江蘇省南京市中華中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．
2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．
3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．
一、單選題：本大題共8小題，共40分.
1. 已知，，，的夾角為，則（）
A 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先由數(shù)量積公式求得，又，代入求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，，的夾角為，
所以，
解得，
，
故選：C.
2. 已知，則為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出的值，再把變形為，再利用差角的余弦公式展開化簡即得的值.
【詳解】∵，
∴90°＜＜180°，
∴，
∴
，
故選：D.
【點(diǎn)睛】三角恒等變形要注意“三看（看角看名看式）”和“三變（變角變名變式）”，本題主要利用了看角變角，，把未知的角向已知的角轉(zhuǎn)化，從而完成解題目標(biāo).
3. 若向量，滿足，，則向量在向量上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的數(shù)量積公式求得向量夾角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量.
【詳解】設(shè)向量與的夾角為，
則，
則在上的投影向量為．
故選：B．
4. 的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則
A. B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求的值．
【詳解】∵，
∴，
∵，，
∴由余弦定理可得：．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，注意利用三角形的內(nèi)角和為來轉(zhuǎn)化，此類問題屬于基礎(chǔ)題．
5. 如圖，在平行四邊形ABCD中，，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，G為EF上的一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m的值為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可根據(jù)條件得出，并可設(shè)，然后根據(jù)向量加法的幾何意義和向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得出，從而根據(jù)平面向量基本定理即可得出，解出即可．
【詳解】解：，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
，
設(shè)
，
又，
，解得.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．
6. 在中，若，則一定是（）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】先用余弦定理邊化角得，再用正弦定理邊化角的，再根據(jù)二倍角的正弦公式得，進(jìn)而可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，所以，
所以，因?yàn)?，為三角形的?nèi)角，
所以或，
所以或，
所以一定是等腰三角形或直角三角形.
故選：D
7. 已知菱形ABCD邊長為4，點(diǎn)M是線段CD的中點(diǎn)，，則=（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用基向量，表示相關(guān)向量，再結(jié)合向量加法、減法和數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)合律、交換律，即得解
【詳解】∵
而
∴
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算和向量數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題
8. 已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，若，，則面積的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合式子的特點(diǎn)，聯(lián)系余弦定理，以及，表示出三角形ABC的面積，，結(jié)合三角函數(shù)的圖像求出范圍.
【詳解】由于，，，
且，所以，那么外接圓半徑為，

由于，
所以，，
故 .
故選：A.
二、多選題：本大題共3小題，共18分.（雙選題選對一個得3分，三選題選對一個得2分；選錯得0分）
9. 下列各式中，值為的有（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A中，利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可；B中，先通分，再利用三角恒等變換計(jì)算即可；C中，利用二倍角的正切值公式計(jì)算即可；D中，利用兩角和的正切公式計(jì)算即可．
【詳解】對于A，
；
對于B，；
對于C，；
對于D，
．
故選：ACD．
10. 下列說法正確的是（）
A. 若點(diǎn)是的重心，則
B. 已知，，若，則
C. 已知A，B，C三點(diǎn)不共線，B，C，M三點(diǎn)共線，若，則
D. 已知正方形的邊長為1，點(diǎn)M滿足，則
【答案】AD
【解析】
【分析】由平面向量加法的平行四邊形法則重心的性質(zhì)運(yùn)算可判斷A；由平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、共線的坐標(biāo)表示可判斷B；由平面向量共線的性質(zhì)及平面向量基本定理可判斷C；由平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可判斷D.
【詳解】對于A，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，由平面向量加法的平行四邊形法則可得在中，
若，故A正確；
對于B，因?yàn)?，?br>所以，解得，故B錯誤；
對于C，若B，C，M三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，
所以即，
又，所以，
所以，故C錯誤；
對于D，正方形中，，由可得，
所以
，
故D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量共線、線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.關(guān)鍵要熟練掌握向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算,準(zhǔn)確掌握向量平行的充要條件.
11. 在中，角所對的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（）
A.
B. 若，則為直角三角形
C. 若為銳角三角形，的最小值為1
D. 若為銳角三角形，則的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得，即可得，所以A正確；再利用由正弦定理計(jì)算可得，可得，B正確；由銳角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C錯誤；由正弦定理可得，結(jié)合的范圍并利用函數(shù)單調(diào)性可得D正確.
【詳解】對于中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，則，故，所以或，
即或（舍去），即，A正確；
對于B，若，結(jié)合和正弦定理知，
又，所以可得，B正確；
對于，在銳角中，，即.
故，C錯誤；
對于，在銳角中，由，
，
令，則，
易知函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得，D正確；
故選：ABD.
三、填空題：本大題共3小題，共15分.
12. 已知向量，，則夾角的余弦值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件求出后，可得兩向量的數(shù)量積與模，然后求夾角的余弦值
【詳解】，，故
13. ＝________．
【答案】2－##
【解析】
【分析】觀察知，，分別結(jié)合正弦和余弦的差角公式化簡可得，再由化簡即可求解.
【詳解】原式＝
.
故答案為：2－.
14. 如圖，設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且若點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，，則當(dāng)四邊形ABCD面積最大值時，____．
【答案】
【解析】
【詳解】分析：由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理化簡已知等式可得，根據(jù)范圍B∈（0，π），可求B的值．
由余弦定理可得AC2=13﹣12csD，由△ABC為直角三角形，可求，,
S△BDC=3sinD，由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求四邊形的面積為，利用三角函數(shù)化一公式得到最值時的角C值.
詳解：，由正弦定理得到
在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面積為
四邊形的面積為
當(dāng)三角形面積最大時，
故答案為
點(diǎn)睛：本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
四、解答題：本大題共5小題，共72分.
15. 平面內(nèi)給定三個向量，，.
（1）設(shè)，求m，n的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)k的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量，，，由，利用向量相等求解；
（2）根據(jù)向量，，，得到和的坐標(biāo)，由求解；
【小問1詳解】
解：因?yàn)橄蛄?，，，且?br>所以，
所以，解得；
【小問2詳解】
因向量，，，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以.
16. 已知函數(shù)
（1）求函數(shù)在的值域；
（2）若且，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出值域.
（2）由（1）的信息求得，再利用同角公式、差角的余弦公式計(jì)算得解.
【小問1詳解】
依題意，
，
由，得，則，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
【小問2詳解】
由及（1）知，，則，
由，得，于是，
17. 在中，角的對邊分別是，且．
（1）求角的大?。?br>（2）若，的面積為，求的周長；
（3）若，為邊上的一點(diǎn)，，且______，求的面積．
（從下面①，②兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）．
①是的平分線；
②為線段的中點(diǎn)．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由題意，根據(jù)三角恒等變換的化簡計(jì)算可得，即可求解；
（2）由三角形的面積公式可得，利用余弦定理和完全平方公式計(jì)算可得，進(jìn)而求解；
（3）若選①：由三角形的面積公式可得，由余弦定理計(jì)算可得，則，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解；若選②：由平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算律可得，由余弦定理計(jì)算可得，則，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解；
【小問1詳解】
在中，：
結(jié)合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
【小問2詳解】
由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周長為．
【小問3詳解】
若選①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，則，
聯(lián)立，得，解得，
；
若選②：由題設(shè)，則，
所以，
在中，由余弦定理得，則，
聯(lián)立，得，
．
18. 如圖，我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島與小島、小島相距都為，與小島相距為nmile．為鈍角，且．
（1）求小島與小島之間的距離；
（2）求四個小島所形成的四邊形的面積；
（3）記為，為，求的值．
【答案】（1）2nmile；
（2）18平方海里；（3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同角的平方關(guān)系求出，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解；
（2）易知，則，利用余弦定理計(jì)算可得，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可求解；
（3）方法1：根據(jù)正弦定理和同角的平方關(guān)系可得，由誘導(dǎo)公式求出，結(jié)合和兩角和的正弦公式計(jì)算即可求解.
方法2：利用余弦定理和同角的平方關(guān)系計(jì)算求得，結(jié)合和兩角和的正弦公式計(jì)算即可求解.
【小問1詳解】
，且A為鈍角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或（舍去）．
小島A與小島之間的距離為2nmile．
【小問2詳解】
四點(diǎn)共圓，與互補(bǔ)，則
．
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得（舍去）或．
（平方海里），
四個小島所形成的四邊形的面積為18平方海里．
【小問3詳解】
方法1：在中，由正弦定理得：，即，解．
，為銳角，則，
又，
，
．
方法2
三角形中，；；；
由余弦定理可得：；
；
又，
，
．
19. “費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且
（1）求；
（2）若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
（3）設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡可得，即可求得答案；
（2）利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.
（3）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【小問1詳解】
由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
【小問2詳解】
由（1），所以三角形的三個角都小于，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，
設(shè)，由得：
，整理得，
則
.
【小問3詳解】
點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，
設(shè)，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時，等號成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實(shí)數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題首先要理解費(fèi)馬點(diǎn)的含義，從而結(jié)合（1）的結(jié)論可解答第二問，解答第二問的關(guān)鍵在于設(shè)，推出，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)含義，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.

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