福建省廈門市湖濱中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試時間：2024年4月29日考試時長 120分鐘
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 設(shè)函數(shù)，則（）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的運算公式求解.
【詳解】函數(shù)，，，
,
故選：A
2. 在等差數(shù)列中，若，則公差（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和性質(zhì)可得答案.
【詳解】因為，所以，
所以.
故選：B
3. 已知直線與曲線在原點處相切，則的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求直線的斜率，進而確定傾斜角.
【詳解】由，則，即直線的斜率為，
根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系及其范圍知：傾斜角為.
故選：C
4. 已知離散型隨機變量的概率分布列如下表：則數(shù)學(xué)期望等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用概率和為1計算出的概率，結(jié)合期望公式計算即可.
【詳解】結(jié)合表格可知，
即，解得：，
所以.
故選:D.
5. 2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標(biāo)賽半決賽中，中國隊與日本隊鏖戰(zhàn)7小時，雙方打滿五局，最終中國隊逆轉(zhuǎn)戰(zhàn)勝了日本隊進入決賽.這項比賽是五局三勝制，已知中國隊每局獲勝的概率為，則中國隊打滿5局且最終獲勝的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式即可解決.
【詳解】中國隊打滿5局且最終獲勝，則前四局中中國隊恰好贏了2場且第五局中國隊獲勝.
因為每場比賽相互獨立，所以中國隊打滿5局且最終獲勝的概率為.
故選：C
6. 已知，則（）
A. B. 0C. 1D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】令可得．
【詳解】令，則.
故選：A.
7. 質(zhì)數(shù)（prime number）又稱素數(shù)，一個大于1自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”.在不超過30的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件“這兩個數(shù)都是素數(shù)”；事件“這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)”，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率的計算方法求得正確答案．
【詳解】不超過30的自然數(shù)有31個，其中素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，
孿生素數(shù)有3和5，5和7，11和13，17和29，共4組．
所以，，
所以．
故選：C．
8. 若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得函數(shù)在上有兩個零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為，，
又函數(shù)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)在上有兩個零點，
由，所以方程有兩個不同的正實數(shù)，
所以，即.
故選：B
二、多選題本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 有甲、乙兩個小組參加某項測試，甲組的合格率為70%，乙組的合格率為90%．已知甲、乙兩組的人數(shù)分別占這兩組總?cè)藬?shù)的70%，30%．從這兩組組成的總體中任選一個人，用事件，分別表示選取的該人來自甲、乙組，事件表示選取的該人測試合格，則（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知可得，，，，可判B項；根據(jù)乘法公式求解，即可判斷A、C；根據(jù)全概率公式，可判D項.
【詳解】由已知可得，，，，.
對于A項，由已知可得，，
根據(jù)乘法公式可知，故A項正確；
對于B項，由已知可得，故B項錯誤；
對于C項，由已知可得，，
根據(jù)乘法公式可知，故C項錯誤；
對于D項，因為，故D項正確.
故選：AD.
10. 已知分別是橢圓C：的左?右焦點，P為橢圓C上異于長軸端點的動點，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 的周長為10B. 面積的最大值為25
C. 的最小值為1D. 橢圓C的離心率為
【答案】AD
【解析】
【分析】由方程可得，結(jié)合橢圓性質(zhì)逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
則，，
對于選項A：的周長為，故A正確；
對于選項B：當(dāng)P為短軸頂點時，面積取到最大值為，故B錯誤；
對于選項C：的最小值為，此時P為長軸頂點，
但本題取不到長軸頂點，故沒有最小值，故C錯誤；
對于選項D：橢圓C的離心率為，故D正確；
故選：AD.
11. 已知正方體的棱長為，下列四個結(jié)論中正確的是（）
A. 直線與直線所成的角為
B. 直線與平面所成角的余弦值為
C. 平面
D. 點到平面的距離為
【答案】ABC
【解析】
【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出和的坐標(biāo)，由可判斷A；證明，，再由線面垂直的判定定理可判斷C；計算的值可得線面角的正弦值，再求出夾角的余弦值可判斷B；利用向量求出點到平面的距離可判斷D.
【詳解】如圖以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
對于A：，，
因為，所以，即，直線與直線所成的角為，故選項A正確；
對于C：因為，，，
所以，，所以，，
因為，平面ACD1，所以平面，故選項C正確；
對于B：由選項C知：平面，所以平面的一個法向量，
因為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，
所以直線與平面所成角的余弦值為，故選項B正確；
對于D：因為，平面的一個法向量，
所以點到平面的距離為，故選項D不正確.
故選：ABC.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 若隨機變量服從正態(tài)分布，，則____________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性可求得結(jié)果.
【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，，
則.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】對求導(dǎo)得到，令，得到，從而，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
得到，所以，
故，所以，
故答案為：.
14. 有位大學(xué)生要分配到三個單位實習(xí)，每位學(xué)生只能到一個單位實習(xí)，每個單位至少要接收一位學(xué)生實習(xí)，已知這位學(xué)生中的甲同學(xué)分配在單位實習(xí)，則這位學(xué)生實習(xí)的不同分配方案有__________種．（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)特殊元素進行分類計數(shù)，具體分類下是不相同元素分配問題，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以順序.
【詳解】根據(jù)特殊元素“甲同學(xué)”分類討論，
當(dāng)單位只有甲時，其余四人分配到，不同分配方案有種；
當(dāng)單位不只有甲時，其余四人分配到，不同分配方案有種；
合計有種不同分配方案，
故答案為：.
四、解答題（共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 在中，已知，，，
（1）求角
（2）若角為銳角，求邊；
（3）求．
【答案】（1）或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得，求出或，檢驗后得到答案；
（2）求出，利用正弦和角公式求出，由正弦定理得到；
（3）利用三角形面積公式得到答案.
【小問1詳解】
由正弦定理得，即，
故，其中，
解得或，經(jīng)檢驗，均滿足要求；
【小問2詳解】
角為銳角，則，
故，
其中
，
由正弦定理得，即，
解得；
【小問3詳解】
當(dāng)時，由（2）知，
；
當(dāng)時，
，
；
綜上，或.
16. 已知數(shù)列滿足，，設(shè).
（1）求，，；
（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）求的通項公式
【答案】（1），，
（2）是，理由見解析（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，逐一代入即可得解；
（2）由題設(shè)條件轉(zhuǎn)化得，從而得以判斷；
（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用等比數(shù)列的通項公式即可得解.
【小問1詳解】
由條件可得，
將代入，得，而，所以，
將代入，得，所以，
又，從而，，.
【小問2詳解】
數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，理由如下：
由條件可得，即，
又，所以是首項為2，公比為3的等比數(shù)列
【小問3詳解】
由（2）可得，所以.
17. 如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让?
（1）證明：平面；
（2）若，求三棱錐的體積；
（3）在（2）的條件下，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，再由線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.
（2），再求點到平面的距離，轉(zhuǎn)化為求平面與平面間距離，進而即可求解；.
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解平面與平面夾角的余弦值.
【小問1詳解】
平面平面平面，
平面平面，
平面，
平面，
，
四邊形為菱形，
，
平面，
平面.
【小問2詳解】
因為，所以等邊三角形
過做垂直于于點
因平面平面，所以
又于所以平面
平面與平面間距離大小為，即到平面的距離為.
.
【小問3詳解】
以為原點，及平面過點的垂線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，
平面，
即為平面的法向量，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，可得，
，
平面與平面的夾角的余弦值為
18. 某商場為促進消費，規(guī)定消費滿一定金額可以參與抽獎活動.抽獎箱中有4個藍球和4個紅球，這些球除顏色外完全相同.有以下兩種抽獎方案可供選擇：
（1）若顧客選擇方案A，求其所獲得獎池金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
（2）以獲得獎池金額的期望值為決策依據(jù)，顧客應(yīng)該選擇方案A還是方案B?
【答案】（1）分布列見解析，
（2）選擇方案.
【解析】
【分析】（1）由題意可知可能取值為30，80，130，180，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求得X的分布列及數(shù)學(xué)期望，
（2）設(shè)顧客選方案，所獲得的金額為，則的可能取值為30，60，120，240，求出相應(yīng)的概率，從而可求出，然后與比較可得結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意可知可能取值為30，80，130，180，則
，，
，，
所以的分布列為
所以
【小問2詳解】
設(shè)顧客選方案，所獲得的金額為，則的可能取值為30，60，120，240，則
，，
，，
所以，
所以，所以選擇方案.
19. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）設(shè)，求函數(shù)的極大值；
（3）若，求函數(shù)的零點個數(shù)．
【答案】（1）
（2）答案見解析（3）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）求導(dǎo)，分，和三種情況討論，再結(jié)合極大值的定義即可得解；
（3）令，則，再分的正負討論，當(dāng)時，分離參數(shù)可得，則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，，
則，
所以曲線在點處的切線方程為，即；
【小問2詳解】
，則，
則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)無極值；
當(dāng)時，令，則或，令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為；
當(dāng)時，令，則或，令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而函數(shù)的定義域為，
所以此時函數(shù)無極值.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無極大值；
當(dāng)時，的極大值為；
【小問3詳解】
令，則，
當(dāng)時，，
所以時，函數(shù)無零點；
當(dāng)時，由，得，所以，
則時，函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
又當(dāng)時，且，當(dāng)時，，
如圖，作出函數(shù)的大致圖象，

又，由圖可知，所以函數(shù)的圖象只有個交點，
即當(dāng)時，函數(shù)只有個零點；
綜上所述，若，函數(shù)有個零點．
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
初始獎池
摸球方式
獎勵規(guī)則
方案A
30元
不放回摸3次，每次摸出1個球.
每摸出一個紅球，獎池金額增加50元，在抽獎結(jié)束后獲得獎池所有金額.
方案B
有放回摸3次，每次摸出1個球.
每摸出一個紅球，獎池金額翻倍，在抽獎結(jié)束后獲得獎池所有金額.
30
80
130
180

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