考試時間：2024年 4 月 28 日 考試時長 120 分鐘
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)，則對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2. 已知向量，則（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命題中正確的是（ ）
A. 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B. 棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面
C. 棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形
D. 棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形
4. 在空間四邊形ABCD中，AC=BD，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，所得四邊形EFGH的形狀是（ ）
A. 梯形B. 矩形
C. 正方形D. 菱形
5. 某校運(yùn)動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為（如圖所示），則旗桿的高度為（ ）
A. 10mB. 30mC. D.
6. 在中，若，且，則范圍為（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（ ）
A B. C. D.
8. 已知，，．若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為（ ）
A. 13B. C. D.
二、多選題：本小題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）
A. 的實(shí)部為B. C. 的虛部為D.
10. 已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則是鈍角三角形
B. 若，則
C. 若，則是銳角三角形
D. 若，，，則只有一解
11. “奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A. 若，則M為的重心
B. 若M為的內(nèi)心，則
C. 若，，M為的外心，則
D. 若M為垂心，，則
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，則此三角形的最大邊長為_________.
13. 將邊長為2正方形卷成一個圓柱的側(cè)面，所得圓柱的體積為______．
14. 在中，角所對的邊分別為.若，，則的最大值為__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知．
（1）若，，求的值：
（2）若，判斷的形狀．
16. 如圖，在平行四邊形中，，，，，分別為，上的點(diǎn)，且，．
（1）若，求，的值；
（2）求的值；
（3）求．
17. 如右圖所示，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點(diǎn)．
(1)求證：BD1∥平面C1DE；
(2)求三棱錐D－D1BC的體積
18. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面積為；
①已知E為BC的中點(diǎn)，求底邊BC上中線AE長的最小值；
②求內(nèi)角A角平分線AD長的最大值．
19. “費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且
（1）求；
（2）若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
（3）設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．

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