè)，則有，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，因此的取值范圍為.
16．（15分）
一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長度，設(shè)它向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為.
(1)已知螞蟻2秒后所在位置對應(yīng)的實(shí)數(shù)為非負(fù)數(shù)，求2秒后這只螞蟻在處的概率；
(2)記螞蟻4秒后所在位置對應(yīng)的實(shí)數(shù)為，求的分布列與期望.
【解析】（1）記螞蟻2秒后所在位置對應(yīng)的實(shí)數(shù)為非負(fù)數(shù)為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，
則
故所求的概率為.
（2）由題意知可能的取值為，
則，
則的分布列為
17．（15分）
如圖，在四棱柱中，四邊形是平行四邊形，，，，，為的中點(diǎn)，且．
(1)過點(diǎn)作四棱柱的截面使其與面垂直，并予以證明；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求三棱錐的體積．
【解析】（1）如圖，
取中點(diǎn)，連接，，則面即為所求截面，
由四邊形是平行四邊形，，，且為的中點(diǎn)，
則在中，，
由余弦定理得，，
所以，即，
又由，且平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)?，且平面?br>所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）取的中點(diǎn)，連接，則，
又平面平面，
所以，
又且，
所以兩兩互相垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，
可得，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，可得，所以平面的一個(gè)法向量，
又由，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，可得，所以平面的一個(gè)法向量，
所以，解得或，
因?yàn)椋制矫嫫矫?，所以平面?br>當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
綜上可得，三棱錐的體積為或.
18．（17分）
已知拋物線：與直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)的兩條直線和，分別與交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且點(diǎn)A與點(diǎn)B均在點(diǎn)M的上方，以，為鄰邊作平行四邊形，求平行四邊形面積S的最大值.
【解析】（1）聯(lián)立方程得，
解得或，
則，
則，解得，
故拋物線的方程為；
（2）由（1）知，設(shè)，，不妨令，
因?yàn)橹本€與的斜率互為相反數(shù)，
所以，即，
整理得，所以，
則直線：，即，
點(diǎn)到直線的距離為，
，
所以，
令，由，，可得，則，
所以，
則，令，得，
當(dāng)時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
因此，四邊形面積的最大值為.
19．（17分）
若及其中稱為對模的逆或數(shù)論倒數(shù)．整系數(shù)多項(xiàng)式求證：同余方程與同余方程等價(jià)．
【解析】證明：若是的解，則
于是
即
這就說明了的解都是的解．
若是的解．
則
因?yàn)樗杂谑?br>即
也就是
這就說明了的解都是的解．
0
2
4

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