（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第I卷（選擇題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。
1．已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為4，10，那么數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A．，B．1，C．，D．，
【答案】D
【解析】設(shè)數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和，
則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，
得，，
故選：D．
2．大數(shù)據(jù)時代，需要對數(shù)據(jù)庫進行檢索，檢索過程中有時會出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對內(nèi)存、計算資源都會產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積．兩個集合和，用中元素為第一元素，中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作與的笛卡兒積，又稱直積，記為．即且．關(guān)于任意非空集合，下列說法一定正確的是（ ）
A．B．
C．?D．
【答案】D
【解析】對于A，若，則，A錯誤；
對于B，若，則，
而，B錯誤；
對于C，若，則，
，，，C錯誤；
對于D，任取元素，則且，則且，
于是且，即，
反之若任取元素，則且，
因此且，即且，
所以，即，D正確.
故選：D
3．已知圓的半徑為2，弦的長為，若，則（ ）
A．-4B．-2C．2D．4
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)的中點為，連接，則.由，
，得，所以，，所以，
所以，所以，
所以.
故選：B.

4．下表數(shù)據(jù)為年我國生鮮零售市場規(guī)模（單位：萬億元），根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得市場規(guī)模關(guān)于年份代碼的線性回歸方程為，則（ ）
A．1.01B．3.68C．3.78D．4.7
【答案】C
【解析】由題意得，，，所以.故選：C.
5．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點，則下列為真命題的是（ ）．
A．若，則點在圓上
B．若，則點在橢圓上
C．若，則點在雙曲線上
D．若，則點在拋物線上
【答案】D
【解析】表示點與之間的距離，
表示點與之間的距離，記，，
對于A，，表示點到、距離相等，則點在線段的中垂線上，故A錯誤；
或由，整理得，所以點在，故A錯誤；
對于B，由得，這不符合橢圓定義，故B錯誤；
對于C，若，，這不符合雙曲線定義，故C錯誤；
對于D，若，則，整理得，為拋物線，故D正確.
故選：D.
6．比利時數(shù)學(xué)家旦德林發(fā)現(xiàn)：兩個不相切的球與一個圓錐面都相切，若一個平面在圓錐內(nèi)部與兩個球都相切，則平面與圓錐面的交線是以切點為焦點的橢圓．如圖所示，這個結(jié)論在圓柱中也適用．用平行光源照射一個放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影區(qū)域內(nèi)（含邊界）有一點，若平行光與桌面夾角為，球的半徑為，則點到球與桌面切點距離的最大值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：由題意，如圖所示，
則，
所以到球與桌面切點距離的最大值為：
，
，
，
故選：D
7．已知一個玻璃酒杯盛酒部分的軸截面是拋物線，其通徑長為1，現(xiàn)有一個半徑為的玻璃球放入該玻璃酒杯中，要使得該玻璃球接觸到杯底（盛酒部分），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：以軸截面拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸建立平面直角坐標系，
當(dāng)玻璃球能夠與杯底接觸時，該玻璃球的軸截面的方程為．
因為拋物線的通徑長為1，則拋物線的方程為，
代入圓的方程消元得：，
所以原題等價于方程在上只有實數(shù)解．
因為由，得或，
所以需或，即或．
因為，所以，
故選：C．
8．如圖，圓錐的高，底面直徑是圓上一點，且，若與所成角為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
建立如圖所示的空間直角坐標系得：，
，而的夾角為
又，
則，
由于，故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知復(fù)數(shù)，，，則（ ）
A．B．的實部依次成等比數(shù)列
C．D．的虛部依次成等差數(shù)列
【答案】ABC
【解析】因為，，所以，所以，故A正確；
因為，，的實部分別為1，3，9，所以，，的實部依次成等比數(shù)列，故B正確；
因為，，的虛部分別為，，1，所以，，的虛部依次不成等差數(shù)列，故D錯誤；
，故C正確.
故選：ABC.
10．函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，，則（ ）
A．函數(shù)的圖象可由函數(shù)向右平移個單位長度得到
B．函數(shù)的圖象向右平移個單位長度為偶函數(shù)的圖象
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．的所有實根之和為2
【答案】BCD
【解析】由題意知，
又函數(shù)向右平移個單位長度得到，所以A錯誤；
函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，
由于是偶函數(shù)，所以B正確；
，
令，解得，
當(dāng)時，，所以C正確；
當(dāng)時，可得的圖象關(guān)于對稱，曲線也關(guān)于對稱，
與曲線的簡圖如下，
,,當(dāng)時，的圖象與曲線有三個交點，
所以方程的所有實根之和為，所以D正確．
故選：BCD．
11．已知四面體的各個面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)為空間內(nèi)任一點，且五點在同一個球面上，則（ ）
A．
B．四面體的體積為
C．當(dāng)時，點的軌跡長度為
D．當(dāng)三棱錐的體積為時，點的軌跡長度為
【答案】AC
【解析】對于A，依題意，可知，
設(shè)F為的中點，連接，則，
而平面，故平面，
平面，故，A正確；
對于B，將四面體放入長方體中，設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為，
則，解得，
由于，即異面直線和的距離為，且平面，，
所以四面體的體積為，B錯誤；
對于C，由以上分析可知，四面體的外接球半徑為，
由，知點的軌跡為一個圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，
則，解得，
所以的軌跡長度為，C正確；
對于D，由題意可得,
故的外接圓半徑為，
所以球心到所在平面的距離為，
設(shè)三棱錐的高為h，
由三棱錐的體積為時，可得，
故，
又由，故E點軌跡為外接球上平行于平面且到平面的距離為的兩個截面圓，
其中一個圓為外接球的大圓，
所以點的軌跡長度大于，D錯誤，
故選：AC.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設(shè)非空集合，當(dāng)中所有元素和為偶數(shù)時（集合為單元素時和為元素本身），稱是的偶子集，若集合，則其偶子集的個數(shù)為 .
【答案】
【解析】集合中只有個奇數(shù)時，則集合的可能情況為：、、、、、，共種，
若集合中只有個奇數(shù)時，則集合，只有一種情況，
若集合中只含個偶數(shù)，共種情況；
若集合中只含個偶數(shù)，則集合可能的情況為、、，共種情況；
若集合中只含個偶數(shù)，則集合，只有種情況.
因為是的偶子集，分以下幾種情況討論：
若集合中的元素全為偶數(shù)，則滿足條件的集合的個數(shù)為；
若集合中的元素全為奇數(shù)，則奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，共種；
若集合中的元素是個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；
若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；
若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；
若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；
若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；
若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種.
綜上所述，滿足條件的集合的個數(shù)為.
故答案為：.
13．第33屆奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校需要選派4名大學(xué)生去當(dāng)志愿者，已知該?，F(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有 種（用數(shù)字作答）.
【答案】105
【解析】由題意可得恰有兩名女生人選的選法有種，
恰有3名女生人選的選法有種，
恰有4名女生人選的選法有種，
所以至少有兩名女生人選的選法有（種），
故答案為：105
14．畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的一個可以無限重復(fù)的樹形圖形（如圖1）.現(xiàn)由畢達哥拉斯樹部分圖形作出圖2，為銳角三角形，面積為，以的三邊為邊長的正方形中心分別為，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意知，，
又，即，得，
由余弦定理，得，
在中，，
由余弦定理可得
，
又，所以，則.
同理，
故.
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知函數(shù)在和處取得極值.
(1)求的值及的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1），
函數(shù)在和處取得極值．
，，
聯(lián)立解得：，．
，
令，解得和，
時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增．
故和是的極值點，
故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由（1）知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
要使得對任意，不等式恒成立，則需且，
故且，
解得，或，
的取值范圍是,,．
16．某個足球俱樂部為了提高隊員的進球水平，開展罰點球積分游戲，開始記0分，罰點球一次，罰進記2分，罰不進記1分．已知該俱樂部某隊員罰點球一次罰進的概率為，罰不進的概率為，每次罰球相互獨立．
(1)若該隊員罰點球4次，記積分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)記點球積分的概率為．
（?。┣蟮闹?；
（ⅱ）求．
【解析】（1）由題意得，的所有可能取值為4，5，6，7，8，
，
，
的分布列為
．
（2）（?。┯深}意得，．
（ⅱ）由題意得，要得分，必須滿足以下情形：先得分，再點1個球不進，此時概率為，
或先得分，再點1個球進球，此時概率為，
這兩種情況互斥，，
是首項為，公比為的等比數(shù)列，
，
，
．
17．如圖，，是圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，過的平面與交于點，若，點在圓上，.

(1)求證：平面；
(2)若，，求三棱錐的體積.
【解析】（1）連接，則圓所在平面，而在圓所在平面內(nèi)，
∴，
又，，，平面，
∴平面，又平面，∴，
由，且可得，
又，∴，
∴為的中點，且，
又，，平面，
∴平面；
（2）由題意得，，，
由可得，，
∴，，
點到底面的距離等于點到底面距離的一半，即為，
∴三棱錐的體積.

18．已知橢圓：的左、右頂點分別為，，點（）在橢圓上，若點，分別在直線，上.
(1)求的值；
(2)連接并延長交橢圓于點，求證：，，三點共線.
【解析】（1）∵點在橢圓上，∴.
又直線的斜率為，直線的斜率為，
∴直線的方程為，
令，則，∴點的坐標為，
∴直線的斜率為，
∴.
（2）設(shè)直線的斜率為，則，令，則，可得.
而直線的斜率為，∴直線的方程為.
聯(lián)立，可得，
易得點的縱坐標為，將其代入回直線，可得，
∴，
∴直線的斜率為，直線的斜率為，
∴，∴，，三點共線.

19．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（互質(zhì)是公約數(shù)只有1的兩個整數(shù)），例如：，.
(1)求，，；
(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式和前n項和.
【解析】（1），，.
（2）∵，∴
∵，∴數(shù)列是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列.
∴，∴，
，
，
∴
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代碼
1
2
3
4
5
市場規(guī)模
4.2
4.4
4.7
5.1
5.6
4
5
6
7
8

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